劉美畢業(yè)論文

1、目 錄引言11單硬幣量子博弈論12量子測(cè)量對(duì)兩枚硬幣量子博弈的影響42.1兩枚硬幣量子博弈42.2量子測(cè)量對(duì)2枚硬幣量子博弈的影響63量子測(cè)量對(duì)任意N枚硬幣量子博弈的影響103.1量子測(cè)量對(duì)3枚硬幣量子博弈的影響103.2量子測(cè)量對(duì)N枚硬幣量子博弈的影響10結(jié)論13參考文獻(xiàn)13英文摘要13致謝14 量子測(cè)量對(duì)多硬幣量子博弈的影響 物理系1003班 學(xué) 生 劉 美 指導(dǎo)教師 任恒峰摘要：在單硬幣及有限多硬幣量子博弈中，游戲者之一可以利用相應(yīng)的量子策略隨心所欲地控制游戲的勝負(fù)。以此為理論基礎(chǔ)，主要研究量子測(cè)量對(duì)多硬幣量子博弈過(guò)程的影響。對(duì)于含有任意N個(gè)硬幣的量子體系而言，可以依次對(duì)這N枚硬幣進(jìn)行的

2、量子博弈過(guò)程做合適的量子測(cè)量。由于對(duì)其中任意一個(gè)硬幣的量子博弈進(jìn)行測(cè)量后，使其恢復(fù)了統(tǒng)計(jì)的獲勝概率，進(jìn)而得到結(jié)論：對(duì)于任意N枚硬幣系統(tǒng)而言，量子測(cè)量會(huì)使其重歸公平。關(guān)鍵詞：量子測(cè)量；多量子硬幣；量子博弈引言 經(jīng)典博弈論已成功在工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、政治、軍事等領(lǐng)域的決策中運(yùn)用，可以用來(lái)解決和決定最好的可能策略1-3。最近，大家廣泛關(guān)注量子博弈的子策略，此理論將應(yīng)用數(shù)學(xué)與量子信息論有機(jī)地結(jié)合在了一起，并在與經(jīng)典策略相對(duì)比之下，顯示了量子策略巨大的優(yōu)越性4-7。目前，王祥斌等人進(jìn)一步討論了任意N個(gè)態(tài)的量子賭盤(pán)的情況8；在實(shí)驗(yàn)上，杜江峰第一次用核磁共振量子計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了“囚徒困境”量子博弈的全過(guò)程，且得出的

3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算完全一致9；中國(guó)科技大學(xué)的郭光燦運(yùn)用光學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了量子賭博機(jī)，并提出了量子測(cè)量在三態(tài)特殊博弈游戲中的作用，得出了量子測(cè)量可以使游戲由不公平趨于公平10,11。在上述的工作基礎(chǔ)上，本文將從一個(gè)全新的角度來(lái)研究量子測(cè)量對(duì)多硬幣量子博弈是否有影響，并為之提供另外一套可行的研究方法。1 單硬幣量子博弈理論首先我們回顧一個(gè)經(jīng)典的二態(tài)博弈游戲1-3：游戲參與者Alice（A）和Bob（B）兩人在做一個(gè)經(jīng)典的搖動(dòng)硬幣游戲。首先A將一個(gè)硬幣放在一個(gè)不可透視的箱子中，硬幣初始狀態(tài)（頭面向上或尾面向上）為二人均知；封閉后交給B，B將其搖動(dòng)，然后交給A；A收到箱子后再將其搖動(dòng)，再次給B；最后B搖動(dòng)

4、后將箱子打開(kāi)。二人均約定：若硬幣人頭面向上A勝，否則B勝。根據(jù)概率理論我們知道這兩人獲勝的機(jī)會(huì)是均等的，其概率都等于二分之一。在量子博弈中，當(dāng)A將硬幣放置好后，B均采用量子策略來(lái)代替經(jīng)典搖動(dòng)，而A仍用經(jīng)典搖動(dòng)來(lái)操作，B則完全可以根據(jù)自己的意愿利用量子策略來(lái)控制游戲的勝負(fù)。 我們可以把硬幣的頭面和尾面兩個(gè)面看作是兩個(gè)獨(dú)立的態(tài)。用量子表示可以標(biāo)記為：頭向上記為：，尾向上記為：，可以表示為矩陣形式： =, = （1.1）拋向上的作用力F可以使硬幣態(tài)保持不變,也可以使硬幣原來(lái)的態(tài)發(fā)生翻轉(zhuǎn)而變?yōu)榱硪粋€(gè)態(tài), F=, =F （1.2） F=, = F （1.3）F 使硬幣的態(tài)保持不變,而F則使原來(lái)的態(tài)發(fā)生翻

