反比例函數(shù)經(jīng)典題型

1、反比例函數(shù)一、經(jīng)典內(nèi)容解析1.反比例函數(shù)的概念(1) (k0)可以寫成(k0)的形式，注意自變量x的指數(shù)為-1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)k0這一限制條件；(2) (k0)也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；(3) 反比例函數(shù)的自變量x0，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點(diǎn).解析式（k為常數(shù)，且）自變量取值范圍的實(shí)數(shù)圖象圖象的性質(zhì)雙曲線示意圖位置兩個(gè)分支分別位于一、三象限兩個(gè)分支分別位于二、四象限變化趨勢(shì)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對(duì)稱性是軸對(duì)稱圖形，直線是它的兩條對(duì)稱軸是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱

2、中心為坐標(biāo)原點(diǎn)3.反比例函數(shù)的性質(zhì)(與正比例函數(shù)對(duì)比) 函數(shù)解析式正比例函數(shù) y=kx (k0)反比例函數(shù) (k0)自變量的 取值范圍全體實(shí)數(shù)x0圖 象直線，經(jīng)過原點(diǎn)雙曲線，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)圖象位置 (性 質(zhì))當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過一、三象限； 當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限.當(dāng)k0時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限； 當(dāng)k0時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限.性 質(zhì)(1) 當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大； 當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小. (2) 越大，圖象越靠近y軸.(1) 當(dāng)k0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小； 當(dāng)k0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大. (2) 越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直

3、.注：(1) 雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論.(2) 正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.(3) 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.4.反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義(1)過雙曲線(k0) 上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為.(2)過雙曲線(k0) 上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為二、典型例題分析1.反比例函數(shù)定義【例1】如果函數(shù)的圖像是雙曲線，且在第二，四象限內(nèi)，那么k的值是多少？1.反比例函數(shù)的圖像位于（ ）A第一、二象限 B第一

4、、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限2.若雙曲線y經(jīng)過點(diǎn)A（m，2m），則m的值為（ ）A. B. 3C. ±D. ±33.已知某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，n），則它一定也經(jīng)過點(diǎn)（ ）A. （m，n）B. （n，m）C. （m，n）D. （m，n）4（2007陜西）在的三個(gè)頂點(diǎn)中，可能在反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)是 5.若點(diǎn)P（4，m）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)在反比例函y= （x0）的圖象上，則m的值是 -22.反比例函數(shù)的表示【例2】已知，成正比例，成反比例，且1.若與成反比例，與成正比例，則是的（ ）A、正比例函數(shù) B、反比例函數(shù) C、一次函數(shù)D、不能確定2已知與成反比例關(guān)系

5、，且當(dāng)時(shí)， 則關(guān)于的函數(shù)解析式為 3已知y1與x成正比例（比例系數(shù)為k1），y2與x成反比例（比例系數(shù)為k2），若函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），（2，），則 3.反比例函數(shù)的增減性問題. 【例3】在反比例函數(shù)的圖像上有三點(diǎn)， 。若則下列各式正確的是（ ）A B C D1在反比例函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)A(，)，B()，當(dāng)時(shí)，有，則m的取值范圍是( ). Am0 Bm0 Cm0.5 Dm0.52：已知反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)A(，)，B(，)，當(dāng)時(shí)，有，則m的取值范圍是_.3：若反比例函數(shù)上，有三點(diǎn)A(，)，B(，)，C(，)，且，則，的大小關(guān)系是_.4.設(shè)有反比例函數(shù)，、為其圖象上的兩點(diǎn)，若時(shí)，則的取值

