幾何圖形折疊問題

1、 幾何圖形折疊問題【疑難點撥】1. 折疊(翻折)問題常常出現(xiàn)在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質是軸對稱性質的應用解題的關鍵利用軸對稱的性質找到折疊前后不變量與變量，運用三角形的全等、相似及方程等知識建立有關線段、角之間的聯(lián)系2. 折疊(翻折)意味著軸對稱，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中如果題目中有直角，則通常將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折疊通常利用折疊性質和平行線性質求角的度數(shù)，或者利用折疊性質以及勾股定理求線段長度矩形中的兩次或多次折疊通常出現(xiàn)“一線三直角”的模型(如圖)，從而構造相似三角形，利用相似三角形求邊或者角的度數(shù)4. 凡是在幾

2、何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量1.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.2.折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等【基礎篇】一、選擇題：1. .（2018四川涼州3分）如圖將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使C落在C處，BC交AD于點E，則下到結論不一定成立的是（） A AD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=2. （2017山東煙臺）如圖1，將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中點C，過點C作CDOA交于點D，點F是上一點若

3、將扇形BOD沿OD翻折，點B恰好與點F重合，用剪刀沿著線段BD，DF，F(xiàn)A依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為（ ）A36-108B108-32C2D3. （2017浙江衢州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于（）ABCD4. （2018·山東青島·3分）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，BAC=90°，點E為AB中點沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F已知EF=，則BC的長是（）AB3C3D3 5. （2017烏魯木齊）如圖，在矩形ABCD中，點F在

4、AD上，點E在BC上，把這個矩形沿EF折疊后，使點D恰好落在BC邊上的G點處，若矩形面積為4且AFG=60°，GE=2BG，則折痕EF的長為（）A1BC2D二、填空題：6. （2018·遼寧省盤錦市）如圖，已知RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，點M、N分別在線段AC.AB上，將ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當DCM為直角三角形時，折痕MN的長為7. （2018·山東威海·8分）如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點B與AD邊上的點K重合，EG為折痕；點C與AD邊上的點K重合，F(xiàn)H為折痕已知

5、1=67.5°，2=75°，EF=+1，則BC的長 8. （2018·湖南省常德·3分）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處，已知DGH=30°，連接BG，則AGB= 三、解答與計算題：9. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形10. （2018山東棗莊10分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EGCD交A

6、F于點G，連接DG（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的長【能力篇】一、選擇題：11. （2018·遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（B=90°）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )A4B5C6D712. （2018·四川省攀枝花·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點給出以下結論：四邊形A

7、ECF為平行四邊形；PBA=APQ；FPC為等腰三角形；APBEPC其中正確結論的個數(shù)為（）A1B2C3D413. （2018·湖北省武漢·3分）如圖，在O中，點C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D若O的半徑為，AB=4，則BC的長是（）A             B             C  

8、;             D二、填空題：14. (2018·遼寧省葫蘆島市) 如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點F在矩形ABCD的內部，將BF延長交AD于點G若=，則= 15. （2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內點F處，下列結論正確的是 （寫出所有正確結論的序號）當E為線段AB中點時，AFCE；當E為線段

9、AB中點時，AF=；當A、F、C三點共線時，AE=；當A、F、C三點共線時，CEFAEF三、解答與計算題：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BECG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：AEBDEC；（2）如圖2，求證：BP=BF；當AD=25，且AEDE時，求cosPCB的值；當BP=9時，求BEEF的值17. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在

10、點E處，AE交CD于點F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形18. （2018江蘇鹽城10分）如圖，在以線段 為直徑的 上取一點，連接 、 .將 沿 翻折后得到 .（1）試說明點 在 上； （2）在線段 的延長線上取一點 ，使 .求證： 為 的切線； （3）在（2）的條件下，分別延長線段 、 相交于點 ，若 ， ，求線段 的長. 【探究篇】19. （2018年江蘇省泰州市12分）對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD邊上（如圖），再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；（2）將該矩形紙片展開

11、如圖，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P，再將該矩形紙片展開求證：HPC=90°；不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法（不需說明理由）20. （2018年江蘇省宿遷）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設BE=x，（1）當AM= 時，求x的值； （2）隨著點M在邊AD上位置的變化，PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如

