北京市海淀區(qū)高三第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理試題

1、北京市海淀區(qū)2015屆高三第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題2014.11 本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）設(shè)集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）（2）已知向量，. 若，則（ ）（A）（B）（C）（D）（3）若等比數(shù)列滿足，且公比，則（ ）（A）（B）（C）（D）（4）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ） （A）向左平移個單位（B）向左平移個單位（C）向右平移個單位（D）向右平移個單位（5）設(shè)，則（

2、）（A）（B）（C）（D）（6） 設(shè)，則“且”是“”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（7）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） （A）（B）（C）（D）（8）設(shè)等差數(shù)列的前項和為.在同一個坐標系中，及的部分圖象如圖所示，則（ ）（A）當時，取得最大值（B）當時，取得最大值（C）當時，取得最小值（D）當時，取得最小值二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）設(shè)復(fù)數(shù)，則_ （10） 已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的值是 .（11） _.（12）為凈化水質(zhì)，向一個游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中

3、該藥品的濃度（單位：）隨時間（單位：）的變化關(guān)系為，則經(jīng)過_后池水中藥品的濃度達到最大. （13）如圖所示，在ABC中，為邊上的一點， 且.若，則.（14）已知函數(shù)（是常數(shù)，）的最小正周期為,設(shè)集合直線為曲線在點處的切線，.若集合中有且只有兩條直線互相垂直，則= ；= .三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）求的值；（）求的單調(diào)遞增區(qū)間.（16）（本小題滿分13分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.（）求的通項公式；（）求數(shù)列的前項和.（17）（本小題滿分13分）如圖所示，在四邊形中，且.（）求的面積；（）若，

4、求的長.（18）（本小題滿分14分）已知函數(shù).（）若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值； （）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.（19）（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項和.（）求的值；（）求證：；（）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由. （20）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，為曲線在點處的切線.（）求L的方程； （）當時，證明：除切點之外，曲線C在直線L的下方；（）設(shè)，且滿足，求的最大值海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí) 數(shù)學(xué)（理）答案及評分參考 2014.11一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A

5、二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12） （13） （14）2；三、解答題（共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（）. 3分（） 5分 . 9分 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 由， 11分 得. 所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為. 13分（16）（共13分）解：（）因為 成等差數(shù)列， 所以 . 2分 設(shè)數(shù)列的公比為，由可得， 4分即.解得：或（舍）. 5分 所以 . 7分（）由（）得：. 所以 8分 9分 . 13分（17）（共13分）解：（）因為 ，所以 . 3分因為 ，所以 . 5分因為 ，所以 的面積. 7分（）在

6、中，.所以 . 9分因為 ， 11分 所以 . 所以 . 13分（18）（共14分）解：（）當時，.，. 2分 令. 因為 ， 所以 . 3分 所以 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. 4分 （）,.令，由，解得，（舍去）. 5分 當，即時，在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù).所以 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為； 7分 當，即時，在上變化時，的變化情況如下表+-所以 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為. 10分綜上所述：當時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.（）由（）可知：當時，在區(qū)間上恒成立； 11分當時，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以 ,即在區(qū)間上存在使得. 13分 綜上所述，的最大值為. 14分（19）（共13分）（）解：由題意知：，即. 解得：. 2分 （）證明：因為 ， 所以 （）. 4分 因為 （）. 6分 所以 ，即. 7分（）數(shù)列是等差數(shù)列.理由如下： 8分又（），由（）可得：（）. 9分所以 ，即. 11分因為 ， 所以 ，即（）. 所以 數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列. 13分（20）（共14分）解：（）.所以 .所以 L的方程為，即 3分（）要證除切點之外，曲線C在直線L的下方，只需證明，恒成立.因為 ，所以 只需證明，恒成立即可 5分設(shè)則.令，解得，. 6分當在上變化時，的變