高三數(shù)學(xué)專題——平面向量與空間向量

1、平面向量與空間向量平面向量及其運算一、知識導(dǎo)學(xué)1.模（長度）：向量的大小，記作|。長度為的向量稱為零向量，長度等于個單位長度的向量，叫做單位向量。2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共線向量。3.相等向量：長度相等且方向相同的向量。4.相反向量：我們把與向量長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。記作-。5.向量的加法：求兩個向量和的運算。已知，。在平面內(nèi)任取一點，作=，=，則向量叫做與的和。記作+。6. 向量的減法：求兩個向量差的運算。已知，。在平面內(nèi)任取一點O，作=，=，則向量叫做與的差。記作-。7.實數(shù)與向量的積：（1）定義： 實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，并規(guī)定

2、： 的長度|=|·|； 當(dāng)0時，的方向與的方向相同； 當(dāng)0時，的方向與的方向相反； 當(dāng)0時，= （2）實數(shù)與向量的積的運算律：設(shè)、為實數(shù)，則 ()=() (+) =+ (+)=+8.向量共線的充分條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得。另外，設(shè)=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，則/x1y2x2y1=09.平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1、2使12 ，其中不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。10.定比分點設(shè)P1，P2是直線l上的兩點，點P是不同于P1，P2的任意一點則存在一個

3、實數(shù),使=，叫做分有向線段所成的比。若點P1、P、P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)，則有 特別當(dāng)=1，即當(dāng)點P是線段P1P2的中點時，有11.平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量|cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作·，即·|cos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0。(2)幾何意義：數(shù)量積·等于的長度|與在的方向上的投影|cos的乘積。(3)性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則··|cos，·0 當(dāng)與同向時，·| 當(dāng)與反向時，·|

4、特別地，·|2或| cos |·|(4)運算律： ·· (交換律) ()·(·)·() ()···（5）平面向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件：設(shè)=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，則 ·=|·|cos90°=0x1x2+y1y2=012.平移公式：設(shè)P（x，y）是圖形F上的任意一點，它在平移后圖形F/上對應(yīng)點為P/（x/，y/），且設(shè)的坐標(biāo)為（h，k），則由，得：（x/，y/）（x，y）+（h，k）二、疑難知識導(dǎo)析1向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是

5、既有大小，又有方向的量向量的模是正數(shù)或0，是可以進行大小比較的，由于方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的兩個向量的模相等，方向相同，我們稱這兩個向量相等，兩個零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；2在運用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時要注意起點和終點；3對于坐標(biāo)形式給出的兩個向量，在運用平行與垂直的充要條件時，一定要區(qū)分好兩個公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時對比記憶；4定比分點公式中則要記清哪個點是分點；還有就是此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是分開計算的；5平移公式中首先要知道這個公式是點的平移公式，故在使用的過程中須將起始點的坐標(biāo)給出，同時注意順序。三、經(jīng)

6、典例題導(dǎo)講例1 和= (3,4)平行的單位向量是_；錯解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量就是，即 (，)錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量是，即(，)或(，)點評：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和= (3,4)垂直的單位向量”，結(jié)果也應(yīng)該是兩個。例2已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點D的坐標(biāo)。錯解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），則有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐標(biāo)為（-2，3）。錯因：思維定勢。習(xí)慣上，我們認(rèn)為平行

7、四邊形的四個頂點是按照ABCD的順序。其實，在這個題目中，根本就沒有指出四邊形ABCD。因此，還需要分類討論。正解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y）當(dāng)四邊形為平行四邊形ABCD時，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐標(biāo)為（-2，3）；當(dāng)四邊形為平行四邊形ADBC時，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐標(biāo)為（6，-1）；當(dāng)四邊形為平行四邊形ABDC時，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐標(biāo)為（0，5）。故第四個頂點D的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。例3已知P1(3,2)，P2

