正弦定理1教學設計

1、正弦定理(1) 教學設計【教材】人教A版高中數(shù)學必修5第一章第一節(jié) 【課時安排】第1課時【教學對象】 高一（下）學生【教材分析】正弦定理揭示了三角形的邊與角的數(shù)量關系，是計算斜三角形邊長或角度的重要工具之一。達到定理的言語連鎖水平并進行簡單應用并不難，但為了讓學生掌握定理探索的一般思路和定理的本質(zhì)，本節(jié)課的教學定位是：既教定理的理解運用，又教定理發(fā)現(xiàn)的探索思路；既強調(diào)學習該定理涉及的數(shù)學思想方法，又滲透定理體現(xiàn)的數(shù)學美?！緦W情分析】認知基礎：已學過“大邊對大角，小邊對小角”的定性描述，具有尋找定量結(jié)論的心理期望； 已學過銳角三角函數(shù)及解直角三角形，利于接受由特殊到一般的過渡； 任意角的三角函數(shù)

2、、三角函數(shù)的誘導公式為定理的證明和應用打下了基礎；認知障礙：猜想的證明； 定理證明思路的切入點?！窘虒W目標】知識與技能了解正弦定理的應用背景，探索與證明正弦定理；理解正弦定理的“結(jié)構(gòu)不變性”和表達這一不變性的“字母可變性”。了解解三角形的概念，初步學會“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其他”和 “已知兩邊及其中一邊對角求其他”的問題。過程與方法經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并證明正弦定理的過程，領悟定理發(fā)現(xiàn)的探索思路，學習由特殊到一般 的思維方式；通過嘗試定理的證明，領悟分類討論和化歸的數(shù)學思想。情感態(tài)度價值觀感受正弦定理的統(tǒng)一美、對稱美、簡潔美；體會正弦定理的科學價值和應用價值，形成崇尚數(shù)學的

3、精神?！窘虒W重點】正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及理解【教學難點】正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學關鍵】探索時由特殊延伸到一般尋找三角形的邊角數(shù)量關系；證明時將一般情形化歸為已得證的特殊情形考慮?！窘虒W方法】以問題驅(qū)動法為主 【教學手段】板書、計算機、PPT、幾何畫板設計意圖：將學生置于天文學應用背景中，由“大邊對大角，小邊對小角”的定性結(jié)論已無法滿足量化需求來創(chuàng)設障礙，激發(fā)學生主動學習新知的動力,亦反映了生活問題數(shù)學問題數(shù)學形式化的發(fā)展軌跡?！窘虒W流程】背景引入設置障礙牛刀小試新知探究猜想證明設計意圖：從特殊入手，通過引導學生對“過去的經(jīng)驗”進行聯(lián)系整合發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦公式，從而搭建思維階梯，使學生能

4、順階而上，逐步擊破。設計意圖：通過解決開頭實際背景中的地月距離問題，利于學生初步體會定理的應用價值和科學價值，亦符合學生期望；再根據(jù)桑代克的練習律與效果律設計練習，初步嘗試定理的簡單應用，達到鞏固新知的目的。應用定理反饋鞏固設計意圖：小結(jié)意在讓學生理清定理探索的一般思路及探索過程涉及到的思維方式、數(shù)學思想方法，并上升到理解定理本質(zhì)的層次；作業(yè)意在讓學生鞏固提高，拓寬思維和知識面，了解正弦定理更完整的結(jié)論。課堂小結(jié)布置作業(yè)牛刀小試【教學過程設計】（一）背景引入，設置障礙 （1）趣味引入：u 問題1：月亮離地球有多遠？由2015年12月初的“嫦娥四號將實現(xiàn)世界首次月球背面軟著陸”的新聞，以及嫦娥奔

