壓軸題解題策略：平行四邊形的存在性問題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略 平行四邊形的存在性問題解題策略 2015年9月13日星期日 專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算又好又快如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，靈活運(yùn)用坐標(biāo)平移，可以使得計(jì)算過程簡(jiǎn)便根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用坐標(biāo)對(duì)稱，可以

2、使得解題簡(jiǎn)便例題解析例 如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，如果以點(diǎn)P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 圖1-1【解析】P、A、C三點(diǎn)是確定的，過PAC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)D（如圖1-2）由yx22x3(x1)24，得A(3,0)，C(0, 3)，P(1, 4)由于A(3,0)C(0, 3)，所以P(1, 4)D1(2, 7)由于C(0, 3)A(3,0)，所以P(1, 4)D2(4, 1)由于P(1, 4)C(0, 3)，所以A(3,0)D3(

3、2, 1)我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠(yuǎn)比用解析式構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便多了圖1-2例 如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx2+2x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)圖2-1【解析】在P、M、A、B四個(gè)點(diǎn)中，A、B是確定的，以AB為分類標(biāo)準(zhǔn)由yx2+2x3(x1)(x3)，得A(1，0)，B(3，0)如圖2-2，當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PM與AB互相平分，因此點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于AB的中點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2此時(shí)M(2，3)如圖2-3，圖2-4，當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PM/AB，P

4、MAB4所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或4所以M (4,5)或(4,21)我們看到，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)是確定的，在解圖2-2時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；在解圖2-3和圖2-4時(shí)，根據(jù)平移先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)圖2-2 圖2-3 圖2-4例 如圖3-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形圖 3-1【解析】由yx4，得A(4, 0)，直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45°在O、A、C、D四個(gè)點(diǎn)中，O、A是確定的，以線段OA為分類標(biāo)準(zhǔn)如圖3-2，如果OA是菱形的對(duì)角線，那么點(diǎn)C在OA的垂直平

5、分線上，點(diǎn)C(2,2)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)B(0, 4)，那么正方形AOCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4, 4)如圖3-4，以A為圓心，AO為半徑的圓與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)C和C，點(diǎn)C和C向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D和D圖3-2 圖3-3 圖3-4例 如圖4-1，已知拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖4-1【解析

6、】C(4,0)、E(0,3)兩點(diǎn)是確定的，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2也是確定的以CE為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論平行四邊形：如圖4-2，當(dāng)CE為平行四邊形的邊時(shí)，由于C、E兩點(diǎn)間的水平距離為4，所以M、N兩點(diǎn)間的水平距離也為4，因此點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為6或2將x6和x2分別代入拋物線的解析式，得M(6,16)或(2, 16)如圖4-3，當(dāng)CE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，M為拋物線的頂點(diǎn)，所以M圖4-2 圖4-3例如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22ax3a（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且CD4AC設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)

7、Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由圖5-1【解析】由yax22ax3aa(x1)(x3)，得A(1, 0)由CD4AC，得xD4所以D(4, 5a)已知A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：如圖5-2，如果AD為矩形的邊，我們根據(jù)AD/QP，ADQP來兩次平移坐標(biāo)由于A、D兩點(diǎn)間的水平距離為5，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4所以Q(4,21a)由于A、D兩點(diǎn)間的豎直距離為5a，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為26a所以P(1, 26a)根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得AP2QD2所以22(26a)282(16a)2整理，得

8、7a21所以此時(shí)P如圖5-3，如果AD為矩形的對(duì)角線，我們根據(jù)AP/QD，APQD來兩次平移坐標(biāo)由于A、P兩點(diǎn)間的水平距離為2，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2所以Q(2,3a)由于Q、D兩點(diǎn)間的豎直距離為8a，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8a所以P(1, 8a)再根據(jù)AD2PQ2，得52(5a)212(11a)2整理，得4a21所以此時(shí)P我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系上面我們根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據(jù)定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程如圖5-2，如果ADP90°，

9、那么；如圖5-3，如果QAP90°，那么圖5-2 圖5-3例 如圖6-1，將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲?，將A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來（如圖6-2），如果您看到了MA

10、B和NED是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，那么平移就簡(jiǎn)單了如圖6-3，在兩個(gè)等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀，點(diǎn)O為對(duì)稱中心【解法一】如果ANE90°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得AE2EN4而AEAOOE2AO，所以AO2已知AB2，此時(shí)B、O重合（如圖6-4），所以mBO1【解法二】如果對(duì)角線MNAE，那么OMOA，此時(shí)MAO是等邊三角形所以等邊三角形MAB與MAO重合因此B、O重合，mBO1【解法三】在平移的過程中，、，M，根據(jù)OA2OM 2列方程(1m)2m23解得m1圖6-2 圖6-3 圖6-4例 如

11、圖7-1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，B60°，E、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，E、G分別在AD、BC上，且AECG（1）求證四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形EFGH是矩形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，求AE的長(zhǎng) 圖7-1【解析】（1）證明三角形全等得EFGH和FGHE大家最熟練了（2）平行四邊形EFGH的對(duì)角線FH4是確定的，當(dāng)EGFH4時(shí)，四邊形EFGH是矩形以FH為直徑畫圓，你看看，這個(gè)圓與AD有幾個(gè)交點(diǎn)，在哪里？如圖7-2如圖7-3，當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABGE和四邊形DCGE都是平行四邊形如圖7-4，當(dāng)E與A重合時(shí)，ABG與DCE都是等邊三角形（

12、3）如果平行四邊形EFGH的對(duì)角線EG與FH互相垂直，那么四邊形EFGH是菱形過FH的中點(diǎn)O畫FH的垂線，EG就產(chǎn)生了在RtAOE中，OAE60°，AO2，此時(shí)AE1又一次說明了如果會(huì)畫圖，答案就在圖形中圖7-2 圖7-3 圖7-4 圖7-5例 如圖8-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4, 0)、B(0, 3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, m)，過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸正半軸的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足OD2OC，連結(jié)DE，以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA（1）如果平行四邊形DEFA為矩形，求m的值；（2）如果平行四邊形DEFA為菱形，請(qǐng)直接寫出m的值圖8-1【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫示意圖我們注意到，點(diǎn)A和直線AB（