5、轉(zhuǎn)而變?yōu)榱硪粋€(gè)態(tài)。下面來(lái)構(gòu)建一個(gè)密度矩陣G： G= （1.4）其本征值為： （1.5）解得：，其特征向量為： ， （1.6）歸一化后，其相應(yīng)的本征態(tài)為： ， （1.7）則G 的對(duì)角矩陣為： ， （1.8）哈達(dá)瑪變換矩陣： , （1.9）密度矩陣能夠體現(xiàn)態(tài)的基本情況，在量子博弈游戲中起著至關(guān)重要的作用。如果量子態(tài)為：，則密度矩陣=。假設(shè)硬幣的初態(tài)是：，規(guī)定： (1.10) (1.11)其相應(yīng)的密度矩陣為： （1.12）同理：對(duì)于初態(tài)是，其相應(yīng)的密度矩陣為： （1.13）在游戲中，假設(shè)A放入硬幣的初態(tài)密度矩陣為，B量子搖動(dòng)后其密度矩陣為，A經(jīng)典搖動(dòng)后其密度矩陣為，B再次量子搖動(dòng)后其密度矩陣為。下面

6、我們就其中的一種情況進(jìn)行介紹，假設(shè)硬幣的初態(tài)為： （1.14）那么初態(tài)密度矩陣： （1.15） （1.16） (G 的大小不依賴(lài)于P) （1.17）假設(shè)此時(shí)B想要得到尾面朝上： （1.18）F為經(jīng)典搖動(dòng)，S為量子搖動(dòng)，經(jīng)典搖動(dòng)不改變硬幣的態(tài)，而量子搖動(dòng)則要改變硬幣的態(tài)。對(duì)于單個(gè)硬幣而言，采用量子策略可以隨心所欲的控制游戲的勝負(fù)。2 量子測(cè)量對(duì)兩枚硬幣量子博弈的影響2.1 兩硬幣量子博弈接下來(lái)我們進(jìn)一步看兩個(gè)可以分辨的量子硬幣的博弈游戲8,9,它們與單硬幣的規(guī)則及游戲過(guò)程類(lèi)似，不過(guò)這兩個(gè)硬幣是可以分辨的。首先我們作一個(gè)定義：1）兩硬幣(A,B)頭面全部向上的態(tài)為： （2.1）2）A頭面向上,B尾

7、面向上： （2.2）3）A尾面向上,B頭面向上： （2.3）4） A,B都是尾面向上： （2.4）N=4的量子賭盤(pán)和兩個(gè)量子硬幣的態(tài)的個(gè)數(shù)是一樣的，因此我們可以再作一個(gè)定義：， （2.5）這樣，我們完全可以把兩個(gè)可分辨的量子硬幣看作一個(gè)N=4的量子賭盤(pán)。下面我們來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下N=4的量子賭盤(pán)的博弈游戲。結(jié)合單硬幣游戲的內(nèi)容，在N=4時(shí)，其對(duì)應(yīng)有4!個(gè)變換：， ， . （2.6）這里我們僅列出前三項(xiàng)，其他21項(xiàng)與其類(lèi)似，都是每一行每一列矩陣元中只有一個(gè)為1，其他全部為0。聯(lián)系兩個(gè)可以分辨的量子硬幣的態(tài)，用列矩陣表示如下： , （2.7）在構(gòu)造密度矩陣時(shí)，同理可以用上面單量子硬幣時(shí)的方法，但計(jì)算繁

8、復(fù)，現(xiàn)在我們用單個(gè)硬幣的密度矩陣的直積來(lái)形成： = = （2.8）G是對(duì)易的 （2.9）即，。求其本征值得：，對(duì)應(yīng)的特征向量可取為： （2.10）那么我們可以構(gòu)成幺正的對(duì)角化矩陣： （2.11） （2.12） （2.13） （2.14）相應(yīng)的對(duì)角矩陣：, （2.15）注：。N=4的量子賭盤(pán)與兩個(gè)可以分辨的量子硬幣的態(tài)及密度矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：， ， （2.16） （2.17）即，由于經(jīng)典的操作不會(huì)改變密度矩陣，從而采用量子操作者可以獲得他所希望獲得的任意狀態(tài)。2.2量子測(cè)量對(duì)2枚硬幣量子博弈的影響在2硬幣中，首先對(duì)第1枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量：A放入的硬幣的狀態(tài)是可知的，B接過(guò)盒子以后采取的是量子的幺

9、正變換。假設(shè)A最初放置硬幣以后的狀態(tài)（頭面向上或頭面向下）分別以量子態(tài)表示。B置備的硬幣的疊加態(tài)為： (2.18)此時(shí)可以用密度矩陣來(lái)表示硬幣的狀態(tài)為： (2.19)下面進(jìn)行量子測(cè)量：如果B知道硬幣放入后的狀態(tài)，那么B就可以決定怎么樣測(cè)量，也就是說(shuō)，如果是頭面就對(duì)頭面測(cè)量，是尾面就對(duì)尾面測(cè)量。B測(cè)量時(shí)采取一組正交基如下： (2.20) (2.21)和 (2.22) (2.23)由2.20和2.21式可以得到： (2.24) (2.25)由2.22和2.23式可以得到： (2.26) (2.27) 把(2.24)和(2.27)式代入密度矩陣(2.19)式,可以得到： (2.28)化簡(jiǎn)并消去相干項(xiàng)

