2013年高考江蘇卷數(shù)學(xué)(理)試卷及答案(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)ABC1ADEF1B1CABCSGFE2013 年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題卷卷 必做題部分必做題部分一填空題一填空題1函數(shù)的最小正周期為 。)42sin(3xy2設(shè)（ 為虛數(shù)單位） ，則復(fù)數(shù)的模為 。2)2(iziz3雙曲線的兩條漸近線的方程為 。191622yx4集合共有 個(gè)子集。1 , 0 , 15下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的的值是 。n6抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)員的 5 此訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)） ，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏?/p>

2、運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為 。7現(xiàn)在某類病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則都取到奇nmYXmn7m9nnm，數(shù)的概率為 。8如圖，在三棱柱中，分別是ABCCBA111FED，1AAACAB，的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，ADEF 1VABCCBA1112V則 。21:VV9拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)椋ò?xy 1xD角形內(nèi)部與邊界） 。若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范),(yxPDyx2圍是 。10設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，若ED，ABCBCAB，ABAD21BCBE32 （為實(shí)數(shù)） ，則的值為 。ACABDE2121，2111已知是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，則不等

3、式的解集用區(qū)間)(xfR0 xxxxf4)(2xxf)(表示為 。12在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線xOyC)0, 0( 12222babyaxF為 ，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到 的距離為，若，則橢lBBF1dFl2d126dd 圓的離心率為 。C13在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，是函數(shù)（）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)xOy),(aaAPxy10 x之間的最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為 。AP，22a14在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則滿足的最大正整數(shù)na215a376 aannaaaaaa2121 的值為 。n二解答題：15本小題滿分 14 分。已知，(cos ,si

4、n)(cos,sin)ab，。0（1）若，求證：；（2）設(shè)，|2abab(0,1)c 若，求的值。abc,16本小題滿分 14 分。如圖，在三棱錐中，平面平面，ABCS SABSBCBCAB 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)xyAlOCBA，過(guò)作，垂足為，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).ABAS ASBAF FGE，SCSA，求證：（1）平面平面； （2）./EFGABCSABC 17本小題滿分 14 分。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線xOy)3 , 0(A,設(shè)圓的半徑為 ，圓心在 上。42:xylC1l（1）若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；C1 xyAC（2）若圓上存在點(diǎn)，使

5、，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍。CMMOMA2Ca18本小題滿分 16 分。如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直ACA線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到?，F(xiàn)有甲乙兩位游客從CABBC處下山，甲沿勻速步行，速度為。在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停AACmin/50mmin2ABB留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?。假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，min1Cmin/130mACm1260經(jīng)測(cè)量，。1312cosA53cosC（1）求索道的長(zhǎng)；AB（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)分鐘，乙步行C3的速度

6、應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19本小題滿分 16 分。設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和。記naad)0(dnSn，其中為實(shí)數(shù)。cnnSbnn2*Nnc（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（） ；0c421bbb，knkSnS2*,Nnk（2）若是等差數(shù)列，證明：。nb0c20本小題滿分 16 分。設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。axxxf ln)(axexgx)(a（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。)(xg), 1()(xf卷卷 附加題部分附加題部分選做題第 21 題，本題包括 A、B、

7、C、D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。21A.選修 4-1：幾何證明選講本小題滿分 10 分。如圖，和分別與圓相切于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心，且ABBCOD,C ACO2BCOC求證：2ACAD21B.選修 4-2：矩陣與變換本小題滿分 10 分。已知矩陣，求矩陣。1 01 2,020 6ABBA121.C.選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題滿分 10 分。在平面直角坐標(biāo)系中，直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)） ，曲線 C 的參數(shù)方程為xoyltytx21t （為參數(shù)） ，試求直線 與曲線 C 的普通方程，并求出它

8、們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)。tan2tan22yxl21D.選修 4-5：不定式選講本小題滿分 10 分。已知0，求證：ba baabba223322精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)必做題第 22、23 題，每題 10 分，共 20 分。請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。22本小題滿分 10 分。如圖，在直三棱柱中，,點(diǎn)是的中點(diǎn)111ABCABCACAB 2 ACAB41AADBC（1）求異面直線與所成角的余弦值BA1DC1（2）求平面與所成二面角的正弦值。1ADC1ABA23本小題滿分 10 分。設(shè)數(shù)列 122,3,3,34444na：，- ，-，-

9、 ，- ，- ，- ，即當(dāng)時(shí)，-1-1-1-1kkkkk個(gè)（），（）1122kkk kn（）（）kN，記，對(duì)于，11knak （- ）12nnSaaanNlN定義集合lP1nnn SanNnl是的整數(shù)倍，且（1）求集合中元素的個(gè)數(shù)； （2）求集合中元素的個(gè)數(shù)。11P2000P精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)參考答案參考答案一、填空題1 25 3 48 53 62 7 8 9xy4320631:2421, 210 11 12 13或 141212 , 50 , 533110二、解答題15解：（1） 即，2|ba2|2ba22222bbaaba又，1sincos|2222aa1sinco

