第二節(jié)　矩形、菱形、正方形

1、第二節(jié)矩形、菱形、正方形A組根底題組一、選擇題1.(2019重慶A卷)以下命題正確的選項是()A.平行四邊形的對角線互相垂直平分B.矩形的對角線互相垂直平分C.菱形的對角線互相平分且相等D.正方形的對角線互相垂直平分2.(2019甘肅蘭州)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,ADB=30°,AB=4,那么OC=()A.5B.4C.3.5D.33.(2019貴陽)如圖,在菱形ABCD中,E是AC的中點,EFCB,交AB于點F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長為()A.24B.18C.12D.94.(2019天津)如圖,把一張矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊,點B的對應點

2、為B',AB'與DC相交于點E,那么以下結(jié)論一定正確的選項是()A.DAB'=CAB'B.ACD=B'CDC.AD=AED.AE=CE5.(2019河南信陽一模)小明在學習了正方形之后,給同桌小文出了一道題,從以下四個條件:AB=BC;ABC=90°AC=BD;ACBD中選兩個作為補充條件,使ABCD為正方形(如圖),現(xiàn)有以下四種選法,你認為其中錯誤的選項是()A.B.C.D.6.(2019河南開封一模)如圖,矩形ABCD的頂點A,D分別落在x軸、y軸上,OD=2OA=6,ADAB=31,那么點C的坐標是()A.(2,7)B.(3,7)C.(3

3、,8)D.(4,8)7.(2019河南信陽一模)如圖,將矩形MNPQ放置在矩形ABCD中,使點M,N分別在AB,AD邊上滑動,假設MN=6,PN=4,在滑動過程中,點A與點P的距離AP的最大值為()A.4B.213C.7D.8二、填空題8.(2019河南安陽一模)如圖,在菱形ABCD中,BAD=100°,點E為AC上一點,假設CBE=20°,那么AED=°. 9.(2019江蘇南京)如圖,菱形ABCD的面積為120 cm2,正方形AECF的面積為50 cm2,那么菱形的邊長為cm. 10.(2019黑龍江哈爾濱)如圖,在矩形ABCD中,M為BC

4、邊上一點,連接AM,過點D作DEAM,垂足為E,假設DE=DC=1,AE=2EM,那么BM的長為. 11.(2019河南平頂山一模)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,E,H分別為AD,CD的中點,沿BE將ABE折疊,假設點A恰好落在BH上的F處,那么AD=. 12.(2019河南洛陽一模)如圖,在菱形ABCD中,A=60°,AD=3,點P是對角線AC上的一個動點,過點P作EFAC交AD于點E,交AB于點F,將AEF沿EF折疊,點A落在G處,當CGB為等腰三角形時,那么AP的長為. 13.(2019廣東)如圖,正方形ABCD的邊長為1,AC,BD是對角線.

5、將DCB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°得到DGH,HG交AB于點E,連接DE交AC于點F,連接FG,那么以下結(jié)論:四邊形AEGF是菱形;AEDGED;DFG=112.5°BC+FG=1.5.其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號) 三、解答題14.(2019河南許昌一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,連接DE、BF.(1)求證:ADECBF;(2)假設ADB是直角,那么四邊形BEDF是什么特殊四邊形?證明你的結(jié)論.15.(2019河南新鄉(xiāng)一模)如圖,AD是等腰ABC底邊BC上的高,點O是AC中點,延長DO到E,使AEBC,

6、連接AE.(1)求證:四邊形ADCE是矩形;(2)假設AB=17,BC=16,那么四邊形ADCE的面積=; 假設AB=10,那么BC=時,四邊形ADCE是正方形. B組提升題組一、選擇題1.(2019河南中考押題最后三卷第二模擬)如圖,AB=8,點C是線段AB上一動點(不與點A,B重合),以AC為邊作正方形ACMN,以BC為邊作菱形BCDE(正方形ACMN與菱形BCDE在AB的同側(cè)),連接MD.當E=60°時,CDM面積的最大值為()A.8B.6C.42D.42.(2019廣東深圳)如圖,正方形ABCD的邊長是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點O,并分別與邊CD

