用基本不等式求最值的類型及方法

1、用均值（基本）不等式求最值的類型及方法均值不等式是不等式一章重要內(nèi)容，是求函數(shù)最值的一個(gè)重要工具，也是高考常考的一個(gè)重要知識點(diǎn)。要求能熟練地運(yùn)用均值不等式求解一些函數(shù)的最值問題。一、幾個(gè)重要的均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號成立； ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號成立.注： 注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：。二、函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如圖：(2)函數(shù)性質(zhì)：值域：；單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，.三、用均值不等式求最值的常見類型類型：

2、求幾個(gè)正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號成立，故此函數(shù)最小值是。評析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。類型：求幾個(gè)正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值： 解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號成立，故此函數(shù)最大值是1。，則，欲求y的最大值，可先求的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式中的“=”號成立，故此函數(shù)最大值是。評析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。類型

3、：用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（單調(diào)性法）由函數(shù)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)。證明：任取且，則，則，即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當(dāng)時(shí)， 且單調(diào)遞減，則在上也是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法三：（拆分法），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”號成立，故此函數(shù)最小值是5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實(shí)用得方法。類型：條件最值問題。例4、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。解法二：

4、（消元法）由得，由則。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。評析：此類問題是學(xué)生求解易錯(cuò)得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯(cuò)誤的求解方法： 。原因就是等號成立的條件不一致。類型：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號，故的取值范圍是。又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號，故的取值范圍是。解法二：由，知，則：，由，則：，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號，故的取值范圍是。，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號，故的取值范圍是。評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實(shí)用，易于掌握，解法二要求掌握構(gòu)造的技巧。類型I：利用均值不等式解決

5、問題。例：求曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值。 四、均值不等式易錯(cuò)例析：例1. 求函數(shù)的最值。錯(cuò)解： 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號。所以當(dāng)時(shí)，y的最小值為25，此函數(shù)沒有最大值。分析：上述解題過程中應(yīng)用了均值不等式，卻忽略了應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)的條件，兩個(gè)數(shù)都應(yīng)大于零，因而導(dǎo)致錯(cuò)誤。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋员仨殞Φ恼?fù)加以分類討論。正解：1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號。所以當(dāng)時(shí)， 2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，.例2. 當(dāng)時(shí)，求的最小值。錯(cuò)解：因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，。分析：用均值不等式求“和”或“積”的最值時(shí)，必須分別滿足“積為定值”或“和為定值”，而上述解法中與的積不是定值，導(dǎo)致應(yīng)用錯(cuò)誤。

6、正解：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以當(dāng)時(shí)，。例3. 求的最小值。錯(cuò)解：因?yàn)?，所以分析：忽視了取最小值時(shí)須成立的條件，而此式化解得，無解，所以原函數(shù)取不到最小值。正解：令，則又因?yàn)闀r(shí)，是遞增的。所以當(dāng)，即時(shí)，。例4.已知且，求的最小值.錯(cuò)解： ,的最小值為.分析：解題時(shí)兩次運(yùn)用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩個(gè)式子不能同時(shí)成立，故取不到最小值.正解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立. 的最小值為.綜上所述，應(yīng)用均值不等式求最值要注意： 一要正：各項(xiàng)或各因式必須為正數(shù)；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個(gè)定理，求最值就

7、會出錯(cuò)；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。鞏固練習(xí)：1、已知：且，則的最大值為( )(A) (B) (C) (D)2、若，且恒成立，則a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：；.其中正確的個(gè)數(shù)是( )(A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè)4、設(shè)，則下列不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)5、設(shè)且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)7、若正數(shù)滿足，則的取值范圍是 .8、若,且，則的最小值為 .9、若，則中最大的是 .10、若0