6、范圍是_4.反比例函數(shù)與圖象的面積問題.(1)求函數(shù)解析式1如圖，P是反比例函數(shù)圖象在第二象限上的一點(diǎn)，且矩形 PEOF的面積為3.求這個(gè)反函數(shù)的解析式. 2.（2007山東棗莊）反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)M是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，MN垂直于x軸，垂足是點(diǎn)N，如果SMON2，則k的值為（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4(2)求圖形面積的問題1.圖中正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，畫與y軸相切的兩個(gè)圓，若點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1，2)，求圖中兩個(gè)陰影面積的和. (3)求特殊點(diǎn)組成圖形的面積1如圖，反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=-x+2的圖象相交于A、B

7、兩點(diǎn). (1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求AOB的面積.5.的幾何意義及應(yīng)用1點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，如圖，若陰影部分的面積是12個(gè)（平方單位），則解析式為 2如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線相交于A、B 兩點(diǎn)，AC軸，BC軸，則ABC的面積等于 個(gè)面積單位. ABCEOFxy(第3題圖)CBA(第2題圖)O3如圖，已知雙曲線(x0)經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且四邊形OEBF的面積為2，則k_。6.反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合例1函數(shù)y=與 y=mx-m(m0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( ) 1. 已知反比例函數(shù)y （k0），當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大，那么一次函

8、數(shù)ykxk的圖象經(jīng)過（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D(zhuǎn). 第二、三、四象限2. 已知一次函數(shù)ykxb的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則反比例函數(shù)y的圖象在（ ）A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D(zhuǎn). 第二、四象限3在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是 （ ）A B C D4.（2007浙江寧波）如圖，是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖像，則關(guān)于x的方程kx+b=的解為( ) (A)xl=1，x2=2 (B)xl=-2，x2=-1 (C)xl=1，x2=-2 (D)xl=2，x2=-15. 已知反比例函數(shù)y （k0），當(dāng)x0時(shí)，y隨x

9、的增大而增大，那么一次函數(shù)ykxk的圖象經(jīng)過（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D(zhuǎn). 第二、三、四象限6.（2007湖北潛江）如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線相交于B兩點(diǎn)，AC軸，BC軸，則ABC的面積等于 個(gè)面積單位.例2如圖，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn). (1) 求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2) 根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.解：(1) 點(diǎn)A(-4，2)和點(diǎn)B(n，-4)都在反比例函數(shù)y=的圖象上，解得又由點(diǎn)A(-4，2)和點(diǎn)B(2，-4)都在一次函數(shù)y=

10、kx+b的圖象上，解得反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為y=-x-2.(2) x的取值范圍是x2或-4x0 .例3直線y=k1x+b與雙曲線y=只有個(gè)交點(diǎn)A(1，2)，且與x軸、y軸分別交于B，C 兩點(diǎn)，AD垂直平分OB，垂足為D，求直線、雙曲線的解析式. 解：點(diǎn)A(1，2)在上 ， 雙曲線的解析式為AD垂直平分OB，OD=1，OB=2B(2，0)A(1，2)，B(2，0)在直線上 解得直線解析式為.例4如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4. (1)求k的值；(2)若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求AOC的面積； 解：(1)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4， 當(dāng)= 4時(shí)，=2. 點(diǎn)A的坐

11、標(biāo)為(4，2). 點(diǎn)A是直線與雙曲線的交點(diǎn)， k=4×2=8.(2)解法一：如圖， 點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)=8時(shí)，=1 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，8). 過點(diǎn)A、C分別做軸、軸的垂線，垂足為M、N， 得矩形DMON . S矩形ONDM=32，SONC=4，SCDA=9，SOAM=4. SAOC=S矩形ONDM-SONC-SCDA-SOAM=32-4-9-4=15. 解法二：如圖， 過點(diǎn)C、A分別做軸的垂線，垂足為E、F， 點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)= 8時(shí)，=1. 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，8). 點(diǎn)C、A都在雙曲線上， SCOE = SAOF=4. SCOE+S梯形CEFA=SCOA+SAOF. SCOA=S

