空間直角坐標(biāo)平面和直線

1、第三章 二次曲面1求下列球面的中心和半徑：1）；解：原方程化為：，則球面中心（6,-2,3），半徑R=72）；解：原方程化為：，則球面中心（1,-2,3），半徑R=63）。解：原方程化為：，則球面中心（-4,0,0），半徑R=42求下列圓的中心和半徑：1）解：球面方程為：，則球面心0（6,-2,3），半徑R=5球心O到平面a:2x+y+z+1=0的距離 平面a與球不相交 故只能形成虛圓。2）解：球心O（0，0，0），半徑為R，則：球心O到平面的距離要能形成圓，則球面必須與平面相交，即：設(shè)球O到平面上的垂足為為球面與平面相交所形成的圓的圓心，即平面，又設(shè)：，則：，即：設(shè)圓的半徑為r，則：r=圓的

2、中心，半徑r=3求下列球面的方程：1）過點（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐標(biāo)原點；解：設(shè)球面方程為：，則：所求球面方程為：2）過點（1，2，5），與三個坐標(biāo)平面相切；解：設(shè)球面方程為：，則：所求球面方程為：3）過點（2，-4，3），且包含圓：。解：由題可知球心在z軸，設(shè)球心坐標(biāo)為（0，0，C），則：球的半徑為：R2=C2+5設(shè)球的方程為：，則：4+16+（3-c）2=c2+5 c=4所求球的方程為：4求半徑為、對稱軸為的圓柱面的方程。解：法一：設(shè)點（x, y, z）為圓柱面上任意一點，則該點到對稱軸的距離為：d=2 即：所球圓柱面的方程為：法二：對稱軸方程為 對稱軸過原點

3、（0，0，0）設(shè)為圓柱面上任意一點，再在對稱軸上取一點使得對稱軸，由題意有：對稱軸在對稱軸上消去參數(shù)得圓柱面方程為：5設(shè)圓柱面的對稱軸為直線：，且知點M（1，-2，1）在這個圓柱面上，求這個圓柱面的方程。解：法一：圓柱面的對稱軸：點M到對稱軸的距離為： 設(shè)點（x, y, z）為圓柱面上的任意一點，則：即：所球圓柱面的方程為：法二：設(shè)圓柱面的對稱軸為即M（1，-2，1）到l的距離：，l過點A（0，1，-3）設(shè)點P（x, y, z）為圓柱面上的任意一點，則：為對稱軸上一點，使得：PM0在同一緯圓上，且M0為該緯圓的圓心，依題意有： 在l上消去數(shù)得圓柱方程為：6求頂點為（1，2，3），軸與平面2x+

4、2y-z+1=0垂直、母線和軸夾角為的圓柱面的方程。解：設(shè)頂點A（1，2，3），在圓錐面上任取一點M（x, y, z），則過點A，M的直線l的方向數(shù)為（x-1, y-2, z-3）因軸與平面2x+2y-z+1=0垂直，則軸的方向數(shù)為（2，2，-1），即軸的方向余弦為（），直線l的方向余弦為因直線l與軸的夾角為，則： 整理即得圓錐面方程為：7求頂點為（1，2，4），軸與平面垂直且經(jīng)過點（3，2，1）的圓錐面的方程。解：設(shè)M（1，2，4），P0（3，2，1），=（2，0，-3）軸的方向數(shù)為：（2,2,1)的夾角為：設(shè)點P（x, y, z）是圓錐面上的任意一點，則：以： 即：所求圓錐面的方程為：8給

5、定球面，求1）過點（1，5，2）的切平面的方程；解：球面方程為：平面的法向量為：（2，3，4）所求平面方程為：2）以（2，6，10）為頂點的切錐面的方程。解：球心0（-1，2，-2），半徑R=，切錐面頂點P（2，6，10）軸的方向數(shù)為： 軸與母線夾角的余弦為：設(shè)點M（x, y, z）為切錐面上的點，則：故：所求方程為：9已知圓柱面的三條母線為求這圓柱面的方程。解：法一：由題知圓柱面的軸線的方向數(shù)為（1，1，1）， 設(shè)點A（x1, y1, z1）在軸線上，則： 令x1=1，則：A（1，0，2） 軸線方程為：x-1=y=z-2母線與軸線間的距離為：，設(shè)點P（x, y, z）為圓柱面上的任意一點，則

