文數(shù)書稿平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

1、第26節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示一、考點(diǎn)考綱明確目標(biāo)1了解平面向量的基本定理及其意義。2掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。3會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。4理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。二、基礎(chǔ)再現(xiàn)回歸課本1平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 不共線 的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使。.我們把不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 基底 ，記為注意：（1）是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量；（2）該平面內(nèi)的任意向量都可用線性表示，且這種表示是唯一的；（3）對基底的選取不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為一組基底.2向量的正交分解

2、及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè) 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.（2）平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、，、作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得，則我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作， 叫做 在軸上的坐標(biāo)，叫做 在軸上的坐標(biāo)。把叫做向量的坐標(biāo)表示。 注意：相等的向量其坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量。3平面向量的加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)，則： ； ；. 注意：（1）兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差，數(shù)乘向量積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積；

3、（2）兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，但是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同.（2）給定點(diǎn)，則4用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件： 設(shè)則向量共線，即三、三基檢測知己知彼1設(shè) 分別為與軸，軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，若，則向量的坐標(biāo)是（ ）. 答案：A解析：由平面向量基本定理可知，故選A2已知向量，若與共線，則的值為 A B C D 答案：D解析：， = ；= 與共線 即3（2009韶關(guān)一模文）已知，若，則實(shí)數(shù)的值是 （ ）A. -17 B. C. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D.答案：B解析： ； 即4若點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)且,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為,

4、向量 的坐標(biāo)為.答案：A(2,4)，B(3,9)，(5,5)解析：O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)， (1,2)，(1,3)， 2×(1,2)(2,4)， 3×(1,3)(3,9).A(2,4)，B(3,9)， (32,94)(5,5).5（05，廣東）已知向量，且，則_.答案：4解析： 即四、典例研究提升能力考點(diǎn)一、平面向量的基本定理及其應(yīng)用例題1 已知A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3)，以,為一組基底來表示. 解：=(1,3), =(2,4), =(-3,5)，=(-4,2), =(-5,1), =(-12,8) 根據(jù)平面向量基本定理，必

5、存在唯一實(shí)數(shù)對m,n使得=m+n(-12,8)=m(1,3)+ n (2,4) 得m=32, n=-22;=3222即時(shí)練習(xí)： 如圖所示，在OAB中，,，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè) ，以，為基底表示 解：設(shè)manb(m，n R).則 (m1)anb， baab.因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，所以 即m2n1，而 (m)anb， baab，因?yàn)镃，M，B三點(diǎn)共線，所以 ，即4mn1.由 解得 所以規(guī)律總結(jié)：正確運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算求得各個(gè)向量坐標(biāo)，求解方程組，要求計(jì)算正確?？键c(diǎn)二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例二、已知及，試問：（1）為何值時(shí)，點(diǎn)在軸上？在軸上？在第二象限？（2）四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的

6、值；若不能，請說明理由.解：（1）若在軸上，則若在軸上，則若在第二象限，則（2）若四邊形為平行四邊形，則，而所以四邊形不能成為平行四邊形。即時(shí)練習(xí)：已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).設(shè) a，b， c，且3c,2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，(3) 3c 3c(3,24)(3，4)(0,20). (0,20).又 2b， 2b (12,6)(3，

7、4)(9,2)，N(9,2).(9，18).規(guī)律總結(jié)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)。考點(diǎn)三、平行（共線）向量的坐標(biāo)運(yùn)算例三：.若，求與的關(guān)系式。解：又且即即時(shí)練習(xí)：已知當(dāng)為何值時(shí)，與平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？解：即當(dāng)時(shí)，兩向量平行，此時(shí) 所以平行時(shí)它們是反向。規(guī)律總結(jié)：兩個(gè)向量共線的充要條件在解題中具有重要的應(yīng)用，一般地，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的值，則利用： “若向量a(x1，y1 )，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10”比較簡捷.五、想一想 議一議 改一改（易錯(cuò)、易漏題的改正）設(shè)向量，則是的（

8、 ）條件。A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要解：，。且，故選A想一想：上面的做法對不對？如果不對，請寫出正確的做法。上面的做法是錯(cuò)誤的，正確答案如下：解：若則，若，有可能或?yàn)?，故選C。六、高考真題開拓視野1(2009年廣東卷文)已知平面向量a= ，b=， 則向量 A平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線 答案：C解析：,由及向量的性質(zhì)可知,C正確.2（2010山東文數(shù)）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下，對任意的，令，下面說法錯(cuò)誤的是（ ）A.若與共線，則 B. C.對任意的，有 D. 答案：B解析：若與共線，則

9、有，故A正確；因?yàn)椋?，所以有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故選B。七、強(qiáng)化訓(xùn)練當(dāng)堂鞏固1若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），則c=（ ）A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b答案：B解析：由計(jì)算可得故選B2對于非0向時(shí)a,b,“a/b”的正確是 （ ）A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件答案：A解析：由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要條件。3在中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則 （ ）A BCD 答案：A解析：由已知可得： 4若平面向量，滿足，平行于軸，則 . 答案：（-1，1）或（-3,1）解析：或，則

10、或.5在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形ABCD的邊ABDC,ADBC,已知點(diǎn)A(2，0)，B（6，8），C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_.答案：（0，2）解析：平行四邊形ABCD中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)6已知，若與平行，求實(shí)數(shù)的值. 解：因?yàn)榕c平行，所以存在實(shí)數(shù)，使得八、課后練習(xí) 題組一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1已知平面向量，則向量（）（-1,2） 答案：D解析：（-1,2） 2=即=2（01，江西）若向量，則 等于（ ） 答案：B解析：=+ （-1,2）= 得 即， 所以：=3若平面向量與向量的夾角是，且，則( )A B C D答案：A 解析：設(shè)，而，則

11、4已知向量，向量，則的最大值是 答案： 解析：題組二平行（共線）向量的坐標(biāo)運(yùn)算5（2010陜西文數(shù)）已知向量（2，1），（1，m），（1，2）若（），則 .答案：m=-1解析：，所以m=-16（2009北京卷文）已知向量，如果，那么（ ） A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向答案：D.w解析：本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. a，b，若，則cab，dab， 顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D.7（2009東莞一模）已知，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為 （ ）ABCD答案：C解析： 得 即 8設(shè)，且，則銳角的值為（ ）.答案：B解析： ，即 所以7已知向量，則與（）A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向答案：A8已知點(diǎn)，向量，且，則的值為（ ）.答案：C解析：=（1,3） 6k-12-6=0 即