12、不變，請求出該定值； （3）設四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值. 幾何圖形折疊問題【疑難點撥】1. 折疊(翻折)問題常常出現(xiàn)在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質是軸對稱性質的應用解題的關鍵利用軸對稱的性質找到折疊前后不變量與變量，運用三角形的全等、相似及方程等知識建立有關線段、角之間的聯(lián)系2. 折疊(翻折)意味著軸對稱，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中如果題目中有直角，則通常將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折疊通常利用折疊性質和平行線性質求角的度數(shù)，或者利用折疊性質以及勾股定理求線段長度矩形中的兩次或多次折疊通

13、常出現(xiàn)“一線三直角”的模型(如圖)，從而構造相似三角形，利用相似三角形求邊或者角的度數(shù)4. 凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量1.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.2.折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等【基礎篇】一、選擇題：1. .（2018四川涼州3分）如圖將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使C落在C處，BC交AD于點E，則下到結論不一定成立的是（） AAD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=【分析】主要根據(jù)折疊前后角和邊相等找到相等的邊之間的關系，即可選

14、出正確答案【解答】解：A、BC=BC，AD=BC，AD=BC，所以正確B、CBD=EDB，CBD=EBD，EBD=EDB正確D、sinABE=，EBD=EDBBE=DEsinABE=故選：C【點評】本題主要用排除法，證明A，B，D都正確，所以不正確的就是C，排除法也是數(shù)學中一種常用的解題方法2. （2017山東煙臺）如圖1，將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中點C，過點C作CDOA交于點D，點F是上一點若將扇形BOD沿OD翻折，點B恰好與點F重合，用剪刀沿著線段BD，DF，F(xiàn)A依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為（ ）A36-108B

15、108-32C2D【考點】MO：扇形面積的計算；P9：剪紙問題【分析】先求出ODC=BOD=30°，作DEOB可得DE=OD=3，先根據(jù)S弓形BD=S扇形BODSBOD求得弓形的面積，再利用折疊的性質求得所有陰影部分面積【解答】解：如圖，CDOA，DCO=AOB=90°，OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，ODC=BOD=30°，作DEOB于點E，則DE=OD=3，S弓形BD=S扇形BODSBOD=×6×3=39，則剪下的紙片面積之和為12×（39）=36108，故答案為：36108故選A3. （2017浙江衢州）如圖，矩形紙片A

16、BCD中，AB=4，BC=6，將ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于（）ABCD【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質【分析】根據(jù)折疊的性質得到AE=AB，E=B=90°，易證RtAEFRtCDF，即可得到結論EF=DF；易得FC=FA，設FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6x，在RtCDF中利用勾股定理得到關于x的方程x2=42+（6x）2，解方程求出x【解答】解：矩形ABCD沿對角線AC對折，使ABC落在ACE的位置，AE=AB，E=B=90°，又四邊形ABCD為矩形，AB=CD，AE=DC，而AFE=DFC，在AEF與CDF中，

17、AEFCDF（AAS），EF=DF；四邊形ABCD為矩形，AD=BC=6，CD=AB=4，RtAEFRtCDF，F(xiàn)C=FA，設FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6x，在RtCDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6x）2，解得x=，則FD=6x=故選：B4. （2018·山東青島·3分）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，BAC=90°，點E為AB中點沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F已知EF=，則BC的長是（）AB3C3D3 【分析】由折疊的性質可知B=EAF=45°，所以可求出AFB=90°，再直角三角形的性質可知EF

18、=AB，所以AB=AC的長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長【解答】解：沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，B=EAF=45°，AFB=90°，點E為AB中點，EF= AB，EF= ，AB=AC=3，BAC=90°，BC=3，故選：B【點評】本題考查了折疊的性質、等腰直角三角形的判斷和性質以及勾股定理的運用，求出AFB=90°是解題的關鍵5. （2017烏魯木齊）如圖，在矩形ABCD中，點F在AD上，點E在BC上，把這個矩形沿EF折疊后，使點D恰好落在BC邊上的G點處，若矩形面積為4且AFG=60°，GE=2BG，則折痕EF的長為（）A1B

19、C2D【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質【分析】由折疊的性質可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、DFE=GFE，結合AFG=60°即可得出GFE=60°，進而可得出GEF為等邊三角形，在RtGHE中，通過解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG結合矩形面積為4，即可求出EC的長度，根據(jù)EF=GE=2EC即可求出結論【解答】解：由折疊的性質可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，DFE=GFEGFE+DFE=180°AFG=120°，GFE=60°AFGE，AFG=60

