排列組合問題題型

1、排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有（ ）A、60種 B、48種 C、36種 D、24種2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、4800種例3.已知集合，集合，且，若，則滿足條件的集合有多少個？3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必

2、須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法有（ ）A、24種 B、60種 C、90種 D、120種 （2）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種4.標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例5.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種

3、B、9種 C、11種 D、23種5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例6.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種 （2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（ ）A、種 B、種 C、種 D、種6.全員分配問題分組法:例7.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？（2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)

4、為（ ）A、480種 B、240種 C、120種 D、96種7.名額分配問題隔板法:例8：10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？例9.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？8.限制條件的分配問題分類法:例10. 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是 A 152 B. 126 C. 9

5、0 D. 549.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)再相加。例11 （1）從1，2，3，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？（2）從1，2，3，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？例12. 電子表10點20分08秒時，顯示的數(shù)字是10:20:08，那么，從8點到10點內(nèi)，電子表6個數(shù)碼均不相同的情況有多少種?10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式例13.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽

6、，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例14.現(xiàn)1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例15.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分

7、類法:例16.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙 型電視機各一臺，則不同的取法共有（ ） A、140種 B、80種 C、70種 D、35種14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例17.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要從中選4人進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的選法？15.幾何問題:例18.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（ ）A、70種 B、64種 C、58種 D、52種（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在

8、其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）A、150種 B、147種 C、144種 D、141種（3）記正方體的各條棱的中點構(gòu)成的集合為M，則過且僅過集合M的三個點的平面有多少個？（4）正方體8個頂點可連成多少對異面直線？16.圓排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而無首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同，個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.例19.有5對姐妹站成一圈

9、，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個不同元素排在個不同位置的排列數(shù)有種方法.例20.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例21. 某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方法有（ ）A5種 B6種 C7種 D8種例22從1到100的一百個自然數(shù)中，每次取出兩個數(shù)，使其和大于100，這樣的取法共有多少種？ 20.復(fù)雜的

10、排列組合問題也可用分解與合成法:例23.（1）30030能被多少個不同偶數(shù)整除？（2）設(shè)是由的一個排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)稱為的順序數(shù)。如在排列中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0. 則在由這八個數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時滿足8的順序數(shù)為2、7的順序數(shù)為3、5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為多少？21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例24.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點最多有多少個？（2）某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從A到B的最短 路徑有多少種？22.全錯位排列問題公式

11、法:全錯位排列問題（賀卡問題，信封問題）記住公式即可瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：用A、B、C表示寫著n位友人名字的信封，a、b、c表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。把錯裝的總數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a錯裝進B里了，包含著這個錯誤的一切錯裝法分兩類： （1）b裝入A里，這時每種錯裝的其余部分都與A、B、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯裝法。 （2）b裝入A、B之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把（除a之外的）n1個信紙b、c裝入（除B以外的）n1個信封A、C，顯然這時裝錯的方法有f(n-1)種?？傊赼裝入B的錯誤之下，共有錯裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C，裝入D的n2種錯

12、誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯裝法，因此得到一個遞推公式： f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2)，分別帶入n=2、3、4等可推得結(jié)果。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式： 例25.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？例26、5位同學(xué)原來坐成一排，現(xiàn)讓他們重新坐，則至多有兩位同學(xué)坐在其原來的位置的不同的坐法是多少？23.多人傳球問題：（構(gòu)造遞推關(guān)系）例27、（）個人傳球，第一次由開始傳球，可傳給其他任何一個人，第二次由拿球者再傳給其他任何一

13、個人，如此繼續(xù)，則第次球仍回到的手中的傳球方法種數(shù)是多少？24.上臺階問題：例28、10級臺階，某人可一步跨一級，也可跨兩級，也可跨三級。（1）他6步就可上完臺階的方法數(shù)是多少？（2）他上完臺階的方法總數(shù)是多少？25.方程的正整數(shù)解的個數(shù)問題：（隔板法）例29.方程（，）的正整數(shù)解有多少個？有多少非負整數(shù)解個？例30. 將20個完全相同的球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中。（1）若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？（2）若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？（3）若要求每個盒子放的球的個數(shù)不小于其編號數(shù)，則一共有多少種放法？26.配對（配湊）問題：例31. 5雙相異的