8、（8，3），若點P在直線P1P2上，且滿足|P1P|=2|PP2|，求點P的坐標(biāo)。錯解：由|P1P|=2|PP2|得，點P 分P1P2所成的比為2，代入定比分點坐標(biāo)公式得P（）錯因：對于|P1P|=2|PP2|這個等式，它所包含的不僅是點P為 P1，P2 的內(nèi)分點這一種情況，還有點P是 P1，P2的外分點。故須分情況討論。正解：當(dāng)點P為 P1，P2 的內(nèi)分點時，P 分P1P2所成的比為2，此時解得P（）； 當(dāng)點P為 P1，P2 的外分點時，P 分P1P2所成的比為-2，此時解得P（13，4）。 則所求點P的坐標(biāo)為（）或（13，4）。點評：在運用定比分點坐標(biāo)公式時，要審清題意，注意內(nèi)外分點的情況

9、。也就是分類討論的數(shù)學(xué)思想。例4 設(shè)向量 ，則“”是“”的  A.充分不必要條件                 B.必要不充分條件  C.充要條件                       D.既

10、不充分也不必要條件分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和充要條件的意義進行演算即可解：若，則，代入坐標(biāo)得：，即且 消去，得；反之，若，則且，即  則，  故“”是“ ”的充要條件答案：C點評：本題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示例5已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求實數(shù)x、y，使=x +y 分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可解：由題意有     x +y =x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）     又 =（3，5）   &#

11、160; x-y=3且-x+3y=5     解之得 x=7 且y=4點評：在向量的坐標(biāo)運算中經(jīng)常要用到解方程的方法例6已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求點C、D和向量的坐標(biāo)分析：待定系數(shù)法設(shè)定點C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)向量 ， 和 關(guān)系進行坐標(biāo)運算，用方程思想解之 解：設(shè)C、D的坐標(biāo)為、，由題意得 =（），=（3，6）， =（），=（-3，-6）  又= ，= -  （）=（3，6）， （）=-（-3，-6）  即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)  且，且

12、0; 且 ，且   點C、D和向量 的坐標(biāo)分別為（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小結(jié)：本題涉及到方程思想，對運算能力要求較高四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1. ，則有（ ） A. B. C. D. 2.（2006年高考浙江卷）設(shè)向量滿足,則 (A)1 (B)2 (C)4 (D)53. 將函數(shù)y= 4x8的圖象L按向量平移到L/，L/的函數(shù)表達式為y= 4x，則向量= 4. 從點沿向量方向取線段AB，使，則B點坐標(biāo)為 5. 、是單位向量，的夾角為，以、為鄰邊作平行四邊形。求平行四邊形對角線的長。6.（2006年高考遼寧卷）已知的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量,若,則角的大小為(A) (B)

13、(C) (D) 平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應(yīng)用一、知識導(dǎo)學(xué)1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍,即2.正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑，即 二、疑難知識導(dǎo)析 1初中學(xué)過的勾股定理只是余弦定理的一種特殊情況。如當(dāng)=時，=0，此時有； 2由于本節(jié)內(nèi)容與代數(shù)、幾何聯(lián)系比較緊，故讀者需對解斜三角形、解析幾何中的圓錐曲線等知識非常熟悉方可。三 經(jīng)典例題導(dǎo)講例1在ABC中，已知a2b2bcc2，則角A為()A BCD或錯解：選A錯因：公式記不牢，誤將余弦定理中的“減”記作“加”。正解：a2b2bcc2b2

14、c22bc()b2c22bc·cos A 選C.例2在ABC中，已知，試判別其形狀。錯解：等腰三角形。錯因：忽視了兩角互補，正弦值也相等的情形。直接由得，即，則。接著下結(jié)論，所求三角形為等腰三角形正解：由得，即 則或，故三角形為直角三角形或等腰三角形。例3在中，試求周長的最大值。并判斷此時三角形的形狀。錯解：由于題目中出現(xiàn)了角和對邊，故使用余弦定理，進一步想使用不等式或二次函數(shù)求最值錯因：其實這種思路從表面上看是可行的，實際上處理過程中回遇到無法進行下去的困難。正解：由正弦定理,得a=2()sinA, b=2()sinB. a+b=2()(sinA+sinB)=4()sincos s

