同濟(jì)第六版高等數(shù)學(xué)教案WORD版 重積分

1、第九章 重積分教學(xué)目的：1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2. 掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。3. 掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。8、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。教學(xué)重點(diǎn)：1、 二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；2、 三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。 3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：1、 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；2、 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分；3、 物理應(yīng)用中的引力問(wèn)題。§9. 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積

2、分的概念 1. 曲頂柱體的體積 設(shè)有一立體, 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D, 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面, 它的頂是曲面z=f(x, y), 這里f(x, y)³0且在D上連續(xù). 這種立體叫做曲頂柱體. 現(xiàn)在我們來(lái)討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積. 首先, 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n . 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線, 作母線平行于z軸的柱面, 這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體. 在每個(gè)Ds i中任取一點(diǎn)(x i , h i), 以f (x i , h i)為高而底

3、為Ds i的平頂柱體的體積為 f (x i , h i) Dsi (i=1, 2, × × × , n ). 這個(gè)平頂柱體體積之和 . 可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值. 為求得曲頂柱體體積的精確值, 將分割加密, 只需取極限, 即 . 其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值. 2. 平面薄片的質(zhì)量. 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D, 它在點(diǎn)(x, y)處的面密度為r(x, y), 這里r(x, y)>0且在D上連續(xù). 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M. 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 Ds 1, Ds 2, × × × , Ds

4、n . 把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量: r(x i , h i)Ds i . 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值: . 將分割加細(xì), 取極限, 得到平面薄片的質(zhì)量 . 其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值. 定義 設(shè)f(x, y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù). 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域 Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n . 其中Ds i表示第i個(gè)小區(qū)域, 也表示它的面積. 在每個(gè)Ds i上任取一點(diǎn)(x i, hi), 作和 . 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí), 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D

5、上的二重積分, 記作, 即 .f(x, y)被積函數(shù), f(x, y)ds被積表達(dá)式, ds面積元素, x, y積分變量, D積分區(qū)域, 積分和. 直角坐標(biāo)系中的面積元素: 如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D, 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外, 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域. 設(shè)矩形閉區(qū)域Dsi的邊長(zhǎng)為Dxi和Dyi, 則Dsi=DxiDyi, 因此在直角坐標(biāo)系中, 有時(shí)也把面積元素ds 記作dxdy, 而把二重積分記作 其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素. 二重積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí), 積分和的極限是存在的, 也就是說(shuō)函數(shù)f(x, y)在D上

6、的二重積分必定存在. 我們總假定函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù), 所以f(x, y)在D上的二重積分都是存在的. 二重積分的幾何意義: 如果f(x, y)³0, 被積函數(shù)f(x, y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x, y)處的豎坐標(biāo), 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積. 如果f(x, y)是負(fù)的, 柱體就在xOy 面的下方, 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積, 但二重積分的值是負(fù)的. 二. 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則 . 性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域, 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和. 例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D

7、2, 則 . 性質(zhì)3 (s為D的面積). 性質(zhì)4 如果在D上, f(x, y)£g(x, y), 則有不等式 . 特殊地有 . 性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x, y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值, s為D的面積, 則有 . 性質(zhì)6(二重積分的中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù), s 為D的面積, 則在D上至少存在一點(diǎn)(x, h)使得 . §9. 2 二重積分的計(jì)算法 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 X-型區(qū)域: D : j1(x)£y£j2(x), a£x£b . Y -型區(qū)域: D : y1(x)£y£

8、y2(x), c£y£d . 混合型區(qū)域: 設(shè)f(x, y)³0, D=(x, y)| j1(x)£y£j2(x), a£x£b. 此時(shí)二重積分在幾何上表示以曲面z=f(x, y)為頂, 以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積. 對(duì)于x0Îa, b, 曲頂柱體在x=x0的截面面積為以區(qū)間j1(x0), j2(x0)為底、以曲線z=f(x0, y)為曲邊的曲邊梯形, 所以這截面的面積為 . 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法, 得曲頂柱體體積為 . 即 V=. 可記為 . 類似地, 如果區(qū)域D為Y -型區(qū)域: D : y1