20、6;，F(xiàn)GE=AFG=60°，GEF為等邊三角形，EF=GEFGE=60°，F(xiàn)GE+HGE=90°，HGE=30°在RtGHE中，HGE=30°，GE=2HE=CE，GH=HE=CEGE=2BG，BC=BG+GE+EC=4EC矩形ABCD的面積為4，4ECEC=4，EC=1，EF=GE=2故選C二、填空題：6. （2018·遼寧省盤錦市）如圖，已知RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，點M、N分別在線段AC.AB上，將ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當DCM為直角三角形時，折

21、痕MN的長為【解答】解：分兩種情況：如圖，當CDM=90°時，CDM是直角三角形，在RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，C=30°，AB=AC=，由折疊可得：MDN=A=60°，BDN=30°，BN=DN=AN，BN=AB=，AN=2BN=DNB=60°，ANM=DNM=60°，AMN=60°，AN=MN=；如圖，當CMD=90°時，CDM是直角三角形，由題可得：CDM=60°，A=MDN=60°，BDN=60°，BND=30°，BD=DN

22、=AN，BN=BD1AB=，AN=2，BN=，過N作NHAM于H，則ANH=30°，AH=AN=1，HN=，由折疊可得：AMN=DMN=45°，MNH是等腰直角三角形，HM=HN=，MN= 故答案為：或7. （2018·山東威海·8分）如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點B與AD邊上的點K重合，EG為折痕；點C與AD邊上的點K重合，F(xiàn)H為折痕已知1=67.5°，2=75°，EF=+1，求BC的長【分析】由題意知3=180°21=45°、4=180°22=30°、BE=KE、KF=FC

23、，作KMBC，設KM=x，知EM=x、MF=x，根據(jù)EF的長求得x=1，再進一步求解可得【解答】解：由題意，得：3=180°21=45°，4=180°22=30°，BE=KE、KF=FC，如圖，過點K作KMBC于點M，設KM=x，則EM=x、MF=x，x+x=+1，解得：x=1，EK=、KF=2，BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+，BC的長為3+【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是掌握翻折變換的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等8. （2018·湖南省常德·3分）如圖，將矩形ABCD沿E

24、F折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處，已知DGH=30°，連接BG，則AGB=75°【分析】由折疊的性質可知：GE=BE，EGH=ABC=90°，從而可證明EBG=EGB，然后再根據(jù)EGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH，由平行線的性質可知AGB=GBC，從而易證AGB=BGH，據(jù)此可得答案【解答】解：由折疊的性質可知：GE=BE，EGH=ABC=90°，EBG=EGBEGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH又ADBC，AGB=GBCAGB=BGHDGH=30°，AGH=150°，AGB=AGH=75

25、76;，故答案為：75°【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是熟練掌握翻折變換的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等三、解答與計算題：9. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可得出AD=BC、AB=CD，結合折疊的性質可得出AD=CE、AE=CD，進而即可證出ADECED（SSS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質可得出DEF=EDF，利用等邊對等角可得出EF

26、=DF，由此即可證出DEF是等腰三角形【解答】證明：（1）四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD由折疊的性質可得：BC=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD在ADE和CED中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEA=EDC，即DEF=EDF，EF=DF，DEF是等腰三角形【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、翻折變換以及矩形的性質，解題的關鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質結合折疊的性質找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質找出DEF=EDF10. （2018山東棗莊10分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EGCD交A

27、F于點G，連接DG（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的長【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質和平行線的性質證明DGF=DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點O由菱形的性質可知GFDE，OG=OF=GF，接下來，證明DOFADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關系；（3）過點G作GHDC，垂足為H利用（2）的結論可求得FG=4，然后再ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明FGHFAD，利用相似三

28、角形的性質可求得GH的長，最后依據(jù)BE=ADGH求解即可【解答】解：（1）證明：GEDF，EGF=DFG由翻折的性質可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFGGD=DFDG=GE=DF=EF四邊形EFDG為菱形（2）EG2=GFAF理由：如圖1所示：連接DE，交AF于點O四邊形EFDG為菱形，GFDE，OG=OF=GFDOF=ADF=90°，OFD=DFA，DOFADF，即DF2=FOAFFO=GF，DF=EG，EG2=GFAF（3）如圖2所示：過點G作GHDC，垂足為HEG2=GFAF，AG=6，EG=2，20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG40=0解得

29、：FG=4，F(xiàn)G=10（舍去）DF=GE=2，AF=10，AD=4GHDC，ADDC，GHADFGHFAD，即=GH=BE=ADGH=4=【點評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、菱形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用，利用相似三角形的性質得到DF2=FOAF是解題答問題（2）的關鍵，依據(jù)相似三角形的性質求得GH的長是解答問題（3）的關鍵【能力篇】一、選擇題：11. （2018·遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（B=90°）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )A4B5