5、月、“嫦娥一號”等探月的圖片吸引學生注意力，提出問題1，激發(fā)好奇心；并引出法國天文學家拉朗德和其學生拉卡伊在17世紀中下旬首次計算出了地月距離的背景：選取了幾乎位于同一子午線的柏林和好望角A、B和月球上的一地點C，當時的技術手段只能測出AB兩地間的直線距離和A、B的大小，但他們使用了一個十分便捷的運算工具，就分別把地球上這兩個地點到月球的距離求出來了。揭示本節(jié)課的任務就是要挖掘出這個“便捷的工具”。設計意圖：選取“計算地月距離”的天文學應用背景引入，不僅因為當時兩位天文學家正是利用正弦定理代入數(shù)據(jù)求解的，體現(xiàn)了數(shù)學和其他科學的密切聯(lián)系；而且能激發(fā)學生學習新知以便解決這個看似困難的問題的內(nèi)部動機

6、和興趣，讓學生初步感知新知所蘊含的強大應用價值和科學價值，還可引出探索三角形邊角關系的環(huán)節(jié)。但由于本課時定理的應用不是重點，具體數(shù)據(jù)較復雜，故暫不提供數(shù)據(jù)，只在環(huán)節(jié)三讓學生們自行理清求解思路。（2）抽象問題：已知三角形中的兩個角（A、B）和一條邊（AB的長），求另外兩條邊（AC、BC的長）。 （3）創(chuàng)設障礙：已學過的“大邊對大角，小邊對小角”的三角形邊角關系已經(jīng)無法滿足具體量化需求，故引導學生由定性結(jié)論過渡到尋找定量結(jié)論，提出任務一：尋找三角形中的邊角數(shù)量關系。（二）新知探究，猜想證明 （1）特殊入手：讓學生回憶舊知中能描述直角三角形中邊角數(shù)量關系的定義或性質(zhì)。u 問題2：直角三角形中存在什么

7、邊角數(shù)量關系？【學情預設】生1：直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半。生2：三角函數(shù)。 （2）找直角三角形的邊角數(shù)量關系：出示RtABC，由學生上個問題的回答引導其發(fā)現(xiàn)RtABC中有等邊角數(shù)量關系，轉(zhuǎn)而先研究三角形中與正弦有關的邊角數(shù)量關系?！緦W情預設】生： （3）找直角三角形中邊角數(shù)量關系的特點：引導學生得出sinC=1，尋找能夠溝通的中間量、共同的量，進而表示出c，并將角C統(tǒng)一進來，發(fā)現(xiàn)在RtABC中，有這一美妙的邊角數(shù)量關系；帶領學生共同感受所得關系的簡潔、對稱、統(tǒng)一之美。設計意圖：以學生已有的知識經(jīng)驗為基礎，引導學生建立新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，便于學生完成對新知識的遷移

8、。而帶領學生感受數(shù)學美是一項潛移默化的長期任務，應借此培養(yǎng)他們主動感受和挖掘更多數(shù)學美的習慣，并鼓勵學生發(fā)散思維、從而引入下一環(huán)節(jié)。 （4）推廣結(jié)論，實驗探索：u 問題3：一般三角形中是否存在類似的美妙關系？ 將研究對象由特殊延伸到一般、由直角三角形推廣至一般三角形，引導學生通過觀察幾何畫板所展示的任意構(gòu)造的形狀大小不一的銳角或鈍角三角形所對應的每組比值的特點。 發(fā)現(xiàn)特點：在許多銳角或鈍角三角形中三個比值都相等，似乎都存在著一致的邊角數(shù)量關系：，即各邊邊長與所對角的正弦之比相等。設計意圖：由三角形有成千上萬來初步凸現(xiàn)分類討論的必要性；并利用幾何畫板展示素材的直觀性、任意性、可測性等優(yōu)點，通過直

9、觀的“形變神不變”和分情況演示證實關系可能在一般三角形中成立，從而加強學生的猜想。 （5）提出猜想：在任意ABC中，是成立的。u 問題4：你能否根據(jù)演示結(jié)果大膽地作出合情的猜想？ （6）尋找證明思路：要確認結(jié)論是否成立單靠猜想還不夠，應該證明。u 問題5：如何證明？如何將銳角和鈍角三角形跟直角三角形聯(lián)系起來？引導學生結(jié)合前面的思路進行探討：一開始從特殊的直角三角形入手，很容易地表示出了三角形的邊與對應角的正弦的數(shù)量關系，并證明了等式在直角三角形中成立，要是銳角和鈍角三角形能跟直角三角形扯上關系，問題應該就簡單一點。進而啟發(fā)學生轉(zhuǎn)化歸結(jié)為考慮直角三角形的邊角數(shù)量關系。滲透化歸的數(shù)學思想。【學情預

