高等數(shù)學講義一

1、高等數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學基礎(chǔ)課程的學習內(nèi)容微積分學，它是創(chuàng)建于十七世紀的一門數(shù)學學科，創(chuàng)始人是英國數(shù)學家牛頓（Newton）和德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz）。用著名學者的話來形容“微積分、或者數(shù)學分析，是人類思維的偉大成果之一。它處于自然科學與人文科學之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具”?！拔⒎e分的創(chuàng)立，與其說是數(shù)學史上，不如說是人類歷史上的一件大事。時至今日，它對工程技術(shù)的重要性就像望遠鏡之于天文學，顯微鏡之于生物學一樣。第1講 函數(shù)1.2 函數(shù)要知道什么是函數(shù)，需要先了解幾個相關(guān)的概念。一、常量與變量先看幾個例子：圓的面積公式自由活體的下落距離在上述討論的問題中，是常量，是

2、變量。變量可以視為實屬集合（不止一個元素）。二、函數(shù)的定義定義1.1 設(shè)是一個非空數(shù)集。如果有一個對應規(guī)則，使得對每一，都能對應于唯一的一個數(shù)，則此對應規(guī)則稱為定義在集合上的一個函數(shù)，并把數(shù)與對應的數(shù)之間的對應關(guān)系記為并稱為該函數(shù)的自變量，為函數(shù)值或因變量，為定義域。 實數(shù)集合稱為函數(shù)的值域?？纯聪旅鎺讉€例子中哪些是函數(shù)：f是函數(shù)，且，定義域，值域，一般地。f不是函數(shù)。f是函數(shù)，且，定義域，值域。f不是函數(shù)。由函數(shù)定義可以得出，函數(shù)的對應規(guī)則和定義域是確定函數(shù)的兩個要素，用解析法表示的函數(shù)的對應規(guī)則就是由表達式確定的，而定義域就是使表達式有意義的所有軸上的點。例1 求函數(shù)的定義域。解 在實數(shù)范

3、圍內(nèi)要使等式有意義，有即所以函數(shù)的定義域為。例2 求函數(shù)的定義域。解 在實數(shù)范圍內(nèi)要使第一個等式有意義，有即在實數(shù)范圍內(nèi)要使第二個等式有意義，有 或 即 或 所以函數(shù)的定義域為。三、函數(shù)表示法函數(shù)表示法主要有以下三種解析法用數(shù)學式子表示變量之間的對應關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法。例如圖形法在平面直角坐標系中滿足一定條件的曲線圖形，也可以確定一個函數(shù)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為圖形法。例如表示一天內(nèi)溫度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。列表法在實際應用中把一系列自變量值及其相對應的函數(shù)值列成表，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法。如對數(shù)函數(shù)表、三角函數(shù)表等等。四、函數(shù)的幾種屬性單調(diào)性請看下面兩個圖 左邊的圖

4、形表示，函數(shù)值隨自變量的增加而增加，就稱函數(shù)單調(diào)增加，數(shù)學上描述為：如果當任意的且時，恒有則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)上升的或單調(diào)增加的。右邊的圖形表示，函數(shù)值隨自變量的增加而減少，就稱函數(shù)單調(diào)減少，數(shù)學上描述為：如果當任意的且時，恒有則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)下降的或單調(diào)減少的。奇偶性請看下面兩個圖左邊的函數(shù)圖形關(guān)于軸對稱，就稱函數(shù)是偶函數(shù)，數(shù)學上描述為：如果函數(shù)的定義域以原點為對稱，且恒滿足等式，則稱是偶函數(shù)。右邊的函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱，就稱函數(shù)是奇函數(shù)，數(shù)學上描述為：如果函數(shù)的定義域以原點為對稱，且恒滿足等式，則稱是奇函數(shù)。例3 判斷下列函數(shù)的奇偶性：； 解 由絕對值的性質(zhì)，對任意有由此可知是偶函

5、數(shù)。由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對任意有 由此可知是奇函數(shù)。判斷函數(shù)的奇偶性也可以利用以下結(jié)論：偶函數(shù)加減偶函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)加減奇函數(shù)是奇函數(shù)偶函數(shù)乘偶函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)乘奇函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)乘偶函數(shù)是奇函數(shù)例如，是奇函數(shù)，也是奇函數(shù)。1.3 初等函數(shù)要了解初等函數(shù)，首先從以下開始一、基本初等函數(shù)我們將以下幾類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)，它們是常數(shù)函數(shù) 常數(shù)函數(shù)的圖形如下冪函數(shù) 冪函數(shù)的圖形如下指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)的圖形如下對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的圖形如下三角函數(shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù) 余切函數(shù) 正弦、余弦、和正切函數(shù)的圖形分別是反三角函數(shù) 反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù) 反正切函數(shù) 反正弦、反余弦、和反正切函數(shù)