30、C6D7【解答】解：由折疊的性質可得AE=A1EABC為等腰直角三角形，BC=8，AB=8A1為BC的中點，A1B=4，設AE=A1E=x，則BE=8x在RtA1BE中，由勾股定理可得42+（8x）2=x2，解得x=5 故答案為：5故選B12. （2018·四川省攀枝花·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點給出以下結論：四邊形AECF為平行四邊形；PBA=APQ；FPC為等腰三角形；APBEPC其中正確結論的個數(shù)為（）A1B2C3D4解：如圖，EC

31、，BP交于點G；點P是點B關于直線EC的對稱點，EC垂直平分BP，EP=EB，EBP=EPB點E為AB中點，AE=EB，AE=EP，PAB=PBAPAB+PBA+APB=180°，即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180°，PAB+PBA=90°，APBP，AFEC；AECF，四邊形AECF是平行四邊形，故正確；APB=90°，APQ+BPC=90°，由折疊得：BC=PC，BPC=PBC四邊形ABCD是正方形，ABC=ABP+PBC=90°，ABP=APQ，故正確；AFEC，F(xiàn)PC=PCE=BCEPFC是鈍角，當

32、BPC是等邊三角形，即BCE=30°時，才有FPC=FCP，如右圖，PCF不一定是等腰三角形，故不正確；AF=EC，AD=BC=PC，ADF=EPC=90°，RtEPCFDA（HL）ADF=APB=90°，F(xiàn)AD=ABP，當BP=AD或BPC是等邊三角形時，APBFDA，APBEPC，故不正確；其中正確結論有，2個 故選B13. （2018·湖北省武漢·3分）如圖，在O中，點C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D若O的半徑為，AB=4，則BC的長是（）A       

33、;      B             C               D【分析】連接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如圖，利用垂徑定理得到ODAB，則AD=BD=AB=2，于是根據(jù)勾股定理可計算出OD=1，再利用折疊的性質可判斷弧AC和弧CD所在的

34、圓為等圓，則根據(jù)圓周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性質得AE=DE=1，接著證明四邊形ODEF為正方形得到OF=EF=1，然后計算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 【解答】解：連接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如圖，D為AB的中點，ODAB，AD=BD=AB=2，在RtOBD中，OD= =1，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D弧AC和弧CD所在的圓為等圓，=，AC=DC，AE=DE=1，易得四邊形ODEF為正方形，OF=EF=1，在RtOCF中，CF= =2，CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，BC=3故選：

35、B【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系也考查了圓周角定理和垂徑定理二、填空題：14. (2018·遼寧省葫蘆島市) 如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點F在矩形ABCD的內部，將BF延長交AD于點G若=，則= 【解答】解：連接GE點E是CD的中點，EC=DE將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點F在矩形ABCD的內部，EF=DE，BFE=90°在RtEDG和RtEFG中，RtEDGRtEFG（HL），F(xiàn)G=DG=，設DG=FG=a，則AG=7a，故AD=B

36、C=8a，則BG=BF+FG=9a，AB=4a，故=故答案為： 15. （2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內點F處，下列結論正確的是（寫出所有正確結論的序號）當E為線段AB中點時，AFCE；當E為線段AB中點時，AF=；當A、F、C三點共線時，AE=；當A、F、C三點共線時，CEFAEF【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性質【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：如圖1中，當AE=EB時，AE=EB=EF，EAF=EFA，CEF=

37、CEB，BEF=EAF+EFA，BEC=EAF，AFEC，故正確，作EMAF，則AM=FM，在RtECB中，EC= =，AME=B=90°，EAM=CEB，CEBEAM，=，=，AM= ，AF=2AM= ，故正確，如圖2中，當A、F、C共線時，設AE=x則EB=EF=3x，AF= 2，在RtAEF中，AE2=AF2+EF2，x2=（2）2+（3x）2，x= ，AE= ，故正確，如果，CEFAEF，則EAF=ECF=ECB=30°，顯然不符合題意，故錯誤，故答案為【點評】本題考查翻折變換、全等三角形的性質、勾股定理、矩形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運

38、用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題三、解答與計算題：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BECG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：AEBDEC；（2）如圖2，求證：BP=BF；當AD=25，且AEDE時，求cosPCB的值；當BP=9時，求BEEF的值【分析】（1）先判斷出A=D=90°，AB=DC再判斷出AE=DE，即可得出結論；（2）利用折疊的性質，得出PGC=PBC=90°，BPC=GPC，進