9、(x)£y£y2(x), c£y£d , 則有 . 例1. 計(jì)算, 其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域. 解: 畫(huà)出區(qū)域D. 方法一. 可把D看成是X-型區(qū)域: 1£x£2, 1£y£x . 于是. 注: 積分還可以寫(xiě)成. 解法2. 也可把D看成是Y-型區(qū)域: 1£y£2, y£x£2 . 于是. 例2. 計(jì)算, 其中D是由直線y=1、x=-1及y=x所圍成的閉區(qū)域. 解 畫(huà)出區(qū)域D, 可把D看成是X-型區(qū)域: -1£x£1, x£

10、;y£1. 于是 . 也可D看成是Y-型區(qū)域：-1£y£1, -1£x<y . 于是 . 例3 計(jì)算, 其中D是由直線y=x-2及拋物線y2=x所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可以表示為D=D1+D2, 其中; . 于是 . 積分區(qū)域也可以表示為D: -1£y£2, y2£x£y+2. 于是 . 討論積分次序的選擇. 例4 求兩個(gè)底圓半徑都等于r的直交圓柱面所圍成的立體的體積. 解 設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2. 利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性, 只要算出它在第一卦限部分的體

11、積V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D=(x, y)| 0£y£, 0£x£r為底, 以頂?shù)那斨w. 于是 . 二. 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 有些二重積分, 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便, 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r 、q 表達(dá)比較簡(jiǎn)單. 這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分. 按二重積分的定義. 下面我們來(lái)研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式. 以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域, 小閉區(qū)域的面積為: , 其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值. 在Dsi內(nèi)取點(diǎn), 設(shè)其直角坐

12、標(biāo)為(x i, h i), 則有 , . 于是 , 即 . 若積分區(qū)域可表示為j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, 則 . 討論:如何確定積分限? . . 例5. 計(jì)算, 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域. 解 在極坐標(biāo)系中, 閉區(qū)域D可表示為 0£r£a , 0£q £2p . 于是 . 注: 此處積分也常寫(xiě)成. 利用計(jì)算廣義積分: 設(shè)D1=(x, y)|x2+y2£R2, x³0, y³0, D2=(x, y)|x2+y2£2R2, x

13、79;0, y³0, S=(x, y)|0£x£R, 0£y£R. 顯然D1ÌSÌD2. 由于, 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式 . 因?yàn)?, 又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 , ,于是上面的不等式可寫(xiě)成. 令R®+¥, 上式兩端趨于同一極限, 從而. 例6 求球體x2+y2+z2£4a2被圓柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積. 解 由對(duì)稱性, 立體體積為第一卦限部分的四倍. , 其中D為半圓周及x軸所圍成的閉區(qū)域. 在極坐標(biāo)系中D可表示為 0£r

14、3;2a cosq , . 于是 . §9.3 三重積分一、三重積分的概念 定義 設(shè)f(x, y, z)是空間有界閉區(qū)域W上的有界函數(shù). 將W任意分成n個(gè)小閉區(qū)域 Dv1, Dv2, × × × , Dvn 其中Dvi表示第i個(gè)小閉區(qū)域, 也表示它的體積. 在每個(gè)Dvi上任取一點(diǎn)(xi, hi, zi), 作乘積f(x i, h i, z i)Dvi(i=1, 2, × × ×, n)并作和. 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí), 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在閉區(qū)域W上的三重積分, 記作

15、. 即 . 三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ): 積分號(hào), f(x, y, z)被積函數(shù), f(x, y, z)dv被積表達(dá)式, dv體積元素, x, y, z積分變量, W積分區(qū)域. 在直角坐標(biāo)系中, 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分W, 則Dvi=Dxi DyiDzi , 因此也把體積元素記為dv =dxdydz, 三重積分記作 . 當(dāng)函數(shù)f (x, y, z)在閉區(qū)域W上連續(xù)時(shí), 極限是存在的, 因此f(x, y, z)在W上的三重積分是存在的, 以后也總假定f(x, y, z)在閉區(qū)域W上是連續(xù)的. 三重積分的性質(zhì): 與二重積分類似. 比如 ; ; , 其中V為區(qū)域W的體積. 二、三重積分的計(jì)算 1.