10、s|2222bb222ba0baba（2） 即 ) 1 , 0()sinsin,cos(cosba1sinsin0coscossin1sincoscos兩邊分別平方再相加得： sin22121sin21sin061,6516證明：（1），F(xiàn) 分別是 SB 的中點(diǎn)ABAS SBAF EF 分別是 SASB 的中點(diǎn) EFAB又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC同理：FG平面 ABC又EFFG=F, EFFG平面 ABC平面平面/EFGABC（2）平面平面SABSBC平面平面=BCSABSBCAF平面 SABAFSBAF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=

11、A, ABAF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面 SABBCSABCAB 17解：（1）由得圓心 C 為（3,2） ，圓的半徑為142xyxyC1圓的方程為：C1)2()3(22yx顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓 C 的切線方程為，即3 kxy03 ykx或者113232kk1132kk0)34(2kk0k43k所求圓 C 的切線方程為：或者即或者3y343xy3y01243yx（2）解：圓的圓心在在直線上，所以，設(shè)圓心 C 為（a,2a-4）C42:xyl則圓的方程為：C1)42()(22ayax又設(shè) M 為（x,y）則整理得：設(shè)為圓 DMOMA222222)3(yxyx4) 1(

12、22 yx點(diǎn) M 應(yīng)該既在圓 C 上又在圓 D 上 即：圓 C 和圓 D 有交點(diǎn)12) 1()42(1222aa由得08852 aaRx由得01252aa5120 x精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)終上所述，的取值范圍為：a512, 018解：（1），1312cosA53cosC，），（、20CA135sinA54sinC 6563sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（ 根據(jù)得sinBsinCACABmCACAB1040sinsinB（2）設(shè)乙出發(fā) t 分鐘后，甲乙距離為 d，則1312)50100(1302)50100()130(222ttttd)50

13、7037(20022ttd即13010400 t80 t時(shí)，即乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短。3735t3735（3）由正弦定理得（m）sinBsinAACBC50013565631260sinsinBAACBC乙從 B 出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了 50（2+8+1）=550（m） ，還需走 710 m 才能到達(dá) C設(shè)乙的步行速度為 V ,則min/m350710500v3507105003v為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi)C314625,431250法二：解：解：（1）如圖作 BDCA 于點(diǎn) D，設(shè) BD20k，則 DC25k，A

14、D48k，AB52k，由 AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）設(shè)乙出發(fā) x 分鐘后到達(dá)點(diǎn) M，此時(shí)甲到達(dá) N 點(diǎn)，如圖所示則：AM130 x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000，其中 0 x8，當(dāng) x(min)時(shí)，MN 最小，此時(shí)乙在纜車上與甲的距離最短3537（3）由（1）知：BC500m，甲到 C 用時(shí)：(min)1260501265若甲等乙 3 分鐘，則乙到 C 用時(shí)：3 (min)，在 BC 上用時(shí)： (min) 12651415865此時(shí)乙的速度最小，且為：500m/min865125043若乙

15、等甲 3 分鐘，則乙到 C 用時(shí)：3 (min)，在 BC 上用時(shí)： (min) 12651115565此時(shí)乙的速度最大，且為：500m/min56562514精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)故乙步行的速度應(yīng)控制在，范圍內(nèi)12504362514CBADMN19證明：是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和naad)0(dnSndnnnaSn2) 1( （1） 0cdnanSbnn21成等比數(shù)列 421bbb，4122bbb)23()21(2daada 041212dad0)21(21dad0dda21ad2anannnadnnnaSn222) 1(2) 1(左邊= 右邊=aknankS

16、nk222)(aknSnk222左邊=右邊原式成立（2）是等差數(shù)列設(shè)公差為，帶入得：nb1d11) 1(dnbbncnnSbnn2 對(duì)恒成立11) 1(dnbcnnSn2)()21()21(11121131bdcncdndadbndd Nn0)(0021021111111bdccddadbdd由式得： dd2110d01d由式得：0c法二：證：（1）若，則，0cdnaan) 1( 22) 1(adnnSn22) 1(adnbn當(dāng)成等比數(shù)列，421bbb，4122bbb 即：，得：，又，故2322daadaadd220dad2由此：，anSn2aknankSnk222)(aknSnk222故：（

17、） knkSnS2*,Nnk（2）， cnadnncnnSbnn22222) 1(精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)cnadncadncadnn2222) 1(22) 1(22) 1( ()cnadncadn222) 1(22) 1(若是等差數(shù)列，則型nbBnAnbn觀察()式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，故有：，即，而0，022) 1(2cnadnc022) 1(adnc22) 1(adn故0c經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列0cnb20.解：（1）由即對(duì)恒成立，01)(axxfax1), 1 ( xmax1xa而由知1 ), 1 ( xx11a由令則aexgx)(0)(xgaxln當(dāng)時(shí)0，當(dāng)時(shí)0