10、設】作高。（提示：通過作高將銳角和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為考慮直角三角形，參考直角三角形的證明思路）設計意圖：學生能否準確地判斷出需要“作高”，是衡量其能否將一般情形轉(zhuǎn)化為前面已得證的特殊情形的關鍵，亦可讓學生親自理解這一證明思路的切入點。（7）分組探究，證明猜想：1、2組嘗試銳角三角形的證明，3、4組嘗試鈍角三角形的證明，帶著提供的思考問題和提示，共同探討并證明銳角和鈍角三角形的情況。滲透分類討論的思想。 PPT出示探究任務和思考問題：作高后如何將高與三角形的邊和角聯(lián)系起來？需要作多少條高便可證明出結(jié)論？（教師巡視，必要時給予啟發(fā)指導，尋找能夠證明出來的同學，請兩位同學分別代表小組分享證明思路，由學

11、生展示證明情況，由教師詳細板演，強調(diào)思路的關鍵點）【學情預設】生1：在銳角ABC中，過A做BC邊上的高AD，則在RtADC中，有（），在RtADB中，有（），聯(lián)系兩式消去AD易得（教師強調(diào)是在直角三角形中，體現(xiàn)由一般轉(zhuǎn)化為特殊）過C做AB邊上的高CE，同理可證（或過B作AC邊上的高BF。在RtBFC中；在RtBFA中，兩式聯(lián)立變形得） 生2：在鈍角ABC中，過A作BC邊上的高AD,得到兩個直角三角形，有，兩式聯(lián)立變形得；過B作AC邊上的高BE，在RtAEB中，在RtBEC中，；兩式聯(lián)立變形得。（或過C作AB邊上的高CF。在RtBFC中；在RtAFC中，兩式聯(lián)立變形得）設計意圖：選用等高法，是由

12、于本節(jié)課是從直角三角形入手的，只要通過作高就可以把銳角或鈍角三角形和直角三角形聯(lián)系起來，因此，對于猜想的證明，該法應該是學生從認知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法，符合學生的認知水平發(fā)展。分組讓學生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況，可提高學生課堂的參與度，確保學生的主體地位。由于此方法與教科書所涉及的方法大同小異，是面向全體學生的證明過程，且為了讓學生更好地體會數(shù)學證明的邏輯演繹過程，采用學生表述、教師板演，以更好地讓大多數(shù)學生理解掌握。l （8）得到定理:說明定理揭示了三角形中所蘊含的十分巧妙的邊角數(shù)量關系，讓學生再次共同感受定理的數(shù)學美：如此獨特的美妙關系，也只有我們數(shù)學語言能如此簡練地描述

13、出來。（三）應用定理，反饋鞏固（1）了解應用：u 問題6：正弦定理能解決哪些數(shù)學問題？ 舉兩個簡單例子啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)“知三求一”的特點，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，便可初步得出定理的應用范圍：（1）已知三角形兩個角和一條邊，求其它邊和角；（2）已知三角形兩條邊和其中一邊的對角，求其它邊和角。（2） 實際應用：u 問題7：你能用正弦定理得到地月距離的求解思路了嗎？ 回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問題，教師與學生共同探討解題思路，尋找隱含條件，在定理表達式中標記出已知條件和隱含條件，直觀體現(xiàn)“知三求一”：由三角形內(nèi)角和定理可求角C；由正弦定理可表示出AC、BC?！窘鉀Q思路】在ABC中，已知A和B的大小、AB的長，

