高中數(shù)學(xué)秒殺型推論

1、高中數(shù)學(xué)秒殺型推論一 函數(shù)1. 抽象函數(shù)的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函數(shù)概念的推廣及其周期：（1）對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a，使得f（a-x）=f（a+x），則稱f（x）為廣義（）型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個相異實數(shù)a，b同時滿足時，f（x）為周期函數(shù)T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），則f（x）是廣義（）型奇函數(shù)，當(dāng)有兩個相

2、異實數(shù)a，b同時滿足時，f（x）為周期函數(shù)T=2|b-a|3.抽象函數(shù)的對稱性 （1）若f（x)滿足f（a+x）+f（b-x）=c 則函數(shù)關(guān)于（，）成中心對稱（充要）（2）若f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）則函數(shù)關(guān)于直線x=成軸對稱（充要）4.洛必達法則，設(shè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)和g(x)二、三角1.三角形恒等式（1）在中， （2） 正切定理&余切定理：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （3） （4） （5）2任意三角形射影定理（又稱第一余弦定理）：在ABC中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3. 任意三角形

3、內(nèi)切圓半徑r=（S為面積），外接圓半徑歐拉不等式：R>2r4梅涅勞斯定理如下圖，E.D.F三點共線的充要條件是 5塞瓦定理 如下圖，AD、BE、CF三線共點的充要條件是 6. 斯特瓦爾特定理：如下圖，設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB²DC+AC²BD-AD²BCBCDCBD7、和差化積公式（只記憶第一條）sin+sin=2sincossin-sin=2cossin cos+cos=2coscos cos-cos=-2sinsin8、積化和差公式sinsin=-coscos=sincos= cossin=9、萬能公式10三角混合不等式：若x

4、（0，),sinxxtanx當(dāng)x0時sinxxtanx11.海倫公式變式如下圖，圖中的圓為大三角形的內(nèi)切圓，大三角形三邊長分別為a.b.c，大三角形面積為12.雙曲函數(shù)定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=，雙曲余弦函數(shù)coshx=易知（1）奇偶性：sinhx為奇函數(shù)，coshx為偶函數(shù)（2）導(dǎo)函數(shù)：（sinhx）=coshx，（coshx）=sinhx（3）兩角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）復(fù)數(shù)域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x）（5）定義域：xR（6）值域：si

5、nhxR，coshx1，+）13.三角形三邊a.b.c成等差數(shù)列，則14.三角形不等式（1）在銳角中，（2）在中，（3）在中，sinA>sinBcos2A>cos2B15ASA的面積公式：三、復(fù)數(shù)1歐拉公式（泰勒級數(shù)推出） cos+isin=ei2棣莫弗定理（歐拉公式推出） （cos+isin）n=cos(n)+isin(n)3.復(fù)數(shù)模不等式（三角不等式） |z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn| 當(dāng)且僅當(dāng)所有復(fù)數(shù)幅角主值相等時等號成立45. 復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四、數(shù)列（所有通過遞推關(guān)系得出通項后都要檢驗首項）1.An

6、+1=kAn+f(n)兩邊同除以kn+1，構(gòu)造數(shù)列，通過累加法得出通項公式2. An+1=kAn+C設(shè)一常數(shù)x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x則（k-1）x=C，求出x=，得到等比數(shù)列,公比為k3不動點法：形如An+1=（d0，當(dāng)d=0時，則是第二種情況），設(shè)函數(shù)f(x)=，x=的根稱為f(x)的不動點，（1）若函數(shù)f（x）有2個不動點， 則數(shù)列是一個等比數(shù)列，An=，An=（2）若函數(shù)f（x）只有一個不動點 則數(shù)列數(shù)一個等差數(shù)列，An=（3）若函數(shù)f（x）沒有不動點，則數(shù)列An是周期數(shù)列，周期自己找4特征方程法：形如An+2=pAn+1+qAn稱為二階遞推數(shù)列

7、，我們可以用它的特征方程x²-px-q=0的根來求它的通項公式（1）若方程有兩根x1，x2，則An=x1n-1+x2n-1 (,可根據(jù)題目確定)（2）若只有一個根x0An=(+n)x0n-1 (,可根據(jù)題目確定)5變系數(shù)一階遞推數(shù)列四、不等式1.權(quán)方和不等式（赫德爾不等式推出）當(dāng)且僅當(dāng)2.黎曼和-定積分不等式級數(shù)與定積分之間的關(guān)系設(shè)可積函數(shù)f(x)當(dāng)f(x)為減時，當(dāng)f(x)為增時，3琴生不等式函數(shù)的平均數(shù)與平均數(shù)的函數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)f(x)為凹函數(shù)，即f（x）>0時當(dāng)f(x)為凸函數(shù)，即f（x）<0時當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=xn時，等號成立4.卡爾松不等式5排序不等式 當(dāng)且時