12、梯形CEFA. S梯形CEFA =×(2+8)×3=15， SCOA=15.7.反比例函數(shù)圖象上、下平移；關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱；關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱；繞原點(diǎn)順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的解析式 1如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，若已知一個(gè)交點(diǎn)為A（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）A. （2，1） B.（2，1） C. （1，2） D. （1，2）2反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，將其圖象向上平移2個(gè)單位后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 3若將反比例函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)A（-2，3），則反比例函數(shù)的解析式為： 8.反比例函數(shù)與一次函數(shù)、方程、不等式的綜合問題

13、xyyyyxxxABCD1已知k10k2，則函數(shù)yk1x和的圖象大致是（ ） （第24題圖）2如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線（x<0）分別交于點(diǎn)C、D，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2） 分別求出直線及雙曲線的解析式； 求出點(diǎn)D的坐標(biāo)； 利用圖象直接寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，9.求雙曲線與直線交點(diǎn)問題；數(shù)形結(jié)合等思想方法的應(yīng)用1反比例函數(shù)中y=，當(dāng)x<2時(shí)，y的取值范圍是 ；（第26題圖）當(dāng)y-1時(shí)，x的取值范圍是 .2一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象如圖，則關(guān)于x的方程kx+b=的解為( ) (A) xl=1，x2=2 (B) xl=-2，x2=-1(C

14、) xl=1，x2=-2 (D) xl=2，x2=-1 （第27題圖）3如圖，利用函數(shù)圖象解不等式，則不等式的解集為 4不解方程，利用函數(shù)的圖象判斷方程的 解的個(gè)數(shù)為 5如圖，已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為29圖（1）求的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，求的面積；（3）過原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)10反比例函數(shù)中的綜合問題及探究性問題1將x1代入反比例函數(shù)中，所得函數(shù)值記為y1，將的值代入中，得到x2的值；并將x2的值再次代入函數(shù)中，所得函數(shù)值記為y2，再將y2的值代入中得到x3 ，并再次將x3代入函數(shù)中，所得函數(shù)

15、值記為y3，如此繼續(xù)下去（第2題圖）完成下表.y1y 2y 3y 4y 5觀察上表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？猜想y2007= （第3題圖）2如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上， 點(diǎn)C（0，1），且的面積是3，求反比例函數(shù)的解析式. 3已知點(diǎn)A，AMy軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N 在軸上，的面積是3個(gè)平方單位，探究點(diǎn)A在怎樣的函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，并求出這個(gè)函數(shù)的解析式.（通過舉例實(shí)踐、探究、認(rèn)知） 第4題圖4如圖，正方形ABCD的邊長是2，E、F分別在BC、CD兩邊上，且E、F與BC、CD兩邊的端點(diǎn)不重合，的面積是1，設(shè)BE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍. 第5題圖5已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象

16、上點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）光線由點(diǎn)A發(fā)出，照射到x軸上的點(diǎn)C, 若反射光線恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求點(diǎn)C的坐標(biāo). 第6題圖6如圖，已知正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)(k0，x0)的圖象上，點(diǎn)P (m，n)是函數(shù)(k0，x0)的圖象上任意一點(diǎn)，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F，設(shè)矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S. 求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值； 當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.第7題圖7已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B在正比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，且B、C兩點(diǎn)的縱

17、坐標(biāo)都是，（本題中所有的都表示同一個(gè)量）設(shè)BC的長記作S，（1）當(dāng)=2，=3時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；（2）求S關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍，并說明S與無關(guān).三、解答1已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與雙曲線y=-交于點(diǎn)（1，m），且過點(diǎn)（0，1），求此一次函數(shù)的解析式2如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式（2）根據(jù)圖像寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的的取值范圍。3. .在某一電路中，保持電壓不變，電流I(安培)與電阻R(歐姆)成反比例，當(dāng)電阻R=5歐姆時(shí)，電流I=2安培.則I與R之間的函數(shù)關(guān)系式？4. 已知函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是多少？5.已知，與成正比例，與