39、而判斷出GPF=PFB即可得出結論；判斷出ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判斷出ECFGCP，進而求出PC，即可得出結論；判斷出GEFEAB，即可得出結論【解答】解：（1）在矩形ABCD中，A=D=90°，AB=DC，E是AD中點，AE=DE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC=90°，BPC沿PC折疊得到GPC，PGC=PBC=90°，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；當AD=25時，BEC=90°，AEB+CED=90°，

40、AEB+ABE=90°，CED=ABE，A=D=90°，ABEDEC，設AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折疊得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，設BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如圖，連接FG，GEF=BAE=90°，BFPG，BF=PG，BPGF是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=12×9=108【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

41、質，折疊的性質，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵17. （2018·廣東·7分）如圖，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEF是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可得出AD=BC、AB=CD，結合折疊的性質可得出AD=CE、AE=CD，進而即可證出ADECED（SSS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質可得出DEF=EDF，利用等邊對等角可得出EF=DF，由此即可證出DEF是等腰三角形【解答】證明：（1）四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD由折疊的性質可得：B

42、C=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD在ADE和CED中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEA=EDC，即DEF=EDF，EF=DF，DEF是等腰三角形【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、翻折變換以及矩形的性質，解題的關鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質結合折疊的性質找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質找出DEF=EDF18. （2018江蘇鹽城10分）如圖，在以線段 為直徑的 上取一點，連接 、 .將 沿 翻折后得到 .（1）試說明點 在 上； （2）在線段 的延長線上取一點 ，使 .求證： 為 的切線； （3）在（2）的條件下，分別延長線段 、

43、相交于點 ，若 ， ，求線段 的長. 【答案】（1）解：連接OC，OD，由翻折可得OD=OC，OC是O的半徑，點D在O上。（2）證明：點D在O上，ADB=90°，由翻折可得AC=AD，AB2=AC·AE，AB2=AD·AE， ，又BAE=DAB，ABEADB，ABE=ADB=90°，OB是半徑，BE為的O切線。（3）解：設EF=x，AB2=AC2+BC2=AC·AE，AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，BDF=C=90°，BFD=AFC，BDFACF， 即 則BF= ，在RtBDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2 ， 則22

44、+（1+x）2=( )2 ， 解得x1= ,x2=-1（舍去）,則EF= 【考點】點與圓的位置關系，切線的判定，相似三角形的判定與性質 【解析】【分析】（1）要證明點D在O上，則需要證明點D到圓心的距離OD要等于半徑，由折疊易知OD=OC；（2）證明BE為的O切線，由切線判定定理可得需要證明ABE=90°；易知ADB=90°，由公共角BAE=DAB，則需要ABEADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可證明；（3）易知BDF=ADB=90°，則BDF是一個直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2 ， 而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要

45、求的，不妨先設EF=x，看能否求出DE或都BF，求不出的話可用x表示出來，再代入BD2+DF2=BF2解得即可?！咎骄科?9. （2018年江蘇省泰州市12分）對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD邊上（如圖），再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；（2）將該矩形紙片展開如圖，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P，再將該矩形紙片展開求證：HPC=90°；不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法（不需說明理由）【分

46、析】（1）依據(jù)BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由圖，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；（2）由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依據(jù)勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，進而得出AP=BC，再根據(jù)PH=CP，A=B=90°，即可得到RtAPHRtBCP（HL），進而得到CPH=90°；由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；由BCE=PCH=45°，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH，進

47、而得到CP平分BCE，故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P【解答】解：（1）由圖，可得BCE=BCD=45°，又B=90°，BCE是等腰直角三角形，=cos45°=，即CE=BC，由圖，可得CE=CD，而AD=BC，CD=AD，=；（2）設AD=BC=a，則AB=CD=a，BE=a，AE=（1）a，如圖，連接EH，則CEH=CDH=90°，BEC=45°，A=90°，AEH=45°=AHE，AH=AE=（1）a，設AP=x，則BP=ax，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，AH2+AP

48、2=BP2+BC2，即（1）a2+x2=（ax）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又PH=CP，A=B=90°，RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP中，BCP+BPC=90°，APH+BPC=90°，CPH=90°；折法：如圖，由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；折法：如圖，由BCE=PCH=45°，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH，又DCH=ECH，BCP=PCE，即CP平分BCE

49、，故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P【點評】本題屬于折疊問題，主要考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質的綜合運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等解題時常常設要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案20. （2018年江蘇省宿遷）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設B