14、 則由三角形內(nèi)角和定理可得C=180°-A-B， 故由正弦定理得，即，.只要代入具體數(shù)據(jù)，地月距離便迎刃而解，至于具體數(shù)據(jù)是多少、怎么測的，鼓勵學生課后上網(wǎng)查找資料拓展知識面。該距離問題的求解過程就是正弦定理的應用；一個簡單的定理居然會在天文學中會被用到，其實它在許多領域測量距離或高度的問題中也很有幫助，下節(jié)課就可以見分曉。這節(jié)課先試著解決簡單的純數(shù)學問題。 （3）了解解三角形的概念：把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。（4）練習解三角形：（學生先練習，后講解，檢驗是否符合“大邊對大角”）根據(jù)已知條件求三

15、角形的其他邊和角。 在ABC中，已知A=60°，B=45°，c=20cm； 在ABC中，已知a=15cm，b=10cm，B=30°.【學情預設】， 由正弦定理得， 故，。 由正弦定理得，故,故，從而有，。設計意圖：由于本節(jié)課只是正弦定理的第一課時，定理的應用還不是重點，所以該環(huán)節(jié)不做過多復雜的實際計算，只是讓學生解決開頭實際背景中的地月距離問題，既體現(xiàn)問題設置的有效性，又符合學生運用新知解決問題的心理期望。由學生運用所學新知識表述思路、解決問題，初步體會定理的應用價值，并簡單引入其他領域的應用，為下節(jié)課的開展設置懸念，激發(fā)學習動機；而兩道帶有簡單數(shù)據(jù)的純數(shù)學解三角

16、形問題則可讓學生初步嘗試正弦定理的兩類簡單應用。（四）課堂小結(jié)和作業(yè)布置（1）課堂小結(jié)：借助流程圖與學生共同總結(jié)梳理本節(jié)課的定理發(fā)現(xiàn)思路：為了探究三角形的邊角數(shù)量關系，從特殊的直角三角形入手，經(jīng)歷觀察實驗猜想證明得到正弦定理應用定理；并引導學生上升到理解定理本質(zhì)的層次，即理解其“結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性”。同時揭示本節(jié)課涉及的特殊到一般的發(fā)現(xiàn)思路、分類討論和化歸的數(shù)學思想。并留下懸念：正弦定理還有更令人驚嘆的結(jié)論！即它的比值是一個可以由三角形自身確定的常量，是什么呢？結(jié)合課后題就會有重大發(fā)現(xiàn)。設計意圖：借助框圖梳理思路，包括定理的發(fā)現(xiàn)與探索過程、定理的證明、涉及的數(shù)學思想方法等，并讓學生掌握

17、定理學習的本質(zhì)，潛移默化地讓學生感受到有時過程比結(jié)果更重要。（2）作業(yè)布置：必做：習題1.1之A組第1、2題； 完成鈍角三角形中的正弦定理的證明過程； 平面向量是溝通角度和長度的重要工具，請嘗試平面向量的相關知識證明定理。思考：任意ABC中定理表達式的值會等于什么？結(jié)合習題1.1之B組第1題。設計意圖：必做作業(yè)是定理的簡單應用，學生可能會碰到有兩解的問題，且在這一點上容易出錯，為下節(jié)課學習定理應用的關鍵點作鋪墊。而讓學生嘗試運用平面向量再次證明定理，既可鞏固學生對平面向量的理解，又可拓寬學生的證明思路。思考作業(yè)是對定理比值問題的發(fā)現(xiàn)與解決，可讓學生進一步了解正弦定理的完美，發(fā)現(xiàn)任意三角形與其外接圓直徑的數(shù)量關系?！景鍟O計】附： 本教學設計的創(chuàng)新之處 以7個問題為線索，問題驅(qū)動，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入。讓學生通過經(jīng)歷定理探索的一般思路，學的不僅僅是正弦定理一個知識點，而是日后學習千千萬萬個定理的一般思維方式，達到知一曉三，亦能提升“做數(shù)學”的條理性和嚴謹性。 讓學生了解正弦定理的真實應用背景，拓寬了學生的數(shù)學文化