16、 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 三重積分的計(jì)算: 三重積分也可化為三次積分來(lái)計(jì)算. 設(shè)空間閉區(qū)域W可表為 z1(x, y)£z£z2(x, y), y1(x)£y£y2(x), a£x£b, 則 , 即 . 其中D : y1(x)£ y£ y2(x), a£x£b. 它是閉區(qū)域W在xOy面上的投影區(qū)域. 提示: 設(shè)空間閉區(qū)域W可表為 z1(x, y)£z£z2(x, y), y1(x)£y£y2(x), a£x£b, 計(jì)算. 基本思想: 對(duì)

17、于平面區(qū)域D: y1(x)£y£y2(x), a£x£b內(nèi)任意一點(diǎn)(x, y), 將f(x, y, z)只看作z的函數(shù), 在區(qū)間z1(x, y), z2(x, y)上對(duì)z積分, 得到一個(gè)二元函數(shù)F(x, y), , 然后計(jì)算F(x, y)在閉區(qū)域D上的二重積分, 這就完成了f(x, y, z)在空間閉區(qū)域W上的三重積分. , 則 . 即 . 其中D : y1(x)£ y£ y2(x), a£x£b. 它是閉區(qū)域W在xOy面上的投影區(qū)域. 例1 計(jì)算三重積分, 其中W為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域.

18、 解 作圖, 區(qū)域W可表示為: 0£z£1-x-2y, , 0£x£1. 于是 . 討論: 其它類型區(qū)域呢? 有時(shí), 我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分. 設(shè)空間閉區(qū)域W=(x, y, z)|(x, y)ÎDz, c1£ z£c2, 其中Dz是豎坐標(biāo)為z 的平面截空間閉區(qū)域W所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域, 則有 . 例2 計(jì)算三重積分, 其中W是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域. 解 空間區(qū)域W可表為: , -c£ z£c. 于是 . 練習(xí) 1. 將三重積分化為三次積分, 其中 (1)

19、W是由曲面z=1-x2-y2, z=0所圍成的閉區(qū)域. (2)W是雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所圍成的閉區(qū)域. (3)其中W是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域. 2. 將三重積分化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式, 其中W由曲面z=1-x2-y2, z=0所圍成的閉區(qū)域. 2. 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn), 并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P 的極坐標(biāo)為P(r, q ), 則這樣的三個(gè)數(shù)r、q 、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo), 這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為: 0£r<+¥, 0£q £

20、;2p , -¥<z<+¥. 坐標(biāo)面r=r0, q =q 0, z=z0的意義: 點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系: x=rcosq, y=rsinq, z=z . 柱面坐標(biāo)系中的體積元素: dv=rdrdqdz. 簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō), dxdy=rdrdq , dxdydz=dxdy×dz=rdrdq dz. 柱面坐標(biāo)系中的三重積分: . 例3 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分, 其中W是由曲面z=x2+y2與平面z=4所圍成的閉區(qū)域. 解 閉區(qū)域W可表示為: r2£z£4, 0£r£2, 0£q£2p. 于

21、是 . 3. 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn), 則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、j、q 來(lái)確定, 其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離, j為與z軸正向所夾的角, q為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段的角, 這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影, 這樣的三個(gè)數(shù)r、j 、q 叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo), 這里r、j、q 的變化范圍為 0£r<+¥, 0£j<p, 0£q £2p. 坐標(biāo)面r=r0, j=j0, q=q0的意義: 點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系: x=rsinjcosq, y=rsinjsinq, z=

22、rcosj . 球面坐標(biāo)系中的體積元素: dv=r2sinjdrdjdq . 球面坐標(biāo)系中的三重積分: . 例4 求半徑為a的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積. 解 該立體所占區(qū)域W可表示為: 0£r£2acosj, 0£j£a, 0£q£2p. 于是所求立體的體積為 . 提示: 球面的方程為x2+y2+(z-a)2=a2, 即x2+y2+z2=2az. 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2=2arcosj, 即r=2acosj. §9. 4 重積分的應(yīng)用 元素法的推廣: 有許多求總量的問(wèn)題可以用定積分的元素法來(lái)處理.

