線性代數(shù)二次型

1、二次型與對(duì)稱矩陣一、 二次型及其矩陣1 定義：含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：稱為二次型。為便于用矩陣討論二次型，令，則二次型為：令，則，且為對(duì)稱矩陣。由于對(duì)稱矩陣與二次型是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故稱對(duì)稱矩陣為二次型的矩陣，也稱二次型為對(duì)稱矩陣的二次型，也稱為二次型的秩。例1 設(shè) 試求二次型矩陣. 解 , , , , , .于是得 ，例2 已知三階矩陣和向量,其中 , .求二次型的矩陣. 解 由于不是對(duì)稱矩陣,故不是二次型的矩陣.因?yàn)?,故此二次型的矩陣為 .二、線性變換 1 標(biāo)準(zhǔn)形定義：形如的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。顯然：其矩陣為對(duì)角陣。2 線性變換定義： 關(guān)系式稱為由變量到變量的一個(gè)線性變量替換，簡(jiǎn)稱

2、線性變換。 矩陣稱為線性變換的矩陣。 記 ，則線性變換可用矩陣形式表示為：若，稱線性變換為滿秩（線性）變換（或非退化變換），否則，稱為降秩（線性）變換（或退化變換）。，其中，而若線性變換是非退化的，便有：三、矩陣的合同 1定義：設(shè)，為階方陣，如果存在階可逆矩陣，使得，則稱矩陣與合同。 容易知道：二次型的矩陣與經(jīng)過(guò)非退化線性變換得到的矩陣是合同的。 2 合同的性質(zhì) 反身性：任一方陣都與它自己合同 對(duì)稱性：如果方陣與合同，那么也與合同 傳遞性：如果方陣與合同，與合同，那么與合同3 定理：若矩陣與合同，則與等價(jià)，且。 4 定理：任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角陣（是以的個(gè)特征根為對(duì)角元的對(duì)角陣）。

3、即存在可逆矩陣，使得。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、正交變換法 定理：任給二次型，總有正交變換使化為標(biāo)準(zhǔn)形：（其中是對(duì)稱矩陣的特征根）例：求一個(gè)正交變換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型的矩陣為：由，求得的特征根為：，特征根對(duì)應(yīng)的特征向量為：；特征根對(duì)應(yīng)的特征向量為：顯然與都正交，但不正交。 正交化：取，再將單位化，得于是正交線性變換為：使原二次型化為：注意：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形并不唯一，這與施行的正交線性變換有關(guān)。二、配方法對(duì)任意一個(gè)二次型，也可用配方法找到滿秩變換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。1二次型中含有平方項(xiàng)例：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用的變換矩陣。解令，即 令，則，所求的滿秩變換為，即，則原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：2

4、二次型中不含平方項(xiàng)例：用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用的滿秩線性變換。解：令，則原二次型化為：再按前例的方法有：令，則原二次型化為：其中的滿秩變換為兩變換的合成，即：由第一次變換得：由第二次變換得：所以有合成的滿秩變換為：即三、初等變換法 由于任一二次型都可以找到滿秩線性變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，即存在可逆矩陣，使為對(duì)角陣；由于可逆，可以寫成一系列初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣，使。則，所以 表示對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣施行初等列變換，同時(shí)也施行同種的初等行變換，將化為對(duì)角陣，表示單位矩陣在相同的初等列變換下就化為 例：用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出相應(yīng)的滿秩線性變換。 解：二次型的矩陣：， 所以，

5、原二次型化為慣性定理和二次型的正定性一、慣性定理和規(guī)范形在二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，將帶正號(hào)的項(xiàng)與帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)相對(duì)集中，使標(biāo)準(zhǔn)形為如下形式： 再令線性變換：，則原二次型化為： 定義：形如上式的標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范形。定義：稱規(guī)范形中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性指標(biāo)，負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù) 稱為二次型的負(fù)慣性指標(biāo)，是二次型的秩。注：規(guī)范形是由二次型所唯一決定的，與所作的非退化線性變換無(wú)關(guān)。雖然二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，但是其規(guī)范形是唯一的。定理：任一實(shí)二次型都可以經(jīng)過(guò)滿秩變換化為規(guī)范形，且規(guī)范形唯一。因而，對(duì)任一實(shí)對(duì)稱矩陣，都存在滿秩矩陣，使，稱為的（合同）規(guī)范形。定理：實(shí)對(duì)稱矩陣與合同的充分必要條件是與有相同的規(guī)范形，