10、，由于測(cè)量的要求，只保留對(duì)角項(xiàng)。則密度矩陣變?yōu)椋?(2.29)B或者選擇或者選擇，即： (2.30)假設(shè)B采取的策略是一個(gè)經(jīng)典的疊加策略： (2.31)那么B獲勝的概率為: (2.32)將以上分析結(jié)果代入得： (2.33)將（2.24）和（2.26）式代入可得： (2.34) 將（2.25）和（2.27）式代入可得： (2.35) 這樣我們就可以得到： (2.36) B可以采用下面的具體正交基： (2.37) (2.38)也就是說(shuō)，令 (2.39)將 (2.39)式代入 (2.36)式可得： (2.40）其次，以同樣的方法對(duì)第2枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量得： (2.41）通過(guò)上面的計(jì)算我們可以得知:，

11、的取值與無(wú)關(guān)，且最終的結(jié)果表明：游戲由一方可以控制的情形，完全轉(zhuǎn)化為對(duì)雙方而言重歸公平的局面。3量子測(cè)量對(duì)任意N枚硬幣量子博弈的影響3.1量子測(cè)量對(duì)3枚硬幣量子博弈的影響在上面的基礎(chǔ)上，我們以同樣的方法分析量子測(cè)量對(duì)3硬幣量子博弈的影響。在3枚硬幣的體系中，首先對(duì)第1 枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.1)其次對(duì)第2枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.2)最后對(duì)第3枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.3)由上面數(shù)據(jù)，我們可得：，的取值與無(wú)關(guān)，這樣的話，經(jīng)過(guò)量子測(cè)量，原來(lái)由量子策略采用者所控制的博弈將重新恢復(fù)公平。3.2量子測(cè)量對(duì)N枚硬幣量子博弈的影響以上述單硬幣量子博弈、兩硬幣量子博弈、三硬幣量子博弈為基礎(chǔ)，我們可

12、以將其推廣至有限個(gè)任意N個(gè)硬幣的量子博弈。與之前的討論相似，我們同樣考慮經(jīng)典的二人博弈游戲，在該游戲中共有N個(gè)可能的狀態(tài)。下面以同樣的方法計(jì)算B對(duì)任意N硬幣量子博弈獲勝的概率，首先對(duì)第1枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.4)接著對(duì)第2枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.5)然后對(duì)第3枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.6)依次對(duì)第4枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.7).對(duì)第N枚硬幣進(jìn)行量子測(cè)量： (3.8) 顯然,，.,的取值與無(wú)關(guān)，進(jìn)而表明：對(duì)于任意多硬幣的量子博弈模型而言，量子測(cè)量可以使其最終重新恢復(fù)公平。結(jié)論在單量子硬幣博弈理論中，游戲者之一利用相應(yīng)的量子策略，即兩次量子么正變換，可以獲得他所想要的任意結(jié)果，進(jìn)而

13、控制游戲的勝負(fù)；而對(duì)于多硬幣博弈游戲而言，量子策略也同樣比經(jīng)典策略更具優(yōu)越性。在回顧了量子測(cè)量對(duì)單硬幣量子博弈模型的影響后，我們分別研究了量子測(cè)量對(duì)2枚、3枚乃至多枚硬幣量子博弈模型影響，最終得到結(jié)論：量子測(cè)量可以使其最終重新恢復(fù)公平。參考文獻(xiàn)1 孫昌璞.量子理論若干基本問(wèn)題研究的新進(jìn)展J.物理學(xué)進(jìn)展,2001,12(03):01-022 何祚庥.談?wù)劻孔恿W(xué)測(cè)量問(wèn)題J.物理,1993,22 (07):01-03 3 孫昌璞.量子力學(xué)測(cè)量問(wèn)題與量子信息J.物理學(xué)進(jìn)展,2000，06(55):01-074 周世勛.量子力學(xué)教程M.北京:高等教育出版社,1978:25-265 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)導(dǎo)論

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15、ment of Physics 1003 Student Liu meiTutors Ren hengfeng Abstract: In a single coin and finite quantum game, one of the players could use the corresponding control strategy of quantum as outcome of the game. On the basis of the theory, the main research on quantum measurement is a coin quantum game p

16、rocess. For a quantum system with arbitrary N coins, we could make a suitable quantum measurement for the N coins in the quantum game process. Because any coin is measured in turn, making it restore the winning probability statistics. Then draw the conclusion: for any arbitrary N coins system, quantum measurement makes the return to equity.Key words: Quantum measurement; Multiple Quantum coin; Quantum game致謝本文是在任恒峰老師的指導(dǎo)下完成的。從論文的選題、文獻(xiàn)查閱到論文的