6、： 即故：所求圓柱面的方程為：法二：因三條母線，分別過定點A1（0，0，0），A2（1，-1，0），A3（1，-1，0），設(shè)過A1，A2，A3后平面則有：則：A=B=C，D=0即平面，則圓柱面的準(zhǔn)線為平面相交所形成的圓，設(shè)圓的方程為：A1（0，0，0），A2（-1，0，1），A3（1，-1，0）在圓上，則有C是任意的 取C=0，則：A=2，B=4，C=0，D=0故準(zhǔn)線方程為：設(shè)M0（x0, y0, z0）是準(zhǔn)線上的任意一點，M（x, y, z）為相應(yīng)母線上一點，則有：消去參數(shù)，得圓柱面方程：10求柱面的方程：1）準(zhǔn)線為： 母線平行于X軸；解：母線的方向數(shù)為（1，0，0）設(shè)P（x, y, z）是

7、柱面上的點，M（x, y, z）是準(zhǔn)線上的點且使MP為一條母線，則：過M的母線方程為： *再設(shè)，則：x1=x-t, y1=y, z1=z代入*得：y2=2z所求柱面的方程為：y2=2z2）準(zhǔn)線為： 母線平行于向量（1，-1，1）。解：設(shè)P（x, y, z）是柱面上的點，M（x1, y1, z1）是準(zhǔn)線上的點且使MP為一條母線，則：過M的母線方程為： *再設(shè)，則：x1=x-t, y1=y+t, z1=z-t代入*得：故：所求柱面方程為：11求頂點（4，0，-3）準(zhǔn)線為 的錐面的方程。解：設(shè)點M（x1, y1, z1）是準(zhǔn)線上的一點，P（4，0，-3）是頂點，則：PM為一條母線： *令，則：代入*

8、得：故：所求錐面方程為：12求旋轉(zhuǎn)面的方程：1）繞旋轉(zhuǎn)；解：軸過點A（0，0，1），設(shè)M0（x0, y0, z0）為直線上一點，M（x, y, z）為旋轉(zhuǎn)面上任意一點，使M0，M在同一緯圓上，則： 軸在直線 消去參數(shù)，得旋轉(zhuǎn)面方程：2）繞旋轉(zhuǎn)；解：軸過點A（0，0，1），設(shè)M0（x0, y0, z0）為上一點，P（x, y, z）為旋轉(zhuǎn)面上任意一點，且M0，P在同一緯圓上，則： 點M0在上，旋轉(zhuǎn)軸由上可得旋轉(zhuǎn)面方程為：3）繞z軸旋轉(zhuǎn)；解：因z軸為旋轉(zhuǎn)軸，則旋轉(zhuǎn)軸過A（0，0，1），設(shè)M0為直線上一點，M（x, y, z）為旋轉(zhuǎn)面上一點，且M，M0在同一緯圓上，有： M0為直線上一點 z=z0由

9、上可得，旋轉(zhuǎn)面方程為：10z2+6z+9=9（x2+y2）4）繞旋轉(zhuǎn)；解：旋轉(zhuǎn)軸過A（0，0，1），設(shè)M0（x0, y0, z0）為上一點，M（x, y, z）為旋轉(zhuǎn)面上一點，且M0，M在同一緯圓上，則有： M0在 上 由以上得旋轉(zhuǎn)面方程：5）圓 繞Z軸；解：設(shè)M0（x0, y0, z0）為圓上一點，M（x, y, z）是旋轉(zhuǎn)面上任意一點，且M0與M共緯圓，則由圓繞z軸旋轉(zhuǎn)有：由上可得旋轉(zhuǎn)面方程：6）空間曲線繞Z軸。解：因z軸為旋轉(zhuǎn)軸，記A（0，0，1）為z軸上一點，設(shè)M0（x0, y0, z0）是曲線上一點，M（x, y, z）為旋轉(zhuǎn)面上的一點，且M，M0在同一緯圓上，則有： 由上得，旋轉(zhuǎn)面

10、方程：13畫出下列曲面的簡圖：1） 2）；3） 4）；5）； 6）7） 8）9） 10）14適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程，并畫圖：1）到兩定點距離之比等于常數(shù)的點的軌跡；解：選取合適的坐標(biāo)條，使兩定點A（a，0，0），B（-a，0，0），則P（x, y, z）為空間內(nèi)一點，則設(shè)即：當(dāng)k=1時，軌跡為平面x=0當(dāng)k1時，軌跡為以點（）為球心，為半徑的球面。2）到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡；解：選取合適的坐標(biāo)條，使兩定點A（a，0，0），B（-a，0，0），則P（x, y, z）為空間內(nèi)一點， 即：軌跡方程為：3）到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡；解：選取合適的坐標(biāo)條，使兩定點A（a，

