第八章平面向量的坐標表示簡析

1、第八章：平面向量的坐標表示簡析格致中學(xué) 朱兆和一、向量發(fā)展簡史向量是近代數(shù)學(xué)中重要的和基本的概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具。向量在高中數(shù)學(xué)教材中的引入，不僅提供了一種新的研究數(shù)學(xué)的方法，而且在用向量處理數(shù)學(xué)問題中，也能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造模型等的基本思想方法。深入在研究向量有利于學(xué)生的智力開發(fā)與激活學(xué)生的創(chuàng)新思維。向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應(yīng)強度等都是向量大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞力士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段最先使用有

2、向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓。課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向但是在高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量例如，把所有實系數(shù)多項式的全體看成一個多項式空間，這里的多項式都可看成一個向量在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對象或物理對象這樣，就可以指導(dǎo)線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個具體的模型。從數(shù)

3、學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運算通性的數(shù)學(xué)體系。向量能夠進入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起18世紀末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復(fù)數(shù)abi，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運算來定義向量的運算把坐標平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會了利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數(shù)學(xué)。但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因為它僅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則

4、需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運算體系19世紀中期，英國數(shù)學(xué)家漢密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克思韋爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析。三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀50年代各自獨立完成的他們提出，一個向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨立于任何四元數(shù)他們引進了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良

5、的數(shù)學(xué)工具。二、本章學(xué)習(xí)重點與難點從高考的角度出發(fā)，近幾年上海高考主要考查向量的坐標表示及運算、向量的數(shù)量積、平面向量的分解定理。教學(xué)難點是平面向量的數(shù)量積與平面向量的分解定理。三、教學(xué)建議新教材在向量這一章的編排上有點缺點，各校在教學(xué)上可結(jié)合學(xué)生的具體情況對教材作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。先上附錄內(nèi)容，講清楚向量的概念，向量的加法與減法及幾何意義，實數(shù)與向量的乘積，可適當(dāng)補充用平面向量的方法證明幾何問題。建議把平面向量分解定理放在向量的坐標表示前面講，因為根據(jù)向量的加法與減法運算很容易得出平面向量分解定理，平面向量的坐標表示是平面向量的正交分解，是分解定理中的一種特殊情況，這樣學(xué)生對坐標表示的必要性更易理

6、解。四、教學(xué)中的幾個注意點1、運算與證明中要特別注意這個特殊的向量關(guān)于是指模為0的向量，一是要注意向量與數(shù)量0的區(qū)別，學(xué)生在書寫中最容易出錯?？蛇m當(dāng)編寫一些判斷題讓學(xué)生加深對此概念的理解。另一方面，的方向是任意的，因此任意向量與向量平行，且任意向量與向量垂直。即，且。命題：“對于直線，若且，則”是真命題。但命題：“對于向量，若且，則”是假命題。2、注意單位向量、負（反）向量、平行向量、共線向量等概念的加深與理解、向量加法與減法的幾何意義要作為教學(xué)的重點。例：O是平面上的任意一點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足：，則點P的軌跡一定通過ABC的（）A、外心；B、內(nèi)心；C、重心；D、垂心

7、。這一題涵蓋了單位向量、向量的加法運算、數(shù)乘向量、向量運算的幾何意義等概念，是一道相當(dāng)好的試題。3、向量加法、減法的幾何意義中注意和向量與差向量的起點與終點。OABCD例：某人用速度向正東方向行駛，感覺到風(fēng)從正北方向吹來，若把速度提高到，則感覺到風(fēng)從正東北方向吹來。試確定風(fēng)速與風(fēng)向。如圖：以向量表示風(fēng)速與人的行駛速度。知：風(fēng)向為西北風(fēng)，風(fēng)速為。4、兩向量的夾角是兩向量平移到同一起點兩向量方向的夾角，利用向量的數(shù)量積定義來求解問題時要注意夾角如何確定。兩向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量，中的運算符號“”不能省略，也不能寫成“”。例：等邊三角形ABC中，邊長為2，分別求下列各式的值：（1）；（2）。注意到向

8、量與的夾角是，而向量與的夾角是。5、公式“”，是數(shù)量運算與向量運算的主要橋梁。求向量線性運算后的模問題常用此式。例：（1）已知與的夾角為，求；（2）已知，求。6、對于平面向量分解定理，任何兩個不平行的非零向量都可以作為一組基向量。選定基向量后，同一平面上的任意向量的分解是惟一確定的。在應(yīng)用中，一般來說基向量選用圖形中的“外圍向量”。BCDEFA例：（1）如圖：ABC中，D、E、F分別是三邊的中點，求證：。選用、作為一組基向量。（2）如圖：ABC中，D、E、F分別ABCDEF是BC、CA、AB的一個三等分點，求證：。可讓學(xué)生結(jié)合兩例作一般的猜想。ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB上的點

9、，且，則。OABED（3）設(shè)直角AOB的斜邊AB的三等分點為D、E。求證：。本例選用、這組正交基向量來證明，也可以利用向量坐標來證明。7、有關(guān)向量的應(yīng)用在平面幾何中的應(yīng)用：直線且AB與CD無公共點則且AB與CD無公共點。A、B、C三點共線則。則。求大?。?。其中：。在代數(shù)計算中的應(yīng)用：通過向量構(gòu)造將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量的運算及性質(zhì)。向量應(yīng)用問題的難度以課本例題難度與練習(xí)難度為準即可。附：2008年全國高考向量選擇、填空題選：一 選擇題：1.（全國一3）在中，若點滿足，則（ A ）ABCD2.（安徽卷3）在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若，,則（ B ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）

10、D（2，4） 3.（湖北卷1）設(shè),則CA.B. C. D.4.（湖南卷7）設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且則與( A )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 5.（陜西卷3）的內(nèi)角的對邊分別為，若，則等于（ D ）AB2CD6.（陜西卷15）關(guān)于平面向量有下列三個命題：若，則若，則非零向量和滿足，則與的夾角為其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）7.（重慶卷7)若過兩點P1(-1,2),P2(5,6)的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段所成的比的值為A(A)(B) (C) (D) 8.（福建卷10)在ABC中，角ABC的對邊分別為a、b、c,

11、若(a2+c2-b2)tanB=,則角B的值為DA. B. C.或D. 或9.（廣東卷4）若變量滿足則的最大值是（ C ）A90 B80 C70 D4010.（廣東卷8）在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則（ B ）ABCD11.（浙江卷9）已知，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是C （A）1 （B）2 （C） （D）12.（遼寧卷5）已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足，則（ A ） ABCD13.（遼寧卷8）將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象，則（ A ）ABCD14.（海南卷3）如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（ D ）A. 5/18B. 3/4 C. /2 D. 7/815.（海南卷8）平面向量，共線的充要條件是（ D ）A. ，方向相同B. ，兩向量中至少有一個為零向量C. ，D. 存在不全為零的實數(shù)，二 填空題：1.（上海卷5）若向量，滿足且與的夾角為，則2.（全國二13）設(shè)向量，若向量與向量共線，則 23.（北京卷10）已知向量與的夾角為，且，那么的值為 0 4.（天津卷14）已知平面向量，若，則_5.（江蘇卷5），的夾角為， 則 76.（江蘇卷13）若AB=2, A