15、in=sin75o= a+b=()2 cos()2=8+4. 當(dāng)a=b時,三角形周長最大,最大值為8+4+. 此時三角形為等腰三角形 例4在中，其內(nèi)切圓面積為，求面積。分析：題中涉及到內(nèi)切圓，而內(nèi)切圓直接與正弦定理聯(lián)系起來了，同時正弦定理和余弦定理又由邊聯(lián)系起來了。解：由已知,得內(nèi)切圓半徑為2. 由余弦定理,得三角形三邊分別為16,10,14.例5已知定點A(2,1)與定直線:3x-y+5=0,點B在上移動,點M在線段AB上,且分AB的比為2,求點M的軌跡方程.分析:向量的坐標(biāo)為用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁,形成了代數(shù)與幾何聯(lián)系的新紐帶 .解:設(shè)B(x0,y0),M(x,y)=(x

16、-2,y-1),=(x0-x,y0-y),由題知=2 由于3x0-y0+5=0,3×-+5=0化簡得M的軌跡方程為9x-3y+5=0例6過拋物線:y2=2px(p>0)頂點O作兩條互相垂直的弦OA、OB(如圖),求證:直線AB過一定點,并求出這一定點.分析: 對于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a/bx1y2-x2y1=0.可以用來處理解析幾何中的三點共線與兩直線平行問題.證明:由題意知可設(shè)A點坐標(biāo)為(,t1),B點坐標(biāo)為(,t2) =(,t1), =(,t2),OAOB,=0+t1t2=0 t1t2=-4p2 設(shè)直線AB過點M(a,b),則=(a-,b-t2),

17、=(-,t1-t2),由于向量與是共線向量,（a-）(t1-t2)= (b-t2)(-) 化簡得2p(a-2p)=b(t1+t2) 顯然當(dāng)a=2p,b=0時等式對任意的成立直線AB過定點,且定點坐標(biāo)為M(2p,0) 四 習(xí)題導(dǎo)練1已知銳角三角形的邊長分別為2，3，x，則第三邊x的取值范圍是（ ）A1x5Bx Cx5 D1x2三頂點，則的面積為_ _。3ABC中，若邊a：b：c：(1)：2，則內(nèi)角A 。4某人在C點測得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到0，測得塔頂A仰角為30°，則塔高。5在ABC中，已知B30°

18、;，b50，c150，解三角形并判斷三角形的形狀。 6在ABC中，已知，判定ABC是什么三角形?？臻g向量及其運算一、知識導(dǎo)學(xué)1 空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點叫原點，向量 都叫坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： 在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫

19、橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運算律：（1）若，則， ，（2）若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)4 模長公式：若， 則5夾角公式：6兩點間的距離公式：若，則二、疑難知識導(dǎo)學(xué)1、對于這部分的一些知識點，讀者可以對照平面向量的知識，看哪些知識可以直接推廣，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于記憶；2、空間向量作為新加入的內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)難點在于掌握應(yīng)用空間向量的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉(zhuǎn)化的思想方法如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角求距離問

20、題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關(guān)鍵3、向量運算的主要應(yīng)用在于如下幾個方面：(1)判斷空間兩條直線平行(共線)或垂直；(2)求空間兩點間的距離；(3)求兩條異面直線所成的角. 4、本節(jié)內(nèi)容對于立體幾何的應(yīng)用，讀者需自行復(fù)習(xí)，這里不再贅述。三、例題導(dǎo)講例1下列所表示的空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中，不正確的是（）ABCD錯解：B、C、D中任選一個錯因：對于空間直角坐標(biāo)系的表示不清楚。有共同的原點，且兩兩垂直的三條數(shù)軸，只要符合右手系的規(guī)定，就可以作為空間直角坐標(biāo)系正解：易知(C)不符合右手系的規(guī)定，應(yīng)選(C)例2已知點A(3，1，1)，點B(2，2，3)，在Ox、Oy、Oz軸上分別取點L、M、N，使它們與A、B兩點等距離錯因：對于坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征不明；使用方程解題的思想意識不夠。分析：設(shè)Ox軸上的點L的坐標(biāo)為(x，0，0)，由題意可得關(guān)于x的一元方程，從而解得x的值類似可求得點M、N的坐標(biāo)解：設(shè)L、M、N的坐標(biāo)分別為(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)由題意，得(x3)211(x2)249， 9(y1)214(y2)29，91(z1)244(z3)2分別解得，故評注：空間兩點的距離公式是平面內(nèi)兩點的距離公式的推廣：若點P、Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1，z