6、的圖形分別是二、函數(shù)的復合運算在介紹函數(shù)的復合運算之前，先介紹函數(shù)的四則運算：設(shè)，是兩個函數(shù)，定義域分別為，如果不是空集，那么在上可以得到以下函數(shù) 這里要注意，最后一個函數(shù)的定義域要在中去掉使的點。除了函數(shù)的四則運算外，再看下面復雜一些的運算，如函數(shù)可以看作由函數(shù)和構(gòu)成的，這種構(gòu)成方式就是一種新的運算。一般地，由兩個函數(shù)和構(gòu)成的對應規(guī)則稱為和這兩個函數(shù)的復合函數(shù)。三、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或復合運算而成，能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。函數(shù)不是初等函數(shù)，這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。第2講 極限與連續(xù)微積分的主要研究對象是函數(shù)，它所使用的一個重要工具就是我們要在下面介紹的極限

7、。極限的嚴格描述奠定了微積分的理論基礎(chǔ)，而微積分學幾乎所有的重要概念都以不同的極限形式來表示。2.2 函數(shù)的極限一、極限的概念首先讓我們看看反正切函數(shù)的圖形當自變量向變化時，函數(shù)值在向靠近。而且向充分接近時，函數(shù)值可以和任意靠近。我們將向充分接近說成趨于，記為。一般地，當自變量趨于時，如果函數(shù)的函數(shù)值和某個常數(shù)任意靠近，我們就稱函數(shù)當趨于時以為極限（或稱當趨于時，的極限是）。記為 或 如我們在開始看到的情形就是類似可以得到，仍以反正切函數(shù)為例，有 再一次觀察反正切函數(shù)的圖形，當自變量向點變化時，函數(shù)值在向靠近。而且向點充分接近時，函數(shù)值可以和任意靠近。我們將向點充分接近說成趨于，記為。一般地，

8、當自變量趨于時，如果函數(shù)的函數(shù)值和某個常數(shù)任意靠近，我們就稱函數(shù)當趨于時以為極限（或稱當趨于時，的極限是）。記為 或 這樣我們就得到 極限的直觀意義可以用下面的圖形說明函數(shù)在一點的極限可能存在，也可能不存在，如函數(shù)當時的極限就不存在，我們也可以從圖形中看出再看下面這個圖形可以看出，這個函數(shù)當時沒有極限，但當從大于的方向趨于時，函數(shù)值與任意接近。一般地，當自變量從大于的方向趨于時，如果函數(shù)的函數(shù)值和某個常數(shù)任意靠近，就稱為在點的右極限，記為類似可以給出在點的左極限，記為。如此一來我們就有了以下結(jié)論存在的充分必要條件是和都存在，且二、極限的運算法則為了方便地計算函數(shù)的極限，我們不加證明地給出極限的

9、運算法則：若，存在，則有為常數(shù) （假定）例1 求。解 觀察發(fā)現(xiàn)本題不能直接應用極限的四則運算法則，但對表達式經(jīng)適當整理后就可以應用極限的四則運算法則， 例2 求。解 觀察發(fā)現(xiàn)本題不能直接應用極限的四則運算法則，但對表達式經(jīng)適當整理后就可以應用極限的四則運算法則， 只有極限的四則運算法則對解決的計算還是不夠的，接下來我們大家介紹兩個重要的極限。2.3 兩個重要極限我們先給出兩個重要的極限公式之所以說這是兩個重要極限，一方面因為它們出自于兩個極限存在定理，另外在后面求基本初等函數(shù)的導數(shù)時需要用到。在這里我們只給出第一個極限的證明，為此先不加證明地給出一個極限存在定理夾逼定理 設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)（可不包

10、含點）有且，則存在且下面就來證明第一個重要極限，先看一下下面這張圖圖中的圓周是單位圓周，圓心角的弧度是，則有 線段的長度為 弧的長度為 線段的長度為當時，有從而有從而有當時，由夾逼定理得由于都是奇函數(shù)，因此當時，有即從而有從而有當時，由夾逼定理得最后得到例3 求。解 本題不能直接應用第一個重要極限公式，需要作適當變換。注意到趨于0時，也趨于0，有例4 求。解 本題不能直接應用第一個重要極限公式，需要作適當變換。注意到趨于3時，趨于0，有 2.4 無窮小量與無窮大量定義2.5 極限為零的量稱為無窮小量。定理2.1 的充分必要條件是其中是無窮小量。利用極限的運算法則很容易得到無窮小量的如下性質(zhì)有限

11、個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。有限個無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量。任意常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。例5 求。解 前面我們已經(jīng)知道，當時極限不存在，但它是有界變量，而是無窮小量。由無窮小量的性質(zhì)3知是無窮小量，即如果都是無窮小量，而仍然是無窮小量，這是稱是關(guān)于的高階無窮小量，記為。如果是無窮小量，那么稱為無窮大量。例如當時就是無窮大量。2.5 函數(shù)的連續(xù)性先看看下面的圖形以上幾個函數(shù)的圖形在點都存在不同形式的“斷裂”，但歸納起來，這些情況屬于要么在的極限不存在，要么在的極限不等于在該點的函數(shù)值。定義2.6 設(shè)函數(shù)在的一個鄰域內(nèi)有定義，且等式成立，則稱在點處連續(xù)，稱為函數(shù)