14、鞋共10只，現(xiàn)隨機地取出6只，恰好能配成2雙鞋的取法是多少？例32. 50名選手參加乒乓球淘汰賽比賽,需要打多少場才能產(chǎn)生冠軍? 淘汰賽比賽規(guī)則是:要淘汰1名選手必須進行1場比賽;反之,每進行1場比賽則淘汰1名選手。例33. 有11名翻譯人員，其中5名是英語翻譯人員，4名是日語翻譯人員，另2人英、日語均精通?，F(xiàn)從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，則有多少種不同的選派方式？27.染色問題：例34. 把圓分成10個不相等的扇形,并且用紅、黃、藍三種顏色給扇形染色,但不允許相鄰的扇形有相同的顏色,問共有多少種染色法? 123456例35.在如圖所示的六個空格里涂上紅黃藍三

15、種顏色，每種顏色只能涂兩次，要求相鄰空格不同色，請問一共有多少種涂法？例36. 某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有多少種？ （變式：若要栽種5種顏色的花？）排列組合問題經(jīng)典題型答案1.解析：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種，答案：.2.解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.3. 易知互不相等且不相鄰，則有。4.解析：（1）在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種，選.（2）按題

16、意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選（種）5.解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選.6.解析：（1）先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有種，選.（2）答案：.7.（1）（2），答案：.8.解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插

17、入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.9.解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.10.11.解析：（1）解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個元素；由此可知，從中任取2個元素的取法有，從中任取一個，又從中任取一個共有，兩種情形共符合要求的取法有種.（

18、2）解析：將分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；從中各取一個數(shù)也符合要求；從中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.12. 解：（1）08：a b ：c d ,其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,9.（2）09：a b ：c d ,其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,8.先填a、c，再填b、d，共13.解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排

19、列，B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：種.14.解析：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學(xué)在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.15.解析：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.（2）解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.16.解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙

20、型1臺；故不同的取法有臺,選.17.解析：（1）先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.（2）先取男女運動員各2名，有種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有中排法，故共有種.18.解析：（1）正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有個.（2）解析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為，四個面共有個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是種.（3）

21、56個。一個面內(nèi)取GH兩點，另一個點取F時，即8個角；一個面內(nèi)取GH兩點，另一個點取K時，24個；一個面內(nèi)取HI兩點，那另一個點只能取A或C，24個（4）因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構(gòu)成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構(gòu)成的四面體有個，所以8個頂點可連成的異面直線有3×58=174對.19.解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說明：從個不同元素中取出個元素作圓形排列共有種不同排法.20.解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分

22、配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有種不同方案.21. 解析：C。設(shè)購買軟件片、磁盤盒，則，所以；，；。故共7種。22. 解析：(包括兩個數(shù)不同和相同的情形！)23.解析：（1）先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，所有的偶因數(shù)為個（或）.（2）分析知7必排在8之后，5必排在7之后. 且8的前面只有2個數(shù)，8、7之間只有一個小于7的數(shù)，6或在7之前，或在7、5之間，或在

23、5之后。第一種情況：6在7之前，形如：#8#7#5# ，；第2種情況： 6在7、5之間 ，形如：#8#765# ，；第3種情況：6在5之后，形如：#8#75# ，所以共144種。24.解析：（1）因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有個.（2）解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從到最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此

24、不同走法有種.25.解析：從5個球中取出2個與盒子對號有種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為種.26.解：錯排問題，分類解決：27. 解析：設(shè)第次球仍回到的手中的傳球方法種數(shù)是，則，且，所以（）。28. 解析：（1）設(shè)跨1級、2級、3級的步數(shù)分別為，則，解得，故方法數(shù)為（2）設(shè)上完n級臺階的方法數(shù)為，則，且，29解析：；30解析：（1）；（2）；（3）先在編號為1，2，3，4，5的五個盒子中依次放入0,1,2,3,4個球，再只要保證余下的10個球每個盒