圓錐曲線幾何性質(zhì)總匯

1、圓錐曲線的幾何性質(zhì)xyoF11F2AB一、橢圓的幾何性質(zhì)（以+=1（ab0）為例）1、ABF2的周長為4a(定值)證明：由橢圓的定義即2、焦點PF1F2中：xyoF1F22P（1）SPF1F2=（2）（SPF1F2）max= bc（3）當P在短軸上時，F(xiàn)1PF2最大證明：（1）在中 （2）（SPF1F2）max =（3 xyoF1F2PM當=0時 有最小值 即F1PF2最大3、 過點F1作PF1F2的P的外角平分線的垂線，垂足為M ，則M 的軌跡是x2+y2=a2證明：延長交于，連接由已知有 為中點 =所以M的軌跡方程為 xyoF1F2P 4、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a

2、2內(nèi)切證明：取的中點，連接。令圓的直徑，半徑為 = 圓與圓內(nèi)切 以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切xyoF1F2PIIIR5、任一焦點PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，連結(jié)PI延長交長軸于R，則 IR：IP=e證明：證明：連接由三角形內(nèi)角角平分線性質(zhì)有 yxoF1F2AB6、以任一焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準線相離。證明：令到準線的距離為以為直徑的圓的圓心為到準線的距離為。 以任一焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準線相離7、A為橢圓內(nèi)一定點，P在橢圓上，則：（PA+PF2）max =2a+AF1（PA+PF2）min =2a-AF1xyoF1F2PPA·證明：連接 （PA+PF2）

3、max =2a+AF1（PA+PF2）min =2a-AF1xyoFA·8、A 為橢圓內(nèi)一定點，P是橢圓上的動點，則（PA+）min = A到右準線的距離證明：設(shè)到右準線的距離d,由橢圓的第二定義有（PA+）min = = A到右準線的距離.9、焦點PF1F2的旁心在直線 x=±a 上。證明：令I(lǐng)與PF1F2三邊所在的直線相切于M、N、AxyoF1F2PNIIA2IM 即為橢圓頂點。 焦點PF1F2的旁心在直線 x=±a 上10、P是橢圓上任意一點，PF2的延長線交右準線于E，K是準線上另一任意點，連結(jié)PK交橢圓于Q，則KF2平分EF2QxyoF1F2EKQP證明

4、：令P,Q到準線的距離為由三角形外角平分線性質(zhì)定理有KF2平分EF2QxyoFBA11、證明：令當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線方程為 = 當?shù)男甭蚀嬖跁r，xyoFBAP12、AB是橢圓的任意一弦，P是AB中點，則（定值）證明：令 ，則 ， 13、橢圓的短軸端點為B1、B2，P是橢圓上任一點，連結(jié)B1P、B2P分別交長軸于N、M兩點，則有OM*ON =a2證明：xyoNMB2PB1 由于、共線 由于、N共線 xyoFNA2PA1M14、橢圓的長軸端點為A1、A 2，P是橢圓上任一點，連結(jié)A1P、A2P并延長，交一準線于N、M兩點，則M、N與對應(yīng)準線的焦點張角為900證明：令， 由于、共線 由于共線 M、

5、N與對應(yīng)準線的焦點張角為900yxoM1F2AB15、過橢圓準線上任一點作橢圓和切線，切點弦AB過該準線對應(yīng)的焦點。證明：設(shè) 則的方程為即 必過點16、橢圓的光學性質(zhì)：過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點。證明：設(shè)，則過點的切線：，直線的法線交軸于直線的法向量為：yxoF1F2Plm同理 同理 即過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點。（1）F1F2P二、雙曲線的幾何性質(zhì)（均以 為例：）（1）焦點三角形面積：F1F2PMxy（2）(2)、過作F1PF2的內(nèi)角平行線的重線垂足M的軌跡是F1F2Pyx(3)(3)、以焦半徑為直徑作圓長的焦半徑為直徑作圓與內(nèi)切，小的圓與外切。F1F2Ayx(4)B

6、(4)、以焦點為直徑作圓與該焦點對應(yīng)準線相交F1F2Pyx(5)I(5)、焦點PF1F2的內(nèi)切圓心橫生標為±a即與實軸的切點一定是實軸端點（6）焦點弦為直徑的圓被相應(yīng)準線截得圓弧所對的圓心角為定值MCN2arccosF1F2Byx(6)CAMNF1F2Pyx(7)A(7)、A為雙曲線內(nèi)一定點P為雙曲線上動點=+2aF1F2Pyx(8)AB(8)、如圖：A為雙曲線內(nèi)一定點，P是雙曲線上的動點，等于A到右準線的距離F1F2Pyx(9)（9）、焦點到漸近線的距離等于bF1F2Pyx(10)AB (10)、雙曲線上的任上點到兩漸近線的距離之積等于定值F1F2Pyx(11)ABO（11）、P是

7、弦AB中點KK定值（12）、P為雙線上任一點過P點作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值abF1F2Pyx(12)MONyF1F2PMx（13）12 (13)、過P的切線平分F1PF2（光學性質(zhì)）即經(jīng)過一焦點的光線被雙曲線反射，反射光線的下長線過另一焦點F1F2yx(14)（14）雙曲線與漸近線把平面分成5部分雙曲線上的點 漸近線上的點區(qū)域的點 區(qū)域的點區(qū)域的點過漸近線上的點（除中心）只能作一條切線，過中心無切線，沒有與兩支都相切的切線過區(qū)域的點作切線分別在兩支上，過區(qū)域的點作切線切點在同一支上，過區(qū)域的點沒切線，雙曲線的切線斜率，區(qū)域、的點可作弦的中點，中心是任意過中心的弦的中點，漸近線上（除中心），雙曲線上，區(qū)域的點不可能是弦中點F1F2yx(15)ABDC（15）直線L與雙曲線的漸近線交于A、B兩點，與雙曲線交于C、D兩點，則AC=BD三、拋物線的幾何性質(zhì)均以拋物線X=-P/2FyxAP(1) 如圖：A為拋物線內(nèi)一定點，P是拋物線上的動點，等于A到準線的距離(2) 過拋物線焦點F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）則有： X=-P/2FyxAB 以AB為直徑的圓與準線相切（3）過拋物線頂點作任意互相垂直的弦OA、OB，則弦AB必過定點（2p