6、其正慣性指標(biāo)和秩相等。矩陣合同的性質(zhì)(1)任一對(duì)稱矩陣都存在對(duì)角矩陣與它合同;(2)與對(duì)稱矩陣合同的矩陣必定是對(duì)稱矩陣; (3)兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件 有相同的秩,有相同的正慣性指數(shù).二、二次型的正定性1、正(負(fù))定二次型的概念定義：設(shè)實(shí)二次型，若對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)，總有，則稱為正(負(fù))定二次型，并稱對(duì)稱矩陣為正(負(fù))定矩陣，記作。定義：若對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)，總有，則稱實(shí)二次型為半正(負(fù))定二次型，其矩陣為半正(負(fù))定矩陣。2、判定方法定理：若是階實(shí)對(duì)陣矩陣，則下列命題等價(jià)：（1）是正定二次型（或A是正定矩陣）；（2）的個(gè)特征值全為正；（3）的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為正；（4）的正慣性指數(shù)

7、為；（5）與單位矩陣合同（或?yàn)榈囊?guī)范形）; (6) 存在可逆矩陣，使得;(7) 的各階順序主子式均為正，即。定理：若是階實(shí)對(duì)陣矩陣，則下列命題等價(jià)：（1）是負(fù)定二次型（或A是負(fù)定矩陣）；（2）的個(gè)特征值全為負(fù)；（3）的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為負(fù)；（4）的負(fù)慣性指數(shù)為；（5）與負(fù)單位矩陣合同（或?yàn)榈囊?guī)范形）; (6) 存在可逆矩陣，使得;(7) 的各階順序主子式中，奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，偶數(shù)階順序主子式為正，即。 1、判定實(shí)二次型是否正定。解：，因，所以實(shí)二次型是正定的。2、設(shè)二次型，試問(wèn)為何值時(shí)，該二次型是正定的？解：因二次型的矩陣為：，為使所給二次型正定，的各階順序主子式應(yīng)大于零，從而有：，由得：

8、所以當(dāng)時(shí)，所給實(shí)二次型是正定的3、二次型，則的正慣性指數(shù)為？4、三階的實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為,則二次型 的規(guī)范形為 分析 實(shí)對(duì)稱矩陣可經(jīng)過(guò)正交變換化為對(duì)角矩陣,相應(yīng)的二次型就化為標(biāo)準(zhǔn)形.解 由已知條件,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為,故其規(guī)范形為.5、任何一個(gè)階滿秩矩陣必定與階單位矩陣( ). 合同相似等價(jià)以上都不對(duì) 解 任一個(gè)階滿秩矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次的初等變換化為階單位矩陣,故階滿秩矩陣都與階單位矩陣等價(jià). 只有單位矩陣與單位矩陣相似. 只有正定矩陣與單位矩陣合同.6、設(shè),則與（ ）(A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似.解 選(A).為實(shí)對(duì)稱矩陣且的特征值為

9、.7、，則（ ）（A） A與B即合同又相似（B） A與B合同而不相似（C） A與B不合同而相似（D） A與B即不合同也不相似解：（B）B的特征值1，1，0，特征值為，即3，3，0A與B特征值不相同，但正、負(fù)性都一樣。8、，則在實(shí)數(shù)域上與A合同的是（ ）（A） （B） （C） （D）解：（D），特征值為-1，3，特征值為-3，-1，特征值為3，1，特征值為1，3，特征值為3，-19、已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換x=Py可化標(biāo)準(zhǔn)型，則【詳解】二次型所對(duì)應(yīng)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型所對(duì)應(yīng)矩陣為根據(jù)題設(shè)知A，B為相似矩陣，所以A，B的特征值相同，可見(jiàn)A的三個(gè)特征值為6,0,0.而可見(jiàn)故有10、已知二次曲面方程可以經(jīng)過(guò)正交變換 化為橢圓柱面方程,求,的值. 解 二次型的矩陣為 ,原二次型的矩陣為 .由題意,這兩個(gè)矩陣相似.所以有,即,解得;再由,得.11、已知二次型的秩為2.（1）求參數(shù)及