高中數(shù)學典型例題解析導數(shù)及其應用學案

1、第十章 導數(shù)及其應用§10.1導數(shù)及其運算一、知識導學1.瞬時變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應地改變，如果當趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個常數(shù)c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點的瞬時變化率。2.導數(shù)：當趨近于零時，趨近于常數(shù)c。可用符號“”記作：當時，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱作在處的導數(shù)，并記作。3.導函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點都是可導的，則稱在區(qū)間可導。這樣，對開區(qū)間內(nèi)每個值，都對應一個確定的導數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱

2、為函數(shù)的導函數(shù)。記為或（或）。4.導數(shù)的四則運算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導法則：設(shè)，是可導的，則即，兩個函數(shù)的和（或差）的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和（或差）。2）函數(shù)積的求導法則：設(shè)，是可導的，則即，兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)。3）函數(shù)的商的求導法則：設(shè)，是可導的，則5.復合函數(shù)的導數(shù):設(shè)函數(shù)在點處有導數(shù),函數(shù)在點的對應點處有導數(shù),則復合函數(shù)在點處有導數(shù),且.6.幾種常見函數(shù)的導數(shù)： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 二、疑難知識導析 1.導數(shù)的實質(zhì)是函數(shù)值相對于自變量的變化率2.運用復合函數(shù)的求導法則,應注意

3、以下幾點（1）利用復合函數(shù)求導法則求導后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導.(2) 要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量求導，不能混淆，一直計算到最后，常出現(xiàn)如下錯誤，如實際上應是。(3) 求復合函數(shù)的導數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復合關(guān)系，選好中間變量，如選成，計算起來就復雜了。3.導數(shù)的幾何意義與物理意義導數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導數(shù)的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度。對導數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導數(shù)定義的認識，應給予足夠的重視。4. 表示處的導數(shù)，即是函數(shù)在某一點的導數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，此時是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點的導數(shù)。5.導

4、數(shù)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導，則此函數(shù)在點處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點處連續(xù)，未必在點可導，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導數(shù)求曲線的切線方程由于函數(shù)在處的導數(shù)，表示曲線在點處切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù)在點處的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率。（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點的切線平行于軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.三、經(jīng)典例題導講例1已知,則 . 例2已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導？例3求在點和處的切線方程。 例4求證：函數(shù)圖象上的各點處切線的

5、斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程. 例5已知，函數(shù)，設(shè)，記曲線在點處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設(shè) 與 軸交點為，求證： ；若，則 例6求拋物線 上的點到直線的最短距離. 四、典型習題導練1.函數(shù)在處不可導，則過點處，曲線的切線 （ ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結(jié)論2.在點x=3處的導數(shù)是_.3.已知，若，則的值為_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點，則與直線平行的曲線的切線方程是 _. 5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標與切線方程.6若過兩拋物線和的一個交點為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點，并求出定點的坐標.&#

6、167;10.2導數(shù)的應用一、 知識導學1.可導函數(shù)的極值（1）極值的概念設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有（或），則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲担Q為極大（?。┲迭c.（2）求可導函數(shù)極值的步驟:求導數(shù)。求方程的根.求方程的根.檢驗在方程的根的左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.2.函數(shù)的最大值和最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進行.求在內(nèi)的極值.將在各極值點的極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.（2

7、）若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.二、疑難知識導析1.在求可導函數(shù)的極值時，應注意：（以下將導函數(shù)取值為0的點稱為函數(shù)的駐點可導函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函數(shù)。例如函數(shù)在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù)的導數(shù)，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數(shù)可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的

8、最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導（其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應該有最大（?。┲担ㄈ绻x域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數(shù)求導，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。知道這一點是非常重要的，因為它在應用上較為簡便，省去了討論駐點是否為極值點，求函數(shù)在端點處的值，以及同函數(shù)在極值點處的值進行比較等步驟.2.極大（?。┲蹬c最大（?。┲档膮^(qū)別與聯(lián)

9、系極值是局部性概念，最大（?。┲悼梢钥醋髡w性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（小）值不一定是最大（?。┲担畲螅ㄐ。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（?。┲担绻B續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.三、經(jīng)典例題導講例1已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程. 例2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍. 例3當 ，證明不等式. 例4設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應選在何處,才能

10、使原料供應站C運貨到工廠A所需運費最省? 例5函數(shù)，其中是的導函數(shù).（1）對滿足11的一切的值，都有0，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線3只有一個公共點.例6若電燈B可在桌面上一點O的垂線上移動，桌面上有與點O距離為的另一點A，問電燈與點0的距離怎樣，可使點A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）四、典型習題導練1已知函數(shù)，若是的一個極值點，則值為 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函數(shù)在處有極值為10，則= .3給出下列三對函數(shù)：， ，；其中有且只有一對函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個函數(shù)的導函數(shù)分別是 ， .

11、4已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.5已知拋物線，過其上一點引拋物線的切線，使與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.6設(shè)在上的最大值為，（1）求的表達式；（2）求的最大值.§10.3定積分與微積分基本定理一、知識導學1可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點可微，（1）中的稱為函數(shù)在點的微分，記作或.函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在可導，這時（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.2微積分基本定理：如果，且在上可積.則.其中叫做的一個原函數(shù).由于，也是的原函數(shù)，其中為

12、常數(shù).二、疑難知識導析1 .定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個步驟，這里包含著很重要的數(shù)學思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應用.1）一般情況下，對于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長度才能都趨近于0，但有的時候為了解題的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對每個小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點或是右端點.3）求極限的時候，不是，而是.2在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個就可以了，一般情況下選那個不帶常數(shù)的。因為.3利用定積分來求面

13、積時，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.三 、經(jīng)典例題導講例1求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.錯解：分兩部分，在，在，因此所求面積為 2+（-2）=0。分析：面積應為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應該將兩部分直接相加。正解：例2用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數(shù)代入進行運算。解；設(shè)，則= =由微積分基本定理的逆運用可知：上式所以原式成立，即證。注：該式可用來求分布在軸兩側(cè)的圖形的積分。例3根據(jù)等式求常數(shù)的值。1） 2）分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解解：1）2）例4某

14、產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位時的邊際收入（）   求生產(chǎn)了50個單位時的總收入。（）   如果已生產(chǎn)了100個單位時，求再生產(chǎn)100個單位時的總收入。分析：總收入為邊際收入的積分和，求總收入既為求邊際收入在規(guī)定時間內(nèi)的定積分。由收入函數(shù)和邊際收入的關(guān)系可得（1）生產(chǎn)50個單位時的總收入為 = =99875（2）已生產(chǎn)了100個單位時后，再生產(chǎn)100個單位時的總收入為答：生產(chǎn)50個單位時的總收入為99875；生產(chǎn)了100個單位時后，再生產(chǎn)100個單位時的總收入為19850.例5一個帶電量為的電荷放在軸上原點處，形成電場，求單位正電荷在電場力作用下沿軸方向從處移動到處時電場力對它所作的功。分析：變力做功的問題就是定積分問題在物理方面的應用。解：單位正電荷放在電