《三維設(shè)計(jì)》2013屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)能否憶起一、直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)000幾何觀點(diǎn)drdrdr二、圓與圓的位置關(guān)系(O1、O2半徑r1、r2，d|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量化dr1r2dr1r2|r1r2|d r1r2d|r1r2|d|r1r2|小題能否全取1(教材習(xí)題改編)圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關(guān)系是()A相切B相交但直線不過圓心C相交過圓心 D相離解析：選B由題意知圓心(1，2)到直線2xy50的距離d，0d，故該直線與圓相交但不過圓心2(2012·銀川質(zhì)檢)由直線yx1上的一點(diǎn)向圓x2

2、y26x80引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A. B2C3 D.解析：選A由題意知，圓心到直線上的點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)最小圓x2y26x80可化為(x3)2y21，則圓心(3,0)到直線yx1的距離為2，切線長(zhǎng)的最小值為.3直線xy10與圓x2y2r2相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的長(zhǎng)為2，則圓的半徑為()A. B.C1 D2解析：選B圓心(0,0)到直線xy10的距離d.則r22d2，r.4(教材習(xí)題改編)若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：由題意知 1，解得k.答案：(， )5已知兩圓C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，則兩圓公共弦所在的直

3、線方程是_解析：兩圓相減即得x2y40.答案：x2y401.求圓的弦長(zhǎng)問題，注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡(jiǎn)化運(yùn)算2對(duì)于圓的切線問題，要注意切線斜率不存在的情況直線與圓的位置關(guān)系的判斷典題導(dǎo)入例1(2012·陜西高考)已知圓C：x2y24x0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則()Al與C相交Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能自主解答將點(diǎn)P(3,0)的坐標(biāo)代入圓的方程，得32024×39123<0，所以點(diǎn)P(3,0)在圓內(nèi)故過點(diǎn)P的直線l定與圓C相交答案A本例中若直線l為“xy40”問題不變解

4、：圓的方程為(x2)2y24，圓心(2,0)，r2.又圓心到直線的距離為d32.l與C相離由題悟法判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程消元后利用判斷(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷直線與圓相交以題試法1(2012·哈師大附中月考)已知直線l過點(diǎn)(2,0)，當(dāng)直線l與圓x2y22x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是()A(2，2) B(，)C. D.解析：選C易知圓心坐標(biāo)是(1,0)，圓的半徑是1，直線l的方程是yk(x2)，即kxy2k0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得1，即k2，

5、解得k.直線與圓的位置關(guān)系的綜合典題導(dǎo)入例2(1)(2012·廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x4y50與圓x2y24相交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)等于()A3B2C. D1(2)(2012·天津高考)設(shè)m，nR，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是()A1，1 B(，1 1，)C22，22 D(，22 22，)自主解答(1)圓x2y24的圓心(0,0)，半徑為2，則圓心到直線3x4y50的距離d1.故|AB|222.(2)圓心(1,1)到直線(m1)x(n1)y20的距離為1，所以mn1mn(mn)2，整理得(mn)2

6、280，解得mn22或mn22.答案(1)B(2)D由題悟法1圓的弦長(zhǎng)的常用求法：(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則2r2d2.(2)代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式：|AB|x1x2|.注意常用幾何法研究圓的弦的有關(guān)問題2求過一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，首先要判斷此點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓內(nèi)，無解；若點(diǎn)在圓上，有一解；若點(diǎn)在圓外，有兩解以題試法2(2012·杭州模擬)直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|2，則k的取值范圍是()A. B.C， D.解析：選B如圖，設(shè)圓心C(2,3)到直線ykx3的距離為d，若|MN|2，則d2r22431

7、，即1，解得k .圓與圓的位置關(guān)系典題導(dǎo)入例3(1)(2012·山東高考)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切B相交C外切 D相離(2)設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|_.自主解答(1)兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32d32，兩圓相交(2)由題意可設(shè)兩圓的方程為(xri)2(yri)2r，ri0，i1,2.由兩圓都過點(diǎn)(4,1)得(4ri)2(1ri)2r，整理得r10ri170，此方程的兩根即為兩圓的半徑r1，r2，所以r1r217，r1r210，則|C1C2|

8、15; ×8.答案(1)B(2)8由題悟法兩圓位置關(guān)系的判斷常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到以題試法3(2012·青島二中月考)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)是_解析：依題意得|OO1|5，且OO1A是直角三角形，SO O1A··|OO1|·|OA|·|AO1|，因此|AB|4.答案：4一、選擇題1(2012·人大附中月考)設(shè)m0，則直線(xy

9、)1m0與圓x2y2m的位置關(guān)系為()A相切B相交C相切或相離 D相交或相切解析：選C圓心到直線l的距離為d，圓半徑為.因?yàn)閐r(m21)(1)20，所以直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離2(2012·福建高考)直線xy20與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)度等于()A2 B2C. D1解析：選B因?yàn)閳A心(0,0)到直線xy20的距離為1，所以AB22.3(2012·安徽高考)若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析：選C欲使直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，只需使圓心到直線的距離小于等

10、于圓的半徑即可，即，化簡(jiǎn)得|a1|2，解得3a1.4過圓x2y21上一點(diǎn)作圓的切線與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A. B.C2 D3解析：選C設(shè)圓上的點(diǎn)為(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，則切線方程為x0xy0y1.分別令x0，y0得A，B，則|AB| 2.當(dāng)且僅當(dāng)x0y0時(shí)，等號(hào)成立5(2013·蘭州模擬)若圓x2y2r2(r0)上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線xy20的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為()A(1，) B(1, 1)C(0, 1) D(0, 1)解析：選A計(jì)算得圓心到直線l的距離為 1，如圖直線l：xy20與圓相交，l1，l2與l平行

11、，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離 1.6(2013·臨沂模擬)已知點(diǎn)P(x，y)是直線kxy40(k0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2y22y0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為()A. B.C2 D2解析：選D圓心C(0,1)到l的距離d，所以四邊形面積的最小值為2×2，解得k24，即k±2.又k0，即k2.7(2012·朝陽(yáng)高三期末)設(shè)直線xmy10與圓(x1)2(y2)24相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)m的值是_解析：由題意得，圓心(1,2)到直線xmy10的距

12、離d1，即1，解得m±.答案：±8(2012·東北三校聯(lián)考)若a，b，c是直角三角形ABC三邊的長(zhǎng)(c為斜邊)，則圓C：x2y24被直線l：axbyc0所截得的弦長(zhǎng)為_解析：由題意可知圓C：x2y24被直線l：axbyc0所截得的弦長(zhǎng)為2 ，由于a2b2c2，所以所求弦長(zhǎng)為2.答案：29(2012·江西高考)過直線xy20上點(diǎn)P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_解析：點(diǎn)P在直線xy20上，可設(shè)點(diǎn)P(x0，x02)，且其中一個(gè)切點(diǎn)為M.兩條切線的夾角為60°，OPM30°.故在RtOPM中，有

13、OP2OM2.由兩點(diǎn)間的距離公式得OP 2，解得x0.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是( ， )答案：( ， )10(2012·福州調(diào)研)已知M：x2(y2)21，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切M于A，B兩點(diǎn)(1)若|AB|，求|MQ|及直線MQ的方程；(2)求證：直線AB恒過定點(diǎn)解：(1)設(shè)直線MQ交AB于點(diǎn)P，則|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP| ，又|MQ|，|MQ|3.設(shè)Q(x,0)，而點(diǎn)M(0,2)，由3，得x±，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)或(，0)從而直線MQ的方程為2xy20或2xy20.(2)證明：設(shè)點(diǎn)Q(q,0)，由幾何性質(zhì)，可知A，B兩點(diǎn)在以QM為直徑

14、的圓上，此圓的方程為x(xq)y(y2)0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，相減可得AB的方程為qx2y30，所以直線AB恒過定點(diǎn).11已知以點(diǎn)C(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)(1)求證：AOB的面積為定值；(2)設(shè)直線2xy40與圓C交于點(diǎn)M、N，若|OM|ON|，求圓C的方程解：(1)證明：由題設(shè)知，圓C的方程為(xt)22t2，化簡(jiǎn)得x22txy2y0，當(dāng)y0時(shí)，x0或2t，則A(2t,0)；當(dāng)x0時(shí)，y0或，則B，所以SAOB|OA|·|OB|2t|·4為定值(2)|OM|ON|，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)

15、為H，則CHMN，C、H、O三點(diǎn)共線，則直線OC的斜率k，t2或t2.圓心為C(2,1)或C(2，1)，圓C的方程為(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25，由于當(dāng)圓方程為(x2)2(y1)25時(shí)，直線2xy40到圓心的距離dr，此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，圓C的方程為(x2)2(y1)25.12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2y212x320的圓心為Q，過點(diǎn)P(0,2)，且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A、B.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)圓的方程可寫成(x6)2y24，所以圓心為Q(6,0)

16、過P(0,2)且斜率為k的直線方程為ykx2，代入圓的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B等價(jià)于4(k3)24×36(1k2)42(8k26k)>0，解得<k<0，即k的取值范圍為.(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)則(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2.又y1y2k(x1x2)4.因P(0,2)、Q(6,0)，(6，2)，所以與共線等價(jià)于2(x1x2)6(y1y2)，將代入上式，解得k.而由(1)知k，故沒有符合題意的常數(shù)k.1已知兩圓x2y210x10y0，x2y26x2y400，

17、則它們的公共弦所在直線的方程為_；公共弦長(zhǎng)為_解析：由兩圓的方程x2y210x10y0，x2y26x2y400，相減并整理得公共弦所在直線的方程為2xy50.圓心(5,5)到直線2xy50的距離為2，弦長(zhǎng)的一半為，得公共弦長(zhǎng)為2.答案：2xy5022(2012·上海模擬)已知圓的方程為x2y26x8y0，a1，a2，a11是該圓過點(diǎn)(3,5)的11條弦的長(zhǎng)，若數(shù)列a1，a2，a11成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的最大值是_解析：容易判斷，點(diǎn)(3,5)在圓內(nèi)部，過圓內(nèi)一點(diǎn)最長(zhǎng)的弦是直徑，過該點(diǎn)與直徑垂直的弦最短，因此，過(3,5)的弦中，最長(zhǎng)為10，最短為4，故公差最大為.答案：3.(2

18、012·江西六校聯(lián)考)已知拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線n，交直線l于點(diǎn)A，交圓M于不同的兩點(diǎn)O、B，且|AO|BO|2.(1)求圓M和拋物線C的方程；(2)若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求,·,的最小值；(3)過直線l上的動(dòng)點(diǎn)Q向圓M作切線，切點(diǎn)分別為S、T，求證：直線ST恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)易得B(1，)，A(1，)，設(shè)圓M的方程為(xa)2y2a2(a0)，將點(diǎn)B(1，)代入圓M的方程得a2，所以圓M的方程為(x2)2y24，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，)在準(zhǔn)線l上，所以1，p2，

19、所以拋物線C的方程為y24x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則,(2x，y)，,(1x，y)，又點(diǎn)P在拋物線y24x上，所以,·,(2x)(1x)y2x23x24xx2x2，因?yàn)閤0，所以,·,2，即,·,的最小值為2.(3)證明：設(shè)點(diǎn)Q(1，m)，則|QS|QT|，以Q為圓心，為半徑的圓的方程為(x1)2(ym)2m25，即x2y22x2my40， 又圓M的方程為(x2)2y24，即x2y24x0，由兩式相減即得直線ST的方程3xmy20，顯然直線ST恒過定點(diǎn).1兩個(gè)圓：C1：x2y22x2y20與C2：x2y24x2y10的公切線有且僅有()A1條 B2條C3條 D4條解析：選B由題知C1：(x1)2(y1)24，則圓心C1(1，1)，C2：