8、， 其中以上可概括為 順序和亂序和倒序和5切比雪夫總和不等式（排序不等式推出）當(dāng)an與bn逆序時當(dāng)an與bn順序時不等式反向6舒爾不等式（Schur不等式）xt（x-y）（x-z）+yt（y-x）（y-z）+zt（z-x）(z-y)0當(dāng)x=y=z時，等號成立配Schur法（Schur分拆法）三元齊三次對稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是因為f(x,y,z)=a+b+cxyz三元齊四次對稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是因為f(x,y,z)=三元齊五次對稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是因為f(x,y,z)=7常用對數(shù)不等式當(dāng)x-1時，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立8.伯努利不等式當(dāng)x-1

9、，n0時或n為正偶數(shù)，xR時（1+x）n1+nx當(dāng)n=0或1，或x=0時等號成立9uvw法和pqr法（解決三元對稱輪換式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式當(dāng)a.b.c為非負實數(shù)時，用uvw法；當(dāng)a,b,cR時，用pqr法10.SOS法（配方法）不解釋11拉格朗日乘數(shù)法（解決條件極值問題）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L=F（x,y,z）+f(x,y,z)對F（x,y,z）分別關(guān)于x,y,z，求偏導(dǎo)，得到四元方程組，其中對F（x,y,

10、z）關(guān)于求偏導(dǎo)所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程組所得解，即F（x,y,z）的極值點，從而算出極值。由拉格朗日乘數(shù)法可知，所有對稱輪換式的極值在x=y=z時取到12拉格朗日乘數(shù)法推論（拉格朗日乘數(shù)法得到）已知x，y，za,b，對稱輪換式F（x,y,z）的極值在和x=y=z時取到13已知a.b.c為正實數(shù)，且a+b+c=k，求證證明：k=a+b+c=a+整理即得所求不等式14冪平均不等式當(dāng)且僅當(dāng)a1=an時等號成立1516 17.雙絕對值函數(shù)圖像18a.b為正數(shù)當(dāng)mn>0時，當(dāng)mn<0時，五、排列組合1隔板法I把n個元素放到m個集合中，所得集合均非空，則有種x1+x2+xm=n

11、的正整數(shù)解個數(shù)為2.隔板法II把n個元素放到m個集合中，所得集合可為空，則有種x1+x2+xm=n的非負整數(shù)解個數(shù)為（a1x1+a2x2+amxm）n展開式的項數(shù)為3.圓排列從n個元素中抽取m個元素，按照一定的順序排列成一圈，叫做一個圓排列，圓排列的個數(shù)4.重復(fù)組合從n個元素中抽取m個元素，元素可以重復(fù)選取，不管順序，組成一組，叫重復(fù)組合，重復(fù)組合個數(shù)5組合恒等式（只例舉了最簡潔的四個）6.從互不相同的n個非零數(shù)字中任取m個，所得m位數(shù)之和為S，S=，其中為n個非零數(shù)字的算術(shù)平均數(shù)7（ax+by）n展開式中，第k項系數(shù)絕對值最大，則其中 表示高斯函數(shù)，即取整函數(shù)六、解析幾何1圓錐曲線統(tǒng)一極坐標

12、方程2圓錐曲線統(tǒng)一焦點弦長公式3A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），當(dāng)且僅當(dāng)時，三點共線4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四點共圓的充要條件5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三線共點的充要條件=06過（x0，y0）引圓錐曲線F（x,y）的弦，弦中點的軌跡方程為y-y0=F（x,y）（x-x0），當(dāng)（x0，y0）為弦中點時，弦中點軌跡方程為y-y0=F（x0,y0）（x-x0）7.定比分點公式：A（xA，yA），B（xB，yB），AB的+1等分點坐標為（）8.若拋物線y2=2px，AB

13、是拋物線上的動弦，kOAkOB=，則AB恒過定點（）9.拋物線焦點弦性質(zhì)：拋物線焦點弦兩端點A（x1，y1）、B（x2，y2），焦點弦斜率為k，焦點弦長度為L（1）y1y2=-p2x1x2=x1+x2=p+=y1+y2=（2）L=x1+x2+p=（3）k=（4）（5）10圓錐曲線焦點弦性質(zhì)（通性）：焦點弦長為L，（1）已知x1+x2時，橢圓：L=2a-e（x1+x2）雙曲線：L=e-2a拋物線：L=+p（2）已知焦點弦傾斜角時，L=（3）橢圓、拋物線、雙曲線（焦點弦端點在同支）焦點弦的兩個焦半徑倒數(shù)之和為常數(shù)雙曲線（焦點弦端點在異支）焦點弦的兩個焦半徑倒數(shù)之差為常數(shù)（4）圓錐曲線正交焦點弦倒數(shù)