23、 這種元素法也可推廣到二重積分的應(yīng)用中. 如果所要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(就是說(shuō), 當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí), 所求量U相應(yīng)地分成許多部分量, 且U等于部分量之和), 并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域ds時(shí), 相應(yīng)的部分量可近似地表示為f(x, y)ds 的形式, 其中(x, y)在ds內(nèi), 則稱f(x, y)ds 為所求量U的元素, 記為dU, 以它為被積表達(dá)式, 在閉區(qū)域D上積分: , 這就是所求量的積分表達(dá)式. 一、曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z=f(x, y)給出, D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域, 函數(shù)f(x, y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)和f

24、y(x, y). 現(xiàn)求曲面的面積A . 在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x, y), 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x, y)的小閉區(qū)域ds, 其面積也記為ds. 在曲面S上點(diǎn)M(x, y, f(x, y)處做曲面S的切平面T, 再做以小區(qū)域ds的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面. 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值, 記為dA. 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為g , 則 , 這就是曲面S的面積元素. 于是曲面S 的面積為 , 或 . 設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素, dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域ds, M在xOy面上的投影為點(diǎn)P(x, y), 因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M

25、處的法向量為n=(-fx, -fy, 1), 所以 . 提示: dA與xOy面的夾角為(n, k), dAcos(n, k)=ds, n×k=|n|cos(n, k)=1, cos(n, k)=|n|-1. 討論: 若曲面方程為x=g(y, z)或y=h(z, x), 則曲面的面積如何求？ , 或 . 其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域, Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域. 例1 求半徑為R的球的表面積. 解 上半球面方程為, x2+y2£R2. 因?yàn)閦對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)在D: x2+y2£R2上無(wú)界, 所以上半球面面積不能直接求出. 因此先求在區(qū)域D1:

26、x2+y2£a2 (a<R)上的部分球面面積, 然后取極限. . 于是上半球面面積為.整個(gè)球面面積為 A=2A1=4pR2. 提示: , , . 解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍. 上半球面的方程為, 而 , , 所以 . 例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面的高度為h=36000km, 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同. 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R=6400km). 解 取地心為坐標(biāo)原點(diǎn), 地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸, 建立坐標(biāo)系. 通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面S是上半球面被半頂角為a的圓錐面所截得的部分. S的方程為 , x2+y2

27、63;R2sin2a. 于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為 . 其中Dxy=(x, y)| x2+y2£R2sin2a是曲面S在xOy面上的投影區(qū)域. 利用極坐標(biāo), 得 . 由于, 代入上式得 . 由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 . 由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積, 故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面. 二、質(zhì)心 設(shè)有一平面薄片, 占有xOy 面上的閉區(qū)域D, 在點(diǎn)P(x, y)處的面密度為r(x, y), 假定m(x, y)在D上連續(xù). 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo). 在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x, y), 及包含點(diǎn)P(x, y)的一直徑很小

28、的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds), 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 dMx=ym(x, y)ds, dMy=xm(x, y)ds. 平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為 , . 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為, 平面薄片的質(zhì)量為M, 則有 , . 于是 , . 在閉區(qū)域D上任取包含點(diǎn)P(x, y)小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds), 則 平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩元素分別為 dMx=ym(x, y)ds, dMy=xm(x, y)ds. 平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為 , . 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為, 平面薄片的質(zhì)量為M, 則有 , . 于是 , . 提示: 將P(x, y

29、)點(diǎn)處的面積元素ds看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域. D上任取一點(diǎn)P(x, y), 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds), 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 討論: 如果平面薄片是均勻的, 即面密度是常數(shù), 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？ 求平面圖形的形心公式為 , . 例3 求位于兩圓r=2sinq 和r=4sinq 之間的均勻薄片的質(zhì)心. 解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸, 所以質(zhì)心必位于y軸上, 于是. 因?yàn)?, , 所以. 所求形心是. 類似地, 占有空間閉區(qū)域W、在點(diǎn)(x, y, z)處的密度為r(x, y, z)(假寬r(x, y, z)在W上

30、連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是 , , , 其中. 例4 求均勻半球體的質(zhì)心. 解 取半球體的對(duì)稱軸為z軸, 原點(diǎn)取在球心上, 又設(shè)球半徑為a, 則半球體所占空間閉區(qū)可表示為 W=(x, y, z)| x2+y2+z2£a2, z³0 顯然, 質(zhì)心在z軸上, 故. . 故質(zhì)心為. 提示: W: 0£r£a, , 0£q£2p. , . 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)有一平面薄片, 占有xOy面上的閉區(qū)域D, 在點(diǎn)P(x, y)處的面密度為m(x, y), 假定r(x, y)在D上連續(xù). 現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x, y), 及包含點(diǎn)P(x, y)的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds)