經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)模型案例教程總

1、2-1-12 利益分配的合作博弈模型1、問(wèn)題的提出在經(jīng)濟(jì)和社會(huì)活動(dòng)中，若干實(shí)體（如個(gè)人、公司、黨派、國(guó)家等）相互合作結(jié)成聯(lián)盟或者集團(tuán)，常能獲利得比他們單獨(dú)行動(dòng)時(shí)更大的經(jīng)濟(jì)或社會(huì)效益，并且，通常這種利益是非對(duì)抗性的。合理地分配這些效益的方案是促成合作的前提，那么，應(yīng)該如何分配利益才算是合理？2、模型的構(gòu)建若干方合作獲利的效益分配問(wèn)題，稱(chēng)為合作博弈。1953年，L.S.Shapley給出了n人合作博弈問(wèn)題的一種方法。假定在n方合作博弈中，若干人的每一種組合（特別，單人也看作為一種組合）都會(huì)得到一定的效益，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少，于是，全體人員的合作將帶來(lái)最大效益，在這種假定下，Shap

2、ley提出了一系列的公理的唯一的分配這個(gè)最大效益的一種方案，并且嚴(yán)格證明了這種方案是滿(mǎn)足這組公理的唯一的分配。設(shè)為合作博弈的n方。對(duì)于參加者的某種組合(即的一個(gè)子集)S,以記其相應(yīng)的效益(它是一種有特定含義的特征函數(shù)).。用表示中第位成員從合作收益中應(yīng)得到的一份收入。稱(chēng)為Shapley值，它由效益函數(shù)確定它的計(jì)算公式為其中是中包含的所有子集，是子集中的元素個(gè)數(shù)（組合中的參加者數(shù)量），是加權(quán)因子注意到是有第方參加的某種合作方案的獲利，表示在這種合作方式中第方退出以后的獲利。因此，可以看成在這種合作方案中第方的“貢獻(xiàn)”。根據(jù)前面的假設(shè)，任何一方在任何合作方案中的貢獻(xiàn)都是非負(fù)的。而則是在各種有第方參

3、加的合作方案中第方“貢獻(xiàn)”的加權(quán)總和。通俗地說(shuō)，就是按照貢獻(xiàn)大小分配利益?？梢宰C明，這種分配方案滿(mǎn)足：i）不貢獻(xiàn)的不得利（即如果他在各種合作方案中所有的貢獻(xiàn)值都為零，則他的獲利為零）：ii）各合作方的獲利總和等于總收益。 3模型求解與應(yīng)用 下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明模型如何根據(jù)求解合作獲利的效益分配，沿河有1、2、3三個(gè)城鎮(zhèn)，地理位置及各城鎮(zhèn)的距離如圖2-9所示。城鎮(zhèn)排放的污 需經(jīng)過(guò)處理才能排入河中，三個(gè)城鎮(zhèn)既可以單獨(dú)建污水處理廠，也可以聯(lián)合建廠，用管道將污 集中處理（污水 必須從上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn)，處理廠必須建在下游位置。）按照經(jīng)驗(yàn)公式，建造污水處理廠的費(fèi)用和鋪設(shè)管道的費(fèi)用分別為 其中表示污水處理量

4、（噸/秒），表示管道長(zhǎng)度（km）、如果三城鎮(zhèn)的污水量分別為6，試從節(jié)約總投資的角度為三城鎮(zhèn)制定建廠方案。如果聯(lián)合建廠，費(fèi)用應(yīng)如何分擔(dān)。三城鎮(zhèn)建廠方案一共有以下5種 （1） 城鎮(zhèn)分別建造，建造費(fèi)用分別為×總投資額為（2） 城1，2合作，在城2處建廠，城3單獨(dú)建，建造費(fèi)用為，總投資額為。（3） 城2，3合作，在城3處建廠，城1單獨(dú)建.建造費(fèi)用為，總投資額為。（4） 城1，3合作，在城3處建廠，城2單獨(dú)建.建造費(fèi)用為，總投資額為。（5） 三方合作建廠.建造費(fèi)用為比較以上方案，費(fèi)用最省的自然是第5種，三城鎮(zhèn)自然都會(huì)考慮合作建設(shè)。那么，應(yīng)該如何分擔(dān)這筆合作建造費(fèi)用？如果不采用Shapley的方

5、法，人們首先會(huì)想到根據(jù)排放污水量平均分擔(dān)的辦法.于是，城1應(yīng)該分擔(dān)，同樣，城2應(yīng)分擔(dān)，城3應(yīng)分擔(dān)。然而，按照這樣的方案，城1可以節(jié)省23千元。城3可以節(jié)省36千元，城3 卻只能節(jié)省11千元似乎并不盡合理?？紤]到合作建廠的費(fèi)用由建處理廠和鋪設(shè)管道兩部分組成，城3提出另外的方案：建處理廠費(fèi)用應(yīng)按排污量平均分擔(dān)，而2，3段管道費(fèi)用應(yīng)由1，2兩城分擔(dān)，1，2段管道費(fèi)用由城1單獨(dú)承擔(dān).這種方案貌似公平，但仔細(xì)算來(lái)，城3只需承擔(dān)費(fèi)用而城2和城1的費(fèi)用將分別達(dá)到130千元和245千元（計(jì)算略）.城1甚至超過(guò)單獨(dú)建廠的費(fèi)用,這顯然更是不合理的。如果采用Shapley的方法，我們可以把合作方案節(jié)省的投資額看成收

6、益，它將符合特征函數(shù)的要求，因此，可以要Shapley值計(jì)算各方節(jié)省的資金額。更方便地，可以直接用各種合作方案的建造費(fèi)用作為效益函數(shù)計(jì)算 Shapley值，其結(jié)果就是各方應(yīng)承擔(dān)的投資費(fèi)用.用上述數(shù)據(jù)計(jì)算，以第1城為例，可得下表表2-1-6230350490580016026039023019023019012231/31/61/61/3230/3190/6230/6190/3210即得。類(lèi)似地可以計(jì)算得到，.也就是說(shuō)，如果三方合作，則各方投資應(yīng)按上述比例分?jǐn)?這時(shí)，各方按排污量平均每秒噸的投資額分別為42千元、41.67千元、和40.83千元.排放距離即鋪設(shè)管道長(zhǎng)些，承擔(dān)費(fèi)用略大些。各方節(jié)省額

7、的差額比按照排放污水量平均分擔(dān)方案小些，這種分?jǐn)偨Y(jié)果還是更合理些。2-4-1鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸模型1、問(wèn)題的提出 2000年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題鋼管的訂購(gòu)種運(yùn)輸，問(wèn)題是要鋪設(shè)天然氣輸送管道，在若干鋼管生產(chǎn)廠以及不同的運(yùn)輸路徑、方案中，如何進(jìn)行選擇，確定購(gòu)運(yùn)計(jì)劃，才能使總費(fèi)用最小。2模型和構(gòu)建鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸賽題提出的大到上是這樣的問(wèn)題：要鋪設(shè)一條的輸送天然氣的主管道，如圖2-24所示。經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有.圖中粗線表示鐵路，單細(xì)線表示公路，雙細(xì)線表示要鋪設(shè)管道的地方（假設(shè)沿線原有公路或建有施工公路），每段鐵路和公路旁的數(shù)字表示路段長(zhǎng)（單位：km）.為和距離有所區(qū)別，1 k

8、m 長(zhǎng)的鋼管稱(chēng)為1個(gè)單位。鋼廠在指定期限內(nèi)該種鋼管的最大生產(chǎn)能力為單位（如下表）：表2-4-11234567800800100020002000200030001單位鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)如下表：表2-4-2里程（km）300301350351400401450451500運(yùn)價(jià)（萬(wàn)元）2023262932里程（km）5016006017007018008019009011000運(yùn)價(jià)（萬(wàn)元）3744505560注：1000km 以下每增加1100 km，運(yùn)價(jià)增加5運(yùn)價(jià)（萬(wàn)元）。 公路運(yùn)價(jià)不1單位鋼管每千米路程0.1運(yùn)價(jià)（萬(wàn)元）（不足1km部分按1 km計(jì)算）.鋼管可從某幾家鋼廠訂購(gòu)，由鐵路、公路運(yùn)往各鋪

9、設(shè)點(diǎn)（不足是運(yùn)到而是管道的全線）。請(qǐng)制定訂購(gòu)和運(yùn)輸計(jì)劃，我們應(yīng)當(dāng)分成幾個(gè)層面和的子問(wèn)題考慮：首先需要計(jì)算出單位長(zhǎng)度鋼管從各鋼廠S，運(yùn)到需要鋪設(shè)點(diǎn)P，（以1km管道為一個(gè)點(diǎn)，總共有5171個(gè)點(diǎn)）的最小運(yùn)輸費(fèi)用鋼管可以通過(guò)鐵路或公路運(yùn)輸。公路運(yùn)費(fèi)是運(yùn)輸里程的線性函數(shù)（稍有不同的是不足1km要進(jìn)整），但是鐵路運(yùn)價(jià)卻是一種分段的階躍的常數(shù)函數(shù)。因此在計(jì)算時(shí)，不管對(duì)運(yùn)輸里程還是費(fèi)用而言，都不具有可加性。圖論中用以計(jì)算最短路的Dijkstra 算法和Floyd算法等都將失效，只能將鐵路運(yùn)價(jià)（即由運(yùn)輸總里程找出對(duì)應(yīng)費(fèi)率）和公路運(yùn)價(jià)分別計(jì)算后再迭加，好在整個(gè)圖形比較簡(jiǎn)單，鋼廠出來(lái)都是鐵路，鋪設(shè)點(diǎn)沿線都是公路。

10、而且通常情況下平均每千米的鐵路運(yùn)價(jià)要低于公路運(yùn)價(jià)，所以只要在優(yōu)先考慮盡量使用鐵路運(yùn)輸?shù)那疤嵯拢ㄟ^(guò)可能方案的枚舉，就能找到費(fèi)用最小的路徑和費(fèi)用。（根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)，鐵路運(yùn)價(jià)中601km段的運(yùn)價(jià)比分解為300+301段的運(yùn)價(jià)要高，從而帶來(lái)計(jì)算的問(wèn)題。這可能是命題者的疏忽。此外，有個(gè)別點(diǎn)對(duì)在運(yùn)輸方案的枚舉計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)意外，但這不具一般性。）其實(shí)，并不需要逐一求出所有點(diǎn)對(duì)的費(fèi)用。因?yàn)閺牡娇傄?jīng)過(guò)某個(gè)樞紐站。假定位于構(gòu)紐站和之間，那么只要比較從和兩者的大小。也就是說(shuō)，只要先求出的費(fèi)用（），再在段上找出通過(guò)兩側(cè)到達(dá)鋪設(shè)點(diǎn)費(fèi)用相同的平衡點(diǎn)，顯然如果在平衡點(diǎn)的左側(cè)應(yīng)該經(jīng)過(guò)，在平衡點(diǎn)的右側(cè)則應(yīng)該經(jīng)過(guò)到達(dá)。這

11、樣就可以大大減少計(jì)算量。（直接計(jì)算需要算7×5171個(gè)量，而計(jì)算的費(fèi)用則需要7×14個(gè)，平衡點(diǎn)共7×13個(gè)，總共119個(gè)量。每個(gè)點(diǎn)的費(fèi)率再需加一小段公路運(yùn)費(fèi)即可）。根據(jù)題意，公路路段的費(fèi)用，行駛里程不足1km部分按1km計(jì)算。因此，平衡點(diǎn)的小數(shù)部分是不起作用的，不妨均取整數(shù)，根據(jù)鋪設(shè)點(diǎn)在平衡點(diǎn)的哪一側(cè)來(lái)確定費(fèi)率。知道了從鋼廠到鋪設(shè)點(diǎn)的費(fèi)率，就容易得出原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型運(yùn)輸問(wèn)題模型。模型一：線性規(guī)模型用表示鋪設(shè)點(diǎn)的鋼管是否從第家鋼廠購(gòu)運(yùn)而來(lái)。如果是則取1，否則取0。那么，總的運(yùn)輸費(fèi)用便是：根據(jù)鋼廠生產(chǎn)能力有以下不等式：于是，原問(wèn)題就可以表示成：這就是原問(wèn)題的運(yùn)輸問(wèn)題模

12、型。用該模型求解，顯然存在變量過(guò)多（共有7×5171個(gè)）的困難?？紤]到前文所述鋼廠到鋪設(shè)點(diǎn)的運(yùn)輸必定要經(jīng)過(guò)樞紐站，因此可以用下述方式簡(jiǎn)化。模型二：二次規(guī)劃模型用表示從鋼廠運(yùn)到樞紐站、分別表示從樞紐站向右邊（即段）及左邊（即段）的鋼管總量，（這里假設(shè)、都是整數(shù)）。注意到將總量為的鋼管運(yùn)到每單位鋪設(shè)點(diǎn)，其運(yùn)費(fèi)應(yīng)為第一公里、第二公里直到第公里的運(yùn)費(fèi)之和，即為。往左也一樣。又因?yàn)閺臉屑~站運(yùn)往兩邊的量受路段長(zhǎng)度制約，故有綜上所述，原問(wèn)題的模型為：用該模型，變量個(gè)數(shù)從7×5171=36197減少到7×14+2×13=114個(gè)。上述模型，其目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，而約

13、束條件則是線性方程和線性不等式組。這種形式的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題稱(chēng)為二次規(guī)劃。它的一般形式為：對(duì)于二次規(guī)劃的討論，可參閱有關(guān)文獻(xiàn)。3、模型的求解對(duì)于所構(gòu)建的線性規(guī)劃運(yùn)輸問(wèn)題模型，一般數(shù)學(xué)軟件包都有相關(guān)的軟件可以采用。由于約束條件的系數(shù)矩陣的全幺模性，用普通的線性規(guī)劃方法直接可以得到整數(shù)解，不用作特別處理，只是由于變量較多，可能有的計(jì)算機(jī)容納不了。至于模型二的二次規(guī)劃模型，同樣有軟件可以。2-4-12大型超市購(gòu)物者付款排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化模型1問(wèn)題的提出大型超市收銀臺(tái)前排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象始終困擾著購(gòu)物者，而過(guò)多的收銀窗口導(dǎo)致的成本增加又困擾著商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者。前者影響到公司在消費(fèi)者心中的形象，后者影響到商場(chǎng)的經(jīng)營(yíng)效益。窗口

14、開(kāi)得多好還是開(kāi)得少好？采取什么優(yōu)化措施才能兼顧消費(fèi)者滿(mǎn)意與商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者成本最低？2模型的構(gòu)建購(gòu)物者到達(dá)的時(shí)候是隨機(jī)的，購(gòu)物者交費(fèi)的時(shí)刻也是隨機(jī)的。若開(kāi)放的窗口過(guò)少，購(gòu)物者等待時(shí)間會(huì)很長(zhǎng)，很可能會(huì)選擇臨近的商場(chǎng)；若開(kāi)放的窗口過(guò)多，雖然減少了購(gòu)物者的等待時(shí)間，但將導(dǎo)致收銀員空閑，增加商場(chǎng)的經(jīng)營(yíng)成本。顯而易見(jiàn)，商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者解決這一問(wèn)題的基本思路是：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在消費(fèi)者能夠忍受的等待時(shí)間條件下，求解使經(jīng)營(yíng)成本最小的窗口設(shè)置數(shù)目。很多文獻(xiàn)均把購(gòu)物者由于等待所產(chǎn)生的費(fèi)用假設(shè)為一個(gè)已知量，將等待費(fèi)用和服務(wù)成本的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)的控制策略，但在實(shí)際應(yīng)用中購(gòu)物者的等待費(fèi)用往往很難確定。例如，一個(gè)70歲的

15、退休老人與一個(gè)30歲的年輕人同樣等待1個(gè)小時(shí)所產(chǎn)生的損失費(fèi)用顯然是不同的，同一個(gè)人在不同時(shí)間的等待損失費(fèi)用也是不同的。另一方面，由于這類(lèi)企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)激烈，應(yīng)提高服務(wù)質(zhì)量，把令購(gòu)物者滿(mǎn)意放在首位。因此，上述方法在實(shí)際中往往是不可行的。基于此，通過(guò)調(diào)查獲得購(gòu)物者能接受的平均等待時(shí)間，提出了以為約束條件的優(yōu)化模型，在此約束條件下求得使服務(wù)成本最小的收費(fèi)臺(tái)數(shù)。（1）系統(tǒng)描述大型超市購(gòu)物者交費(fèi)排隊(duì)系統(tǒng)是一個(gè)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，有如下特征：（i）購(gòu)物者達(dá)到收費(fèi)系統(tǒng)是相互獨(dú)立的，購(gòu)物者相繼到達(dá)的時(shí)間間隔是隨機(jī)的；（ii）服務(wù)規(guī)則遵從先到先服務(wù)原則，且為等待制，即購(gòu)物者接受服務(wù)需要等待；（iii）購(gòu)物者交費(fèi)時(shí)間是相互獨(dú)

16、立的。系統(tǒng)運(yùn)行較長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到穩(wěn)態(tài)，進(jìn)入系統(tǒng)的購(gòu)物者可隨時(shí)改變其隊(duì)列，假設(shè)購(gòu)物者的到達(dá)服從泊松分布，其交費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，因此這個(gè)收費(fèi)系統(tǒng)是M/M/C/的一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)。變量設(shè)置：為購(gòu)物者平均到達(dá)率，為服務(wù)員的服務(wù)率，為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度，為開(kāi)放臺(tái)收銀機(jī)時(shí)在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)中有個(gè)購(gòu)物者的概率，為時(shí)段使服務(wù)成本最小的收費(fèi)臺(tái)數(shù)，為白天或晚上購(gòu)物者能夠接受的平均等待時(shí)間。當(dāng)?shù)竭_(dá)率為，服務(wù)率為的生滅過(guò)程達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，可得由定義可得，在M/M/C/系統(tǒng)中，對(duì)于時(shí)段，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時(shí)，每個(gè)購(gòu)物者在系統(tǒng)中的等待時(shí)間W的均值為其中本文的模型是，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時(shí)，一個(gè)購(gòu)物者在收費(fèi)系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間不

17、超過(guò)購(gòu)物者能夠接受的平均等待時(shí)間的條件下，求最小的收費(fèi)臺(tái)開(kāi)放數(shù)。設(shè)表示在時(shí)段，當(dāng)收費(fèi)臺(tái)開(kāi)放數(shù)為時(shí)，個(gè)收費(fèi)臺(tái)中正在工作的臺(tái)數(shù)，則的分布為所以，因此，收費(fèi)臺(tái)的有效工作率為（2）實(shí)際數(shù)據(jù)的收集與整理對(duì)成都某大型超市進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：（i）共設(shè)有40臺(tái)收銀機(jī)，這些收銀機(jī)各時(shí)段的開(kāi)放情況見(jiàn)表2-4-18.表2-4-18 各時(shí)段樣本均值 單位:人/小時(shí)時(shí)段/時(shí)9:00-10:0010:00-11:0011:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:00平均到達(dá)率775.6834.6754.3560.8541.9589.3888.8時(shí)段/時(shí)16:0

18、0-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:0022:00-23:00平均到達(dá)率1014958.8756802.7803.5699.4286.2（ii）在收費(fèi)系統(tǒng)現(xiàn)場(chǎng)連續(xù)記錄了150名購(gòu)物者各自進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)刻，利用文獻(xiàn)中定數(shù)檢驗(yàn)法得到一天時(shí)段內(nèi)進(jìn)入收費(fèi)系統(tǒng)的購(gòu)物者流是一個(gè)符合泊松分布的購(gòu)物者流，其平均到達(dá)率記為（數(shù)據(jù)見(jiàn)表2-4-18）。值得注意的是，進(jìn)入收費(fèi)系統(tǒng)的購(gòu)物者流在一個(gè)時(shí)段內(nèi)是一平穩(wěn)泊松流，但在整個(gè)一天內(nèi)卻不是一個(gè)平穩(wěn)泊松流。（iii）利用計(jì)算機(jī)收費(fèi)記錄數(shù)據(jù)，隨機(jī)選取了400名購(gòu)物者交費(fèi)時(shí)所需的時(shí)間數(shù)據(jù)，通過(guò)統(tǒng)

19、計(jì)檢驗(yàn)得到購(gòu)物者交費(fèi)時(shí)所需的時(shí)間，是服從負(fù)指數(shù)分布且其均值為（iv）通過(guò)對(duì)100名隨機(jī)選擇的購(gòu)物者的調(diào)查，獲得了購(gòu)物者在交費(fèi)時(shí)能夠接受的等待時(shí)間數(shù)據(jù)。對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，9：0019：00購(gòu)物者能夠接受的等待時(shí)間均值為小時(shí)，19：0023：00的均值為小時(shí)。這說(shuō)明，晚上購(gòu)物者的時(shí)間沒(méi)白天那么緊迫，所以晚上能夠接受的等待時(shí)間大于白天能夠接受的等待時(shí)間。3模型求解根據(jù)上述模型，借助MATLAB軟件，代入以上的商場(chǎng)數(shù)據(jù)即可研究該排隊(duì)系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。編寫(xiě)含有5個(gè)子程序（關(guān)于和的MATLAB源程序來(lái)實(shí)現(xiàn)如下功能：給定購(gòu)物者在各時(shí)段的平均到達(dá)率、平均服務(wù)率，以及服務(wù)臺(tái)數(shù)起始變化值及終止值（

20、需要注意最小開(kāi)放服務(wù)臺(tái)數(shù)應(yīng)保證系統(tǒng)服務(wù)率，才能使系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡）的情況下，算出各時(shí)段購(gòu)物者等待時(shí)間不超過(guò)的值，再算出值及的值，計(jì)算結(jié)構(gòu)見(jiàn)表2-4-19。時(shí)段/時(shí)優(yōu)化后的收費(fèi)臺(tái)數(shù)實(shí)際開(kāi)放的收費(fèi)臺(tái)數(shù)9:0010:00223021.07610.95810:0011:00233022.67930.98611:0012:00211220.48980.97612:0013:00161215.23910.95213:0014:00151214.72550.98214:0015:00171216.01360.94215:0016:00251224.15380.96616:0017:00281227.5543

21、0.98417:0018:00273026.05430.96518:0019:00213020.54350.97819:0020:00233022.75990.98920:0021:00233022.78560.9921:0022:00201219.00540.9522:0023:00847.77720.972從表2-4-19可見(jiàn)，在時(shí)段9:0011:00及17:0021:00優(yōu)化的臺(tái)數(shù)小于實(shí)際開(kāi)放的的臺(tái)數(shù)，可見(jiàn)這些時(shí)段實(shí)際開(kāi)放的臺(tái)數(shù)過(guò)多，而11:0017:00和21:0023:00期間實(shí)際開(kāi)放的收費(fèi)臺(tái)數(shù)又太少，尤其是22:0023:00時(shí)段，這樣購(gòu)物者等待的時(shí)間將會(huì)超過(guò)他們能接受的等待時(shí)間，

22、從而使得購(gòu)物者不滿(mǎn)意。從表2-4-19還可看到，優(yōu)化后各時(shí)段收費(fèi)系統(tǒng)的有效工作率均在95%以上，說(shuō)明收銀員的工作量比較飽和，避免了由于收銀臺(tái)開(kāi)放數(shù)過(guò)多造成的人員浪費(fèi)。大型超市的排隊(duì)系統(tǒng)還可設(shè)置少許輔助人員，在客流量大時(shí)作收銀員，客流量小時(shí)可將購(gòu)物者準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)但排隊(duì)時(shí)又放棄購(gòu)買(mǎi)的貨物整理放回貨架，這樣既可進(jìn)一步優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng)，也是降低成本的一種途徑。4模型的應(yīng)用本文通過(guò)都市一大型超市的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用上述排隊(duì)模型理論，對(duì)收銀臺(tái)開(kāi)放數(shù)目進(jìn)行優(yōu)化，所得結(jié)果比該商場(chǎng)原開(kāi)放方式更能滿(mǎn)足購(gòu)物者的要求，同時(shí)還節(jié)約了成本。在滿(mǎn)足購(gòu)物者需求的情況下，對(duì)其開(kāi)放的收費(fèi)臺(tái)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)施動(dòng)態(tài)管理，將有效提高工作效率，為企業(yè)

23、節(jié)約成本。在實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，由于工作日、又休日及節(jié)假日客流量會(huì)有較大差異，各企業(yè)可根據(jù)歷史數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行個(gè)別分析，使之更具針對(duì)性，為實(shí)際決策提供依據(jù)。因此本文的研究成果對(duì)于大型商場(chǎng)、醫(yī)院等具有收費(fèi)系統(tǒng)的服務(wù)企業(yè)具有普遍借鑒意義。參考文獻(xiàn)1 鄭歡，古福文，大型超市顧客交費(fèi)排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化分析，管理學(xué)報(bào)，2005，2（2）：171-173。3-4-3風(fēng)險(xiǎn)投資模型1問(wèn)題的提出某投資人考慮一個(gè)兩年投資計(jì)劃。第一年他有3種決策可以選擇：用所有資金購(gòu)買(mǎi)股票，或用一半資金購(gòu)買(mǎi)股票，或用所有資金購(gòu)買(mǎi)債券。如果第一年他選擇用一半資金購(gòu)買(mǎi)股票，第二年他又有兩種決策可以選擇：用剩余的一半資金購(gòu)買(mǎi)股票或者不買(mǎi)，假設(shè)投資人所購(gòu)買(mǎi)

24、的股票均為A公司的股票，那么，投資人應(yīng)當(dāng)如何作出決策，使得收益達(dá)到最大？2模型的構(gòu)建經(jīng)過(guò)分析，投資人發(fā)現(xiàn)不同的投資方案所得到的收益與A公司經(jīng)營(yíng)狀況的好壞有密切關(guān)系，并獲得以下信息，A公司經(jīng)營(yíng)狀況好壞的概率如下：第一年“好”的概率為0.6，“壞”的概率為0.4，在第一年“好”的情況下，第二年“好”的概率為0.7，“壞”的概率為0.3；在第一年“壞”的情況下，第二年“好”的概率為0.4，“壞”的概率為0.6。具體信息如表3-4-4所示。表3-4-4 不同決策方案及A公司不同經(jīng)營(yíng)狀況下的收益決策方案A公司的經(jīng)營(yíng)狀況收益（千元）第一年第二年第一年用全部資金購(gòu)買(mǎi)股票好好800好壞-500壞好600壞壞-

25、700僅第一年用一半資金購(gòu)買(mǎi)股票好好300好壞0壞好100壞壞-100兩年各用一半資金購(gòu)買(mǎi)股票好好600好壞-600好好500好壞-400買(mǎi)債券50這樣，風(fēng)險(xiǎn)投資問(wèn)題可歸結(jié)為一個(gè)多階段決策問(wèn)題。為了比較直觀地反映決策者選擇不同方案，在各種不同情況下的可能收益，可以采用決策樹(shù)來(lái)表示。在決策樹(shù)中，決策點(diǎn)通常用方框表示，用于表示對(duì)不同的決策方案作出選擇。由決策點(diǎn)出發(fā)分別引出若干條直線，表示可供選擇的決策方案。直線的另一端是機(jī)會(huì)點(diǎn)，通常用圓圈表示，在圓圈下面記錄選擇這種決策方案所得到的期望收益，從機(jī)會(huì)點(diǎn)出發(fā)，再分別引出若干條直線，表示可能出現(xiàn)的不同情況。在這些直線上，標(biāo)出出現(xiàn)這些情況的概率。而在直線的

26、另一端，標(biāo)出出現(xiàn)這些情況時(shí)的收益，或者也可以是另一個(gè)決策點(diǎn)，表示下一階段可供選擇的決策方案。上述風(fēng)險(xiǎn)投資問(wèn)題的決策樹(shù)由圖3-7給出。圖3-7 風(fēng)險(xiǎn)投資問(wèn)題的決策樹(shù)3模型的求解和應(yīng)用畫(huà)出決策樹(shù)后，就可以著手計(jì)算不同決策的期望收益。具體計(jì)計(jì)算從右向左進(jìn)行，對(duì)于第一個(gè)方案第二階段的機(jī)會(huì)點(diǎn)，其期望收益為800×0.7+(-500)×0.3=410，將這個(gè)值寫(xiě)在機(jī)會(huì)點(diǎn)的下面。同樣地，第一個(gè)方案第二階段的機(jī)會(huì)點(diǎn)，其期望收益為600×0.4+(-700)×0.6=-180，將這個(gè)值寫(xiě)在機(jī)會(huì)點(diǎn)的下面。這樣，機(jī)會(huì)點(diǎn)的期望收益值為410×0.6+(-180)

27、15;0.4=-174，這就是第一個(gè)方案最終的期望收益。將這個(gè)值寫(xiě)在機(jī)會(huì)點(diǎn)的下同。同理可以計(jì)算出其他機(jī)會(huì)點(diǎn)的期望收益。再來(lái)看決策點(diǎn)的選擇。對(duì)于決策點(diǎn)，有兩種選擇和的期望收益為240。的期望收益為210，因此決策點(diǎn)應(yīng)，期望收益為240。將240寫(xiě)在的下面，表示這個(gè)決策所得到的期望收益。類(lèi)似地，對(duì)于決策點(diǎn)，應(yīng)選擇，期望收益為-20。而對(duì)于決策點(diǎn)，有三種選擇，和，其期望收益分別為174，136，50，故應(yīng)選擇第一種方案，期望收益值為174。實(shí)踐與思考1在閱讀某類(lèi)外文著作時(shí)，如何合理地使用大小兩種字典，以加快閱讀進(jìn)工？試從定量化的角度分析以下3種方式。方式A：總使用大字典查找生字。方式B：先使用小字典

28、查找生字，如查不到，則在大字典中查找。方式C：先對(duì)所要查找的生遼是否在小字典中作出判斷，如判斷為“不是”，則采用方式A，如判斷為“是的”，則采用方式B。為作出此種分析，你當(dāng)然需要對(duì)查找生字的速度、判斷本身的正確程度作出定量化的假設(shè)。4-3-5飛機(jī)起飛的排隊(duì)模型1問(wèn)題的提出機(jī)場(chǎng)通常都采用“先到先服務(wù)”的原則來(lái)分配飛機(jī)跑道，即當(dāng)飛機(jī)準(zhǔn)備好離開(kāi)登機(jī)口時(shí)，駕駛員電告地面控制中心，加入等候跑道的隊(duì)伍?？刂浦行母鶕?jù)電告的先后次序安排各飛機(jī)的起飛時(shí)間。如何利用數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)，綜合考慮骯空公司和乘客的利益，合理安排飛機(jī)的起飛次序，這就是我們要考慮的問(wèn)題。2模型的構(gòu)建假設(shè)共有架飛機(jī)要求起飛，對(duì)所有這些飛機(jī)進(jìn)行編號(hào)，

29、記為控制中心可以從在線數(shù)據(jù)庫(kù)中快速得到每架飛機(jī)的如下信息：（1）預(yù)定離開(kāi)登機(jī)口的時(shí)間；（2）實(shí)際離開(kāi)登機(jī)口的時(shí)間；（3）機(jī)上乘客人數(shù)；（4）預(yù)定在下一站轉(zhuǎn)機(jī)的人數(shù)和轉(zhuǎn)機(jī)的時(shí)間；（5）到達(dá)下一站的預(yù)定時(shí)間。我們先做一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)。（1）設(shè)機(jī)場(chǎng)上所有要起飛的飛機(jī)都使用同一條跑道，并且任何一架飛機(jī)在起飛時(shí)都完全占有整條跑道，每架飛機(jī)占用跑道的時(shí)間是相同的。這樣，我們可以把整個(gè)時(shí)間分割成離散的等長(zhǎng)的小時(shí)間段，記為，在每個(gè)時(shí)間段中可容納一架飛機(jī)完成起飛操作。（2）第架飛機(jī)在第個(gè)時(shí)間段起飛時(shí)，所需費(fèi)用僅與該飛機(jī)和時(shí)間位置有關(guān)，而與前面的飛機(jī)無(wú)關(guān)。（3）高是第架飛機(jī)能夠按時(shí)到達(dá)目的的地所必須起飛的最晚時(shí)

30、限，如果飛機(jī)在時(shí)限以后才起飛，則只能以最大安全速度飛完全全程，且所有需要轉(zhuǎn)機(jī)的乘客都無(wú)法趕上下班飛機(jī)。假設(shè)給每位乘客的賠償費(fèi)是相同的，記為。為了描述飛機(jī)與起飛時(shí)間段的關(guān)系，引入決策變量，表示第架飛機(jī)是否被指定在第個(gè)時(shí)間段起飛：記為第架飛機(jī)在第個(gè)時(shí)間段起飛時(shí)所需要的一切費(fèi)用，從而構(gòu)物費(fèi)用矩陣C：因此，對(duì)某一種飛機(jī)安排，其總費(fèi)用為我們的目標(biāo)就是求，使得總費(fèi)用z達(dá)到最小。顯然每架飛機(jī)都將占用某一個(gè)時(shí)間段，因此而每個(gè)時(shí)間段也恰好能容納一架飛機(jī)起飛，即于是問(wèn)題化為如下的01規(guī)劃模型：求，滿(mǎn)足 （）3費(fèi)用矩陣C的生成上述01規(guī)劃模型中的費(fèi)用系數(shù)通常與飛機(jī)的型號(hào)、運(yùn)行費(fèi)用、運(yùn)輸區(qū)劃客情況及乘客的滿(mǎn)意程度有關(guān)

31、。為簡(jiǎn)化計(jì)算，我們不考慮基本運(yùn)行費(fèi)用，而只考慮由于飛機(jī)延遲起飛而引起的額外費(fèi)用。這一費(fèi)用包括由于晚點(diǎn)而不再以最經(jīng)濟(jì)的速度而是以較快或最快速度飛行帶來(lái)的燃料損失（稱(chēng)為燃料附加費(fèi)），因耽誤乘客轉(zhuǎn)機(jī)而產(chǎn)生的賠償費(fèi)（稱(chēng)為乘客誤機(jī)費(fèi)），以及乘客因飛機(jī)誤點(diǎn)而產(chǎn)生的不愉快情緒轉(zhuǎn)化為航空公司的間接損失（稱(chēng)為乘客的不滿(mǎn)意度）。（1）燃料附加費(fèi)由于晚點(diǎn)，飛機(jī)必須以盡可能快的速度飛行，故燃料的消耗隨晚點(diǎn)的時(shí)間長(zhǎng)短而變化。然而即使晚點(diǎn)，一旦超過(guò)了最大時(shí)限，飛機(jī)也只能以最大的安全速度飛行，此時(shí)燃料的消耗是恒定的。因此可設(shè)第架飛機(jī)的燃料附加費(fèi)為其中為飛機(jī)的晚點(diǎn)時(shí)間，為第架飛機(jī)每晚點(diǎn)單位時(shí)間由加速引起的增加油耗的價(jià)格。（2

32、）乘客誤機(jī)費(fèi)記為第架飛機(jī)上需轉(zhuǎn)機(jī)的人數(shù)，當(dāng)飛機(jī)晚點(diǎn)超過(guò)時(shí)限時(shí)，這些乘客都將趕不上下班飛機(jī)。由假設(shè)（3），航空公司給每位乘客賠償費(fèi)用，故乘客誤機(jī)費(fèi)為其中為Heaviside函數(shù) （）（3）乘客的不滿(mǎn)意度顯然，飛機(jī)晚點(diǎn)時(shí)間越長(zhǎng)，乘客越不滿(mǎn)意。如果僅晚點(diǎn)一兩分鐘，顧客也許不會(huì)太不滿(mǎn)意；而如果晚點(diǎn)時(shí)間延長(zhǎng)，乘客不滿(mǎn)意程度將會(huì)呈非線性地增長(zhǎng)，這里我們用指數(shù)函數(shù)來(lái)描述乘客對(duì)飛機(jī)晚點(diǎn)的不滿(mǎn)意度 （）其中表示第架飛機(jī)上的乘客數(shù)，表示乘客等待時(shí)不滿(mǎn)意程度上升快慢的因子，表示將不滿(mǎn)意度轉(zhuǎn)化為相應(yīng)費(fèi)用的比例系數(shù)。如果飛機(jī)晚點(diǎn)超過(guò)最大時(shí)限，需轉(zhuǎn)機(jī)的乘客將耽誤下班飛機(jī)，這部分乘客會(huì)變得焦躁不安并且非常憤怒，這部分乘客的

33、不滿(mǎn)意度可表示為 （）其中仍表示第架飛機(jī)上要轉(zhuǎn)機(jī)的乘客數(shù)，為由（）式定義的Heaviside函數(shù)，b表示將不滿(mǎn)意度轉(zhuǎn)化為相應(yīng)費(fèi)用的比例系數(shù)。（4）總費(fèi)用系數(shù)綜合以上三個(gè)部分的費(fèi)用，最終得到費(fèi)用系數(shù)其中為飛機(jī)的晚點(diǎn)時(shí)間，它與飛機(jī)及其起飛時(shí)間段有關(guān)。4模型的求解和應(yīng)用0-1規(guī)劃模型（）是一個(gè)指派模型，可以用匈牙利算法進(jìn)行計(jì)算，也可使用數(shù)學(xué)軟件或?qū)ｉT(mén)的優(yōu)化軟件包進(jìn)行計(jì)算，如LINDO。作為一個(gè)例子，假設(shè)早晨6:00，有三架飛機(jī)同時(shí)要求起飛，設(shè)它們的型號(hào)相同，且相同的飛行距離，預(yù)定到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間均為7:20。三架飛機(jī)上的乘客數(shù)分別為350100400，每架飛機(jī)上都有100名乘客要求轉(zhuǎn)機(jī)。設(shè)起飛時(shí)間段的

34、長(zhǎng)度為。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，不妨將參數(shù)和均取為1，由此得到費(fèi)用矩陣于是最優(yōu)解為即三架飛機(jī)按3,1,2的次序起飛，最低費(fèi)用，這與常識(shí)相符，由于其他條伯設(shè)定都一樣，故最優(yōu)的次序是讓乘客多的飛機(jī)先起飛。當(dāng)?shù)谌茱w機(jī)剛起飛，第四架飛機(jī)要求緊急起飛。第四架飛機(jī)已經(jīng)晚點(diǎn)18分鐘，它若想按時(shí)在7:06到達(dá)終點(diǎn)，就必須在1分鐘內(nèi)起飛，其上有200名乘客，150人要求轉(zhuǎn)機(jī)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4-3-3。由表4-3-3可知，最優(yōu)起飛順序?yàn)?,1,2，最低費(fèi)用。這表明晚點(diǎn)時(shí)間很長(zhǎng)的飛機(jī)應(yīng)優(yōu)先起飛，否則航空公司就需要支付高額的誤機(jī)費(fèi)了。表4-3-3 各飛機(jī)的數(shù)據(jù)信息及計(jì)算結(jié)果飛機(jī)乘客數(shù)轉(zhuǎn)機(jī)數(shù)晚點(diǎn)費(fèi)用矩陣C最優(yōu)解13501001m

35、in5.898911.896617.994901021001001min1.69733.42285.1771001421015018min70.2718374.8257379.458100實(shí)踐與思考1已知有6個(gè)人可以做6項(xiàng)工作，每個(gè)人做每項(xiàng)工作的效率如表4-3-4所示，如何安排每個(gè)人的工作，使得總的工作效率最大？表4-3-4 各人做每項(xiàng)工作的效率3510026432541422121233312132423254664-4-7碼頭卸貨效率分析的隨機(jī)模擬模型1問(wèn)題的提出有一個(gè)只有一個(gè)舶位的小型卸貨專(zhuān)用碼頭，船舶運(yùn)送某些特定的貨物（如礦砂，原油等）在此碼頭卸貨。若相鄰兩艘船到達(dá)的時(shí)間間隔在15分鐘

36、分到145分鐘之間變化，每艘船的卸貨時(shí)間由船的大小、類(lèi)型所決定，在45分鐘到90分鐘的范圍內(nèi)變化?，F(xiàn)在需對(duì)該碼頭的卸貨效率進(jìn)行分析，即設(shè)法計(jì)算每艘船在港口停留的平均時(shí)間和最長(zhǎng)時(shí)間；每艘船等待卸貨的時(shí)間；卸貨設(shè)備的閑置時(shí)間的百分比等。2模型的構(gòu)建為簡(jiǎn)單的計(jì)算，假設(shè)前一艘船卸貨結(jié)束后馬上離開(kāi)碼頭，后一艘船立即可以開(kāi)始卸貨。引進(jìn)如下記號(hào)：第艘船的到達(dá)時(shí)間；第1艘船與第艘船到達(dá)之間的時(shí)間間隔；第艘船的卸貨時(shí)間；第艘船的離開(kāi)時(shí)間；第艘船的等待時(shí)間；第艘船的在港口的停留時(shí)間；卸完第1艘船到開(kāi)始卸第艘船之間的設(shè)備閑置時(shí)間；船只最長(zhǎng)等待時(shí)間；船只平均停留時(shí)間；船只最長(zhǎng)停留時(shí)間；船只平均等待時(shí)間；設(shè)備閑置總時(shí)間；設(shè)備閑置百分比。為了分析碼頭的效率，我們考慮共有條船到達(dá)碼頭卸貨的情形，原則上講，越大越好。由于條船到達(dá)碼頭的時(shí)間和卸貨時(shí)間都是不確定的，因此，我們要用隨機(jī)模擬（又稱(chēng)為蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬）的方法來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。首先，我人假設(shè)兩船到達(dá)之間的時(shí)間間隔是一個(gè)隨機(jī)變量，服從15分鐘到145分鐘之間的均勻分布；各船卸貨時(shí)間也是一個(gè)服從45分鐘到90分鐘間均勻分布的隨機(jī)變量。然后我們可以用發(fā)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)的方法，分別產(chǎn)生個(gè)15，145和45，90之間的隨機(jī)數(shù)和模擬艘船兩兩之間到達(dá)的時(shí)間間隔和各艘船的卸貨時(shí)間。設(shè)初始時(shí)刻為0，利用船