14、之和為常數(shù)（5）圓錐曲線焦點弦AB的中垂線于對稱軸（標準方程中為x軸）于D，（6）圓錐曲線內(nèi)，最長的焦點弦為通徑11.圓錐曲線的焦半徑（通性）（1）極點為焦點，極軸為x軸的圓錐曲線極坐標方程 式中的為極徑，即焦半徑，為極角（2）已知焦半徑端點的橫坐標x時12雙焦點三角形面積：F1.F2為有心圓錐曲線兩焦點P為橢圓上一個點，P為雙曲線上一個點，13.圓錐曲線冪定理：圓錐曲線F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0與一條過M（x0，y0），且傾斜角為的直線L交于P1.P2兩點，則·=14.點P（x0，y0）對圓錐曲線C引兩條切線，連結(jié)切點所得線為切點弦（極線），或點P（x0，y0）

15、為切點，則極線方程或切線方程為（1）若C為橢圓，（2）若C為雙曲線，（3）若C為拋物線，15.已知有心圓錐曲線F（x,y），直線l：f(x,y)，p是l上一點，射線OP交圓錐曲線于點R，又點Q在OB上，且滿足，當(dāng)P在l上移動時，Q的軌跡方程即為F（x,y）=f(x,y)16曲線族F（x,y,t）的包絡(luò)為F（x,y,t）=017. A（x1，y1），B（x2，y2），以AB為直徑的圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=018.關(guān)于雙曲線漸近線：（1）共軛雙曲線：實軸與虛軸對換，有相同漸近線，四焦點共圓，離心率的倒數(shù)平方和為1：（2）焦點到漸近線距離為虛半軸長b（3）若兩漸

16、近線夾角為，則雙曲線離心率e=（4）雙曲線上任意一點到兩漸近線距離之積為常數(shù)（5）過雙曲線上任意一點M作平行于實軸的直線交兩漸近線于P.Q，則19過有心圓錐曲線上一定點P（x0，y0）作傾斜角互補的兩直線與有心圓錐曲線的另兩交點A.B的連線的斜率為定值過無心圓錐曲線上上一定點P（x0，y0）作傾斜角互補的兩直線與無心圓錐曲線的另兩交點A.B的連線的斜率為定值以上情況中，APB的角平分線x=x0平行于y軸，APB的內(nèi)切圓圓心恒過直線x=x0.20.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)：橢圓：由一焦點出發(fā)的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點雙曲線：由一焦點出發(fā)的光線經(jīng)雙曲線反射后的反向延長線必過另一焦點拋物線：平行于對稱軸

17、的光線經(jīng)拋物線反射后必過焦點；過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后必平行于對稱軸21.有心圓錐曲線的兩焦點到任一切線的距離積為定值，且定值為b222.橢圓上動點對直徑端點連線的斜率積=橢圓切線的斜率切點與中心連線的斜率=橢圓弦斜率弦中點與中心連線的斜率=雙曲線上動點對直徑端點連線的斜率積=雙曲線切線的斜率切點與中心連線的斜率=雙曲線弦斜率弦中點與中心連線的斜率=23.拋物線y2=2px內(nèi)接RtOAB（以O(shè)為直角頂點），A（x1，y1）B（x2，y2）（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2（2）AB恒過頂點（2p,0）（3）AB中點軌跡方程y2=p（x-2p）（4）AB邊上高的垂足軌跡方程（x-p）2

18、+y2=p2（5）（SOAB）min=（）min=4p224.對于極坐標方程，從1到2，曲線所圍成的面積S=對于極坐標方程，從1到2，曲線所積出的長度L=25圓錐曲線上一弦AB，其中點M（x0，y0），AB的斜率為（1）對于橢圓，（2）對于雙曲線，（3）對于拋物線，26.圓錐曲線上定點：圓錐曲線上有一定點P（x0，y0），另有一直線L于圓錐曲線交于與P相異兩點A.B.第一組：當(dāng)kPAkPB=（）時1） 對于橢圓，L恒過定點2） 對于雙曲線，L恒過定點3） 對于拋物線，L恒過定點第二組：當(dāng)kPA+kPB=（0）時1） 對于橢圓，L恒過定點2） 對于雙曲線，L恒過定點3） 對于拋物線，L恒過定點七、立體幾何1萬能求積公式：2.設(shè)平面內(nèi)三點A.B.C，（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），則該平面的法向量為3.空間余弦定理：相交平面內(nèi)分別有兩條垂直于相交棱的線段，長度分別為m.n，垂足距離為d，另一端點之間距離為L，則平面所成二面角，滿足4.二面角射影定理：如果平面內(nèi)的一個多邊形面積為S，它在平面內(nèi)的射影面積為S射，與所