7、,BC交于點F,E,連接AE,以下結(jié)論:AQDP;OA2=OE·OP;SAOD=S四邊形OECF;當BP=1時,tanOAE=1316,其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4二、填空題3.(2019河南商丘一模)矩形ABCD中,AB=4,AD=6,點E為AD的中點,點P為線段AB上一個動點,連接EP,將APE沿EP折疊得到EPF,連接CE,CF,當ECF為直角三角形時,AP的長為. 4.(2019河南駐馬店中招模擬、林州一模)一個矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標系中,點A(11,0),點B(0,6),點P為BC邊上的動點(點P不與點B,C重合),經(jīng)過點

8、O、P折疊該紙片,得點B'和折痕OP(如圖1),經(jīng)過點P再次折疊紙片,使點C落在直線PB'上,得點C'和折痕PQ(如圖2),當點C'恰好落在OA上時,點P的坐標是. 圖1圖2三、解答題5.(2019河南周口一模)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別是邊BC,AB上的點,且CE=BF.連接DE,過點E作EGDE,且EG=DE,連接FG,FC.(1)請判斷:FG與CE的數(shù)量關系是,位置關系是; (2)如圖2,假設點E,F分別是邊CB,BA延長線上的點,其他條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請判斷并給予證明;(3)如圖3,假設點E,F分別是邊

9、BC,AB延長線上的點,其他條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請直接寫出你的判斷.6.(2019江西)在菱形ABCD中,ABC=60°,點P是射線BD上一動點,以AP為邊向右側(cè)作等邊APE,點E的位置隨著點P的位置變化而變化.(1)如圖1,當點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時,連接CE,BP與CE的數(shù)量關系是,CE與AD的位置關系是; (2)當點E在菱形ABCD外部時,(1)中的結(jié)論是否還成立?假設成立,請予以證明;假設不成立,請說明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理);(3)如圖4,當點P在線段BD的延長線上時,連接BE,假設AB=23,BE=219,求四邊形A

10、DPE的面積.圖4答案精解精析A組根底題組一、選擇題1.D平行四邊形的對角線互相平分,不一定垂直,選項A錯誤;矩形的對角線互相平分且相等,不一定垂直,選項B錯誤;菱形的對角線互相垂直平分,不一定相等,選項C錯誤;正方形的對角線互相垂直平分,選項D正確.應選D.2.B因為四邊形ABCD為矩形,所以AC=BD,OC=12AC.ADB=30°,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=12AC=4,應選B.3.AE是AC的中點,AC=2AE.EFCB,BCEF=ACAE=2,BC=2EF=6,菱形ABCD的周長為6×4=24.應選A.4.D由折疊知,EAC

11、=BAC,ABCD,ECA=BAC,EAC=ECA,AE=CE.應選D.5.B選項A,四邊形ABCD是平行四邊形,當AB=BC時,平行四邊形ABCD是菱形,當ABC=90°時,菱形ABCD是正方形,故此選項正確;選項B,四邊形ABCD是平行四邊形,當ABC=90°時,平行四邊形ABCD是矩形,當AC=BD時,無法得出四邊形ABCD是正方形,故此選項錯誤,符合題意;選項C,四邊形ABCD是平行四邊形,當AB=BC時,平行四邊形ABCD是菱形,當AC=BD時,菱形ABCD是正方形,故此選項正確;選項D,四邊形ABCD是平行四邊形,當ABC=90°時,平行四邊形ABCD

12、是矩形,當ACBD時,矩形ABCD是正方形,故此選項正確.應選B.6.A過C作CEy軸于E,四邊形ABCD是矩形,CD=AB,ADC=90°,ADO+CDE=CDE+DCE=90°,DCE=ADO,CDEDAO,CEOD=DