全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：第26章 矩形、菱形與正方形

1、第26章 矩形、菱形與正方形一、選擇題1. （2011浙江省舟山，10，3分）如圖，五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙）若四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（ ）（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm（第10題）【答案】A2. （2011山東德州8,3分）圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形，菱形邊長(zhǎng)為等邊三角形邊長(zhǎng)的一半，以此為基本單位，可以拼成一個(gè)形狀相同但尺寸更大的圖形（如圖2），依此規(guī)律繼續(xù)拼下去（如圖3），則第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)是圖1圖2圖3（A） （B） （C） （D

2、）【答案】C3. （2011山東泰安，17 ，3分）如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為A.17 B.17 C.18 D.19【答案】B 4. （2011山東泰安，19 ，3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3，則折痕CE的長(zhǎng)為A.2 B. C. D.6 【答案】A 5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一個(gè)菱形BFDE(點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上)，記它們的面積分別 為現(xiàn)給出下列命題：（ ）若，則若則則:A是真命題，是真命題 B是真命題，是假命題C是

3、假命題，是真命題 D，是假命題，是假命題【答案】A6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新農(nóng)村建設(shè)推動(dòng)了農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡分別架在墻體的點(diǎn)、點(diǎn)處，且,側(cè)面四邊形為矩形，若測(cè)得，則( ) A. 35 B. 40 C. 55 D. 70（第5題）【答案】C7. （2011浙江溫州，6，4分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O已知AOB= 60，AC16，則圖中長(zhǎng)度為8的線段有( ) A2條B4條C5條D6條【答案】D8. 2011四川重慶，10，4分）如圖，正方形ABCD中，AB6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD3DE將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)EF交

4、邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF下列結(jié)論：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )A1 B2 C3 D4【答案】C9. （2011浙江省嘉興，10，4分）如圖，五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙）若四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（ ）（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm（第10題）【答案】A10（2011臺(tái)灣臺(tái)北，29）如圖(十二)，長(zhǎng)方形ABCD中，E為中點(diǎn)，作的角平分線交于F點(diǎn)。若6，16，則的長(zhǎng)度為何？A4 B5 C6 D8 【答案】C11. （201

5、1湖南邵陽(yáng)，7，3分）如圖（二）所示，中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且ABAD，則下列式子不正確的是（）A.ACBD B.ABCDC. BO=OD D.BAD=BCD【答案】A.提示：當(dāng)且僅當(dāng)為菱形時(shí)，ACBD。12. （2011湖南益陽(yáng)，7，4分）如圖2，小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是A矩形B菱形C正方形D等腰梯形ACD圖2B【答案】B13. （2011山東聊城，7，3分）已知一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是20cm，兩條對(duì)角線的比是43，則這個(gè)菱形的面積是（ ） A1

6、2cm2 B 24cm2 C 48cm2 D 96cm2 【答案】B14. （2011四川宜賓,7,3分）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為（ ）A3 B4 C5 D6 （第7題圖）【答案】D15. （ 2011重慶江津， 10，4分）如圖,四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有( )四邊形A2B2C2D2

7、是矩形; 四邊形A4B4C4D4是菱形;A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3第10題圖四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng); 四邊形AnBnCnDn的面積是A. B. C. D.【答案】C16. （2011江蘇淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長(zhǎng)為（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm【答案】C17. （2011山東臨沂，11，3分）如圖，ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BEDF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知A30，BC2，AFBF,則四邊形BCDE的面積是（ ）A2 B3 C4 D4【答案】A18. （201

8、1四川綿陽(yáng)7，3）下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是A對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形C矩形的對(duì)角線互相垂直且平分 D矩形的對(duì)角線相等且互相平分【答案】D19. （2011四川樂(lè)山9，3分）如圖（5），在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H，CGAE交BF于點(diǎn)G。下列結(jié)論：tanHBE=cotHEB BH=FG .其中正確的序號(hào)是 A B C D【答案】D20（2011江蘇無(wú)錫，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( )A對(duì)角線互相垂直 B對(duì)角線相等 C對(duì)角線互相平分 D對(duì)角互補(bǔ)【答案】A21. （2011湖北武漢市，12，3分）如圖，在

9、菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H下列結(jié)論： AEDDFB；S四邊形BCDG= CG2；若AF=2DF，則BG=6GF其中正確的結(jié)論A只有B只有C只有DABCDEFGH第12題圖【答案】D22. （2011廣東茂名，5，3分）如圖，兩條筆直的公路、相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠 AB、D，已知ABBCCDDA5公里，村莊C到公路的距離為4公里，則村莊C到公路的距離是A3公里B4公里 C5公里D6公里【答案】B23. （2011湖北襄陽(yáng)，10，3分）順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱

10、形，則四邊形ABCD一定是A.菱形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形【答案】D24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四邊形中，對(duì)角線相等且互相垂直平分的是A.平行四邊形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形【答案】B25.26.27.28.二、填空題1. （2011山東濱州，17，4分）將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示圖形。若CED=56,則AED的大小是_.（第17題圖）【答案】622. （2011山東德州16,4分）長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱(chēng)為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于

11、此時(shí)矩形寬度的正方形（稱(chēng)為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_(kāi)第一次操作第二次操作【答案】或3. （2011湖北鄂州，5，3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_(kāi)ABCD第5題圖【答案】28 4. （2011山東煙臺(tái)，17,4分）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是 .【答案】25. (2011 浙江湖州，16，4)如圖，甲類(lèi)紙片是邊長(zhǎng)為2的正方形，乙類(lèi)紙片是邊長(zhǎng)為1的正方形，丙類(lèi)紙片是長(zhǎng)、寬分別為2和1的長(zhǎng)方形現(xiàn)有甲類(lèi)紙片1張，乙

12、類(lèi)紙片4張，則應(yīng)至少取丙類(lèi)紙片 張，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形【答案】46. (2011浙江紹興，15，5分) 取一張矩形紙片按照?qǐng)D1、圖2中的方法對(duì)折，并沿圖3中過(guò)矩形頂點(diǎn)的斜線（虛線）剪開(kāi)，那剪下的這部分展開(kāi)，平鋪在桌面上，若平鋪的這個(gè)圖形是正六邊形，則這張矩形紙片的寬和長(zhǎng)之比為 . 【答案】7. （2011甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為 ?！敬鸢浮?. （2011江蘇泰州，18，3分）如圖，平面內(nèi)4條直線L1、L2、L3、L4是一組平行線，相

13、鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在這些平行線上，其中點(diǎn)、分別在直線L1和L4上，該正方形的面積是 平方單位【答案】5或99. （2011山東濰坊，16，3分）已知線段AB的長(zhǎng)為a，以AB為邊在AB的下方作正方形ACDB.取AB邊上一點(diǎn)E，以AE為邊在AB的上方作正方形AENM.過(guò)E作EFCD，垂足為F點(diǎn).若正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等，則AE的長(zhǎng)為_(kāi).【答案】10（2011山東濰坊，17，3分）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為_(kāi).【答案】

14、11. （2011四川內(nèi)江，16，5分）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足 條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形ABCDEFGH【答案】AB=CD12. (2011重慶綦江，14，4分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC8，BD6，過(guò)點(diǎn)O作OHAB，垂足為H，則點(diǎn)O到邊AB的距離OH 【答案】：13. （2011江蘇淮安，17，3分）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是 .(寫(xiě)出一種即可)【答案】A=90或B=90或C=90或D=90或AC=BD(

15、答案不唯一，寫(xiě)出一種即可)14. (2011江蘇南京，12，2分)如圖，菱形ABCD的連長(zhǎng)是2，E是AB中點(diǎn)，且DEAB，則菱形ABCD的面積為_(kāi)2(第12題)BADCE【答案】 15. （2011江蘇南通，15，3分）如同，矩形紙片ABCD中，AB2cm，點(diǎn)E在BC上，且AEEC.若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)重合，則AC cm.【答案】416. （2011四川綿陽(yáng)17，4）如圖，將長(zhǎng)8cm，寬4cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)cm.【答案】217. （2011四川涼山州，17，4分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE=3，連接BE與

16、對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則的值是 。【答案】或18. （2011湖北黃岡，5，3分）如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_(kāi)ABCD第5題圖【答案】2819. （2011湖北黃石，13，3分）有甲乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的2倍，如圖（4）.將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD，則AB與BC的數(shù)量關(guān)系為 ?！敬鸢浮緼B=2BC20（2011山東日照，16，4分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN當(dāng)BM= 時(shí)，四邊形ABCN的面積最大 【答案】2; 21. （2011河北，14，3分）如圖

17、6，已知菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-4和1，則BC=_ 【答案】522. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是 .【答案】15或7523.24.25.26.27.28.三、解答題1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3

18、，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC=（090）， 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HE=HG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由 （第23題圖2）（第23題圖3）（第23題圖1）【答案】（1）四邊形EFGH是正方形(2) HAE=90a在ABCD中，ABCD，BAD=180ADC=180a；HAD和EAB都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360HADEABBAD3604545（180a）90aAEB和DGC都是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC都是等腰直角三角形，DHA=CDG= 45，HDG=HAD

19、ADCCDG90aHAEHAD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG四邊形EFGH是正方形由同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，HE=HG（已證），GH=GF=FG=FE，四邊形EFGH是菱形；HAEHDG（已證），DHG=AHE，又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90，四邊形EFGH是正方形2. （2011安徽，23，14分）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、（0，0，0）（1）求證：=；l1l2l3l4h1h2h3ABCD（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：S=；（3）若，當(dāng)變化時(shí)，說(shuō)明正方形ABCD

20、的面積S隨的變化情況l1l2l3l4h1h2h3ABCDEFG1423 【答案】（1）過(guò)A點(diǎn)作AFl3分別交l2、l3于點(diǎn)E、F，過(guò)C點(diǎn)作CGl3交l3于點(diǎn)G，l2l3，2 =3，1+2=90，4+3=90，1=4，又BEA=DGC=90, BA=DC，BEADGC，AE=CG，即=；（2）FAD+3=90，4+3=90，F(xiàn)AD =4，又AFD=DGC=90, AD=DC，AFDDGC，DF=CG，AD2=AF2+FD2，S=； (3)由題意，得， 所以，又，解得0h1當(dāng)0h1時(shí)，S隨h1的增大而減?。?當(dāng)h1=時(shí)，S取得最小值；當(dāng)h1時(shí)，S隨h1的增大而增大.3. （2011福建福州，21，

21、12分）已知,矩形中,的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、,垂足為. (1)如圖10-1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長(zhǎng)；(2)如圖10-2,動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)自停止,點(diǎn)自停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,已知點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求的值.若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)路程分別為、(單位:,),已知、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.圖10-1圖10-2備用圖【答案】(1)證明:四邊形是矩形,垂直平分,垂足為 四邊形為平行四邊形又四邊形為菱形設(shè)菱形的邊長(zhǎng),則 在中,由勾股定理得,解得(2)顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在上

22、,此時(shí)、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;同理點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在或上,也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,解得以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.由題意得,以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)、在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.分三種情況:i)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),即,得ii)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí), 即,得iii)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),即,得綜上所述,與滿足的數(shù)量關(guān)系式是圖1圖2圖34. （2011廣東廣州市，18，9分） 如圖4，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別

23、在邊AB、AD上，且AE=AF 求證：ACEACF圖4ABCDEF【答案】四邊形ABCD為菱形BAC=DAC又AE=AF，AC=ACACEACF（SAS）5. （2011山東濱州，24，10分）如圖，在ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC.設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E,交BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF。那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何下時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。（第24題圖）【答案】當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形2分證明：CE平分BCA,1=2，3分又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 5分同理，F(xiàn)O=CO6分E

24、O=FO又OA=OC, 四邊形AECF是平行四邊形7分又1=2，4=5，1+5=2+4. 8分又1+5+2+4=1802+4=909分四邊形AECF是矩形10分6. （2011山東濟(jì)寧，22，8分）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的垂直平分線交邊于，交邊的延長(zhǎng)線于.當(dāng)時(shí)，與的比值是多少？經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：過(guò)作直線平行于交，分別于，如圖，則可得：，因?yàn)椋?可求出和的值，進(jìn)而可求得與的比值.(1) 請(qǐng)按照小明的思路寫(xiě)出求解過(guò)程.(2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)

25、給予證明；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.(第22題)（1）解：過(guò)作直線平行于交，分別于點(diǎn)， 則，.，.2分，. 4分（2）證明：作交于點(diǎn)，5分則，.，.，.7分.8分(第22題)7. （2011山東威海，24，11分）如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=5在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到MNK（1）若1=70，求MNK的度數(shù)（2）MNK的面積能否小于？若能，求出此時(shí)1的度數(shù)；若不能，試說(shuō)明理由（3）如何折疊能夠使MNK的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值（備用圖）【答案】 解：ABCD是矩形，A

26、MDN，KNM=1KMN=1，KNM=KMN1=70，KNM=KMN=70MNK=40（2）不能過(guò)M點(diǎn)作MEDN，垂足為點(diǎn)E，則ME=AD=1,由（1）知KNM=KMNMK=NK又MKME,NK1MNK的面積最小值為，不可能小于（3）分兩種情況：情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合設(shè)MK=MD=x，則AM=5-x，由勾股定理，得,解得，即 （情況一）情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC設(shè)MK=AK= CK=x，則DK=5-x，同理可得即MNK的面積最大值為1.3 （情況二）8. （2011山東煙臺(tái)，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC90

27、，CDAD，AD2CD22AB2（1）求證：ABBC；ABCDE（2）當(dāng)BEAD于E時(shí)，試證明：BEAECD【答案】（1）證明：連接AC，ABC90，AB2BC2AC2.CDAD，AD2CD2AC2.AD2CD22AB2，AB2BC22AB2，ABBC.（2）證明：過(guò)C作CFBE于F.BEAD，四邊形CDEF是矩形.CDEF.ABEBAE90，ABECBF90，BAECBF，BAECBF.AEBF.BEBFEF AECD.9. (2011 浙江湖州，22，8) 如圖已知E、F分別是ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF(1) 求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2) 若BC10，BAC90

28、，且四邊形AECF是菱形，求BE的長(zhǎng) 【答案】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，且AD=BC，AFEC，BE=DF，AF=EC，四邊形AECF是平行四邊形.（2）四邊形AECF是，AECE，12，BAC90，3902，4901，34，AEBE，BEAECEBC5.10（2011寧波市，23，8分）如圖，在ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)A點(diǎn)作AGDB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（1）求證：DEBF；（2）若G90，求證四邊形DEBF是菱形解：（1）ABCD 中，ABCD，ABCDE、F分別為AB、CD的中點(diǎn)DFDC，BEABDFBE，DFBE四邊形DEBF為平

29、行四邊形DEBF(2)證明：AGBDGDBC90DBC 為直角三角形又F為邊CD的中點(diǎn)BFDCDF又四邊形DEBF為平行四邊形四邊形DEBF是菱形11. （2011浙江衢州，22,10分）如圖，中，是邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接求證：;當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是菱形；在（2）的條件下，若，求的值.（第22題）【答案】.證明：(1)解法1：因?yàn)镈E/AB,AE/BC,所以四邊形ABDE是平行四邊形，所以AE/BD且AE=BD，又因?yàn)锳D是邊BC上的中線，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四邊形ADCE是平行四邊形，所以AD=EC.解法2： 又 (2)解法1：證明是斜邊上的

30、中線 又四邊形是平行四邊形 四邊形是菱形解法2證明： 又四邊形是平行四邊形 四邊形是菱形解法3證明： 四邊形是平行四邊形 又四邊形是菱形解法1解：四邊形是菱形的中位線，則解法2解：四邊形是菱形12. （2011浙江省嘉興，23，12分）以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC=（090），

31、 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HE=HG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由 （第23題圖2）（第23題圖3）（第23題圖1）【答案】（1）四邊形EFGH是正方形(2) HAE=90a在ABCD中，ABCD，BAD=180ADC=180a；HAD和EAB都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360HADEABBAD3604545（180a）90aAEB和DGC都是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC都是等腰直角三角形，DHA=CDG= 45，HDG=HADADCCDG90aHAEHAD是等腰直角三角形，HA=HD，

32、HAEHDG，HE=HG四邊形EFGH是正方形由同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，HE=HG（已證），GH=GF=FG=FE，四邊形EFGH是菱形；HAEHDG（已證），DHG=AHE，又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90，四邊形EFGH是正方形13. （2011福建泉州，21，9分）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1(1)證明：A1AD1CC1B；(2)若ACB30，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C1在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABC1D1是菱形. （直接寫(xiě)出答案）【答案】矩形ABCD BC=AD,BCADDAC=ACB把ACD沿CA方向平移得到A

33、1C1D1A1=DAC,A1D1=AD,AA1=CC1A1=ACB，A1D1=CB。CBADA1C1D1（第21題）A1AD1CC1B（SAS）。6分當(dāng)C1在AC中點(diǎn)時(shí)四邊形ABC1D1是菱形，9分14. （2011甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE。（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長(zhǎng)；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=ACAP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)

34、說(shuō)明理由。ABCDEFO【答案】（1）由折疊可知EFAC，AO=COADBCEAO=FCO，AEO=CFOAOECOFEO=FO四邊形AFCE是菱形。（2）由（1）得AF=AE=10設(shè)AB=a，BF=b，得a2+b2=100 ，ab=48 +2得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一負(fù)值舍去）ABF的周長(zhǎng)為24cm（3）存在，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P符合題意。ABCDEFOP證明：AEP=AOE=90，EAP=OAEAOEAEP，得AE2=AOAP即2AE2=2AOAP又AC=2AO2AE2=ACAP15. （2011廣東株洲，23，8分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段A

35、D上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)， PO的延長(zhǎng)線交BC于Q.（1）求證： OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC， PDO=QBO，又OB=OD，POD=QOB， PODQOB， OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t 四邊形ABCD是矩形，A=90，AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm. 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)， PQBD，POD=A，又ODP=ADB，ODPADB， ，即， 解得

36、,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形. 解法二：PD=8-t 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=(8-t)cm， 四邊形ABCD是矩形，A=90，在RTABP中，AB=6cm， ， ， 解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形. 16. （2011江蘇蘇州，28,9分）（本題滿分9分）如圖，小慧同學(xué)吧一個(gè)正三角形紙片（即OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)上述

37、兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）.小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩端圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和.小慧進(jìn)行類(lèi)比研究：如圖，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，按上述方法經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下

38、問(wèn)題：?jiǎn)栴}：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程；問(wèn)題：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是？請(qǐng)你解答上述兩個(gè)問(wèn)題.【答案】解問(wèn)題：如圖，正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為.頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積為=1+.正方形OABC經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程為.問(wèn)題：方形OABC經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)

39、的路程為=20+.正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)了81次旋轉(zhuǎn).17. （2011江蘇泰州，24，10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線L垂直平分線段AC，垂足為O，直線L分別與線段AD、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F（1）ABC與FOA相似嗎？為什么？（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說(shuō)明理由【答案】(1)相似.由直線L垂直平分線段AC，所以AF=FC，F(xiàn)AC=ACF，又ABC=AOF=90，ABCFOA（2）四邊形AFCE是菱形。理由：AECF，EAO=FCO，又AOCO，AOE=COF，AOECOF，AE=CF，又AECF，四邊形AFCE為平行四邊形，又AF=FC，所以平行四邊形AFCE為菱形18.

40、 （2011江蘇泰州，28，12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長(zhǎng)為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限（1）當(dāng)BAO=45時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在AOB的平分線上；（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說(shuō)明理由【答案】解：（1）當(dāng)BAO=45時(shí)，PAO=90，在RtAOB中，OAAB，在RtAPB中，PAAB。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）（2）過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線垂足

41、分別為M、N，則有PMA=PNB=NPM=BPA=90，MPA=NPB，又PAPB，PAMPBN，PM=PN，于是，點(diǎn)P都在AOB的平分線上；（3）h。當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為，然后頂點(diǎn)A在x軸正半軸上向左運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離逐漸增大，當(dāng)BAO=45時(shí)，PAx軸，這時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最大為，然后又逐漸減小到，x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O ，點(diǎn)P到x軸的距離的取值范圍是h。19. （2011山東濟(jì)寧，17， 5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線EFBD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形B

42、EDF是菱形第17題【答案】證明：四邊形ABCD是菱形，ADBC，OB=OD，1分EDO=FBO，OED=OFB，2分OEDOFB，DE=BF，3分又DEBF，四邊形BEDF是平行四邊形，4分EFBD，四邊形BEDF是菱形5分20（2011山東聊城，25，12分）如圖，在矩形ABCD中，AB12cm，BC8cm，點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)，點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，EFG的面積為S（cm2）（1）當(dāng)t1秒時(shí)，S的值是多少？（2）寫(xiě)出S和t之間的函

43、數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）如圖甲，當(dāng)t1秒時(shí)，AE2，EB10，BF4，F(xiàn)C4，CG2，由SS梯形EGCGSEBFSFCG(102)81044224(2)如圖（甲），當(dāng)0t2時(shí)，點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、CD上移動(dòng)，此時(shí)AE2t，EB122t，BF4t，F(xiàn)C84t，S8t232t48（0t2）（3）如圖乙，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t2t8，解得t4，當(dāng)2t4時(shí)，CF4t8，CG2t，F(xiàn)GCGCF82t，即S8t32(2t4)，(3)如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)F在矩

44、形的邊BC上移動(dòng)時(shí)，0t2，在EFF和FCG中，BC90，若，即，解得t，又t滿足0t2，所以當(dāng)t時(shí)EBFGCF若，即，解得t，又t滿足0t2，所以當(dāng)t時(shí)EBFGCF，綜上知，當(dāng)t或時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似21. （2011山東濰坊，18，8分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F.（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，求PE+PF的值；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求PEPF的值. 【解】（1）四邊形ABCD為正方形，ACBD.PFBD

45、，PF/AC，同理PE/BD.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又PBF=45，PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=.（2）四邊形ABCD為正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又PBF=45，PF=BF.PEPF=OFBF= OB=.22. （2011四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，ABC= 60，DEAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E求證：DE=BE圖5【答案】證明：ABCD是菱形，ABC= 60 BC=AC=AD 又DEAC ACED為平行四邊形 CE=AD=BC DE=AC DE=CE=BC DE=BE23. (2011江蘇南京，21，7分)如圖，將ABCD的邊DC延