11、0，0），B（-a，0，0），設(shè)P（x, y, z）為任意一點， 即：當(dāng)k=0時，軌跡方程為：x=0當(dāng)k1時，軌跡方程為： 4）到一定點和一定平面距離之比等于常數(shù)的點的軌跡；解：以定點O為坐標(biāo)原點，建立空間直線坐標(biāo)條，設(shè)定平面為Ax+By+Cz+D=0，設(shè)P（x, y, z）為任意一點，由已知可得：，即：軌跡方程為：5）求與二給定直線等距離的點軌跡的方程，已知二直線之間的距離為a，夾角為a（取公垂線為z軸，中點為原點，X軸與二直線成等角）。解：以兩直線的公垂線為z軸，公垂線中點為原點，x軸與二直線成等角建立坐標(biāo)條設(shè)兩直線分別為l1, l2,l1與z軸交點A（0，0，），l2與z軸交點B（0，0

12、，-），l1, l2,與x軸夾角都為，l1, l2與z軸夾角都為，由方向余弦公式，可知：，則：，因l1與l2異面，則l1與l2的方向余弦不相等，即：l1的方向余弦為（），l2的方向余弦為（）或l1的方向余弦為（），l2的方向余弦為（）則：l1的方程為：，l2的方程為：，設(shè)p（x, y, z）為滿足條件的一點，則有：當(dāng)l1的方向余弦為（），則同理有：綜上：軌跡方程為：15已知橢球面的軸與坐標(biāo)軸重合，且通過橢圓 及點，求這個橢球面的方程。解：由題可設(shè)橢球面的方程為：又過點M（1,2, ），則有： 故：所求橢球圓的方程為：16已知橢圓拋物面的頂點為原點，對稱面為XZ和YZ平面，且過點（）和（），求這

13、個橢圓拋物面的方程。解：由題可設(shè)橢圓拋物面的方程為：，則：所求橢圓拋物面的方程為：17求直線族所成的曲面。解：由得：所求曲面的方程為：18求下列三條直線同時相交的直線所產(chǎn)生的曲面：解：先寫出通過直線l1和l2的兩個平面來的方程：（1） （2）直線l3上的動點坐標(biāo)為：（3）分別將（3）代入（1）得：，代入（2）得： 于是得線來：所求曲面的方程為：19求下列曲線在各坐標(biāo)面上投影的方程，畫出簡圖：1）解：在YOZ平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影：（2，3，0），（2，-3，0）2）解：在YOZ平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影： 3）解：在YOZ

14、平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影：4）解：在YOZ平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影：20用不等式表出下列曲面所圍成的區(qū)域，并作簡圖：1）解：2）解：3）解：第四章 正交變換和仿射變換1求出把點（2，3，0）變成點（0，-1，1）的平移的公式。把曲面和變成什么曲面？解：a1=0-2=-2，a2=-1-3=-4，a3=1-0=1， 設(shè)該平移的a后的點為（x, y, z），則平移前的點為：（x+2, y+4, z-1）把曲面變成曲面把曲面變成曲面2求出繞Y軸左旋的旋轉(zhuǎn)的公式，把曲面和變成什么曲面？解：旋轉(zhuǎn)：把曲面變成曲面：把曲面變成曲面：3求前兩題中變換乘積和的公式。解：的公式：的公式：4設(shè),是三個變換，證明證明：設(shè)點P為任意一點，則： 故：5設(shè),是兩個變換，證明證明：又 6求出把點（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1）分別變成點（0，0，0），（0，0，1），（1，0，0）的旋轉(zhuǎn)。解：由題可設(shè)旋轉(zhuǎn)公式為：將（0，1，0），（0，0，1）代入得：a12=0，a22=0，a32=1，a13=1，a23=0，a33=0而：又：故：旋轉(zhuǎn)公式為：7求出對于平面的反射公式。解：設(shè)點（x, y, z）傳平面反射后的點為（），則：即得：8證明：分別對于兩個平行平面的兩個反射