18、，xaln)(xgxaln)(xg在上有最小值)(xg), 1 ( 1 alnae綜上所述：的取值范圍為a),( e（2）證明：在上是單調(diào)增函數(shù))(xg), 1(即對(duì)恒成立，0)(aexgxxea ), 1(x minxea 而當(dāng)時(shí)， ), 1(xxee1ea1分三種情況：（）當(dāng)時(shí)， 0 f（x）在上為單調(diào)增函數(shù)0axxf1)(), 0( x f（x）存在唯一零點(diǎn)0) 1 (f（）當(dāng)0 時(shí)，0 f（x）在上為單調(diào)增函數(shù)aaxxf1)(), 0( x0 且0)1 ()(aaaeaaeaefaf) 1 (f（x）存在唯一零點(diǎn)（）當(dāng) 0時(shí)，令得ea1axxf1)(0)(xfax1當(dāng) 0時(shí)，0；時(shí)，0

19、 xa1xaxaxf)1()(xa1xaxaxf)1()(為最大值點(diǎn)，最大值為ax11ln11ln)1(aaaaaf當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)01lna01lnaea1)(xfeax1精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng)0 時(shí)，0，有兩個(gè)零點(diǎn)1lnaea1)(xf實(shí)際上，對(duì)于 0，由于0，0ea1eaeaeef111ln)1(1ln11ln)1(aaaaaf且函數(shù)在上的圖像不間斷 函數(shù)在上有存在零點(diǎn)ae1,1)(xfae1,1另外，當(dāng)，0，故在上單調(diào)增，在只有一個(gè)零點(diǎn)ax1, 0axxf1)()(xfa1, 0)(xfa1, 0下面考慮在的情況，先證0)(xf,1a)(lnln)(1111121

20、aaaaaeaaaeeaaeeef為此我們要證明：當(dāng)時(shí)，設(shè) ，則，再設(shè)xexe2x2)(xexhxxexhx2)(xexlx2)(2)(xexl當(dāng)1 時(shí)，-20，在上是單調(diào)增函數(shù)x2)(xexlexexlx2)(, 1故當(dāng)2 時(shí)，0 xxexhx2)(4)2(2 eh從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)時(shí)，02)(xexhx, 2xe2)(xexhx2)(eeehe即當(dāng)時(shí)，xexe2x當(dāng) 0時(shí)，即e 時(shí)，0ae11a)(lnln)(1111121aaaaaeaaaeeaaeeef又0 且函數(shù)在上的圖像不間斷，1ln11ln)1(aaaaaf)(xf1,1aea函數(shù)在上有存在零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，0 故在上)(

21、xf1,1aeaxa1xaxaxf)1()()(xf,1a是單調(diào)減函數(shù)函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn))(xf,1a綜合（） （） （）知：當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 1；當(dāng) 0時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 20a)(xfae1)(xf21A 證明：連接 OD，AB 與 BC 分別與圓 O 相切于點(diǎn) D 與 C,又090ACBADOAAADORTACBRT 又BC=2OC=2OD AC=2ADADACODBC21B 解：設(shè)矩陣 A 的逆矩陣為,則=，即=，dcba2001dcba1001dcba22 1001故 a=-1，b=0，c=0，d=矩陣 A 的逆矩陣為,21210011A=BA1210016021302121C 解：

22、直線 的參數(shù)方程為 消去參數(shù) 后得直線的普通方程為 ltytx21t022 yx同理得曲線 C 的普通方程為 xy22精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)聯(lián)立方程組解得它們公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，)2 , 2() 1,21(21D 證明：baabba223322)(223223bbaaba)(22222babbaa)2)()()2(22bababababa又0，0，,ba ba 0ba02ba0)2)()(bababa0222233baabbabaabba22332222本題主要考察異面直線二面角空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算，考察運(yùn)用空間向量解決問題的能力。解：（1）以為為單位正交基底建立空間

23、直角坐標(biāo)系，1,AAACABxyzA則，,)0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0(1A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0(1C,)4, 0 , 2(1BA)4, 1, 1 (1BA10103182018,cos111111DCBADCBADCBA異面直線與所成角的余弦值為BA1DC110103（2） 是平面的的一個(gè)法向量)0 , 2 , 0(AC1ABA設(shè)平面的法向量為，,1ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0(1AC由1,ACmADm 取，得，平面的法向量為0420zyyx1z2, 2xy1ADC) 1 , 2, 2( m設(shè)平面與所成二面角為1ADC1ABA， 得32324,coscosmACmACmAC35sin平面與所成二面角的正弦值為1ADC1ABA3523本題主要考察集合數(shù)列的概念與運(yùn)算計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法