概率論部分習(xí)題及答案

1、7 均勻分布·指數(shù)分布·隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布一、公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過乘客到達(dá)汽車站的任一時(shí)刻是等可能的求乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率解：設(shè)隨機(jī)變量表示“乘客的候車時(shí)間”，則服從上的均勻分布，其密度函數(shù)為于是有二、已知某種電子元件的使用壽命(單位:h)服從指數(shù)分布，概率密度為任取個(gè)這種電子元件，求至少有個(gè)能使用1000h以上的概率解：設(shè)表示“至少有個(gè)電子元件能使用1000h以上”；分別表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”則（另解）設(shè)表示“至少有個(gè)電子元件能使用1000h以上”則從而有，進(jìn)一步有三、(1) 設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布證明：對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)及，

2、有 這個(gè)性質(zhì)叫做指數(shù)分布的無記憶性(2) 設(shè)電視機(jī)的使用年數(shù)服從指數(shù)分布某人買了一臺(tái)舊電視機(jī)，求還能使用年以上的概率解：（）因?yàn)?，所以，有，其中為的分布函?shù)設(shè)，因?yàn)榧岸际欠秦?fù)實(shí)數(shù)，所以，從而根據(jù)條件概率公式，我們有另一方面，我們有綜上所述，故有（）由題設(shè)，知的概率密度為設(shè)某人購買的這臺(tái)舊電視機(jī)已經(jīng)使用了年，則根據(jù)上述證明的（）的結(jié)論，該電視機(jī)還能使用5年以上的概率為答：該電視機(jī)還能使用5年以上的概率約為四、 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，求下列隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布： （1）；（2）解：的分布律為0123 （1）的分布律為1（2）的分布律為0110即01五、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量函數(shù)的概率

3、密度解：因?yàn)?所以隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度為，即 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、把一顆均勻的骰子隨機(jī)地?cái)S兩次設(shè)隨機(jī)變量表示第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，隨機(jī)變量表示兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的最大值，求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及的邊緣概率分布解：二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為的邊緣概率分布為二、設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)求：（1）系數(shù)A、B及C；（2）（，）的聯(lián)合概率密度：（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度解：（1）由，得 解得，（2）因?yàn)椋裕?，）的?lián)合概率密度為（3）及的邊緣分布函數(shù)分別為 及的邊緣概率密度分別為三、設(shè)的聯(lián)合概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）及的邊緣概率密度；（4）落

4、在區(qū)域R：內(nèi)的概率解：（1）由，有，解得 （2）的聯(lián)合分布函數(shù)為 （3）及的邊緣概率密度分別為 （4）四、設(shè)二維隨機(jī)變量在拋物線與直線所圍成的區(qū)域上服從均勻分布求：(1) 的聯(lián)合概率密度；(2) 概率解：(1) 設(shè)的聯(lián)合概率密度為則由解得故有(2) 13 正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望與方差一、 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求（1）；（2）解：(1) (2) 二、 已知某種機(jī)械零件的直徑（mm）服從正態(tài)分布規(guī)定直徑在（mm）之間為合格品，求這種機(jī)械零件的不合格品率解：設(shè)表示這種機(jī)械零件的不合格品率，則而 故三、測(cè)量到某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的誤差(m)具有概率密度求在三次測(cè)量中至少有一次誤差的

5、絕對(duì)值不超過m的概率解：三次測(cè)量中每次誤差絕對(duì)值都超過30米可表為 因?yàn)?，所以由事件的相互?dú)立性，有 于是有四、設(shè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度（所得的概率分布稱為對(duì)數(shù)正態(tài)分布）解：由題設(shè)，知的概率密度為從而可得隨機(jī)變量的分布函數(shù)為當(dāng)時(shí)，有；此時(shí)亦有當(dāng)時(shí)，有此時(shí)亦有從而可得隨機(jī)變量的概率密度為五、設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，求：(1) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，其中及為常數(shù)；(2) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差解：由題設(shè)，有；從而有(1)；(2)；四、100臺(tái)車床彼此獨(dú)立地工作著，每臺(tái)車床的實(shí)際工作時(shí)間占全部工作時(shí)間的80%，求： （1） 任一時(shí)刻有70至86臺(tái)車床在工作的概率； （2） 任一時(shí)刻有不少于80臺(tái)車床在工作的概率解：設(shè)表示“任一時(shí)刻正在工作的車床數(shù)”，則 （1） （2）五、在一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元問： （1） 保險(xiǎn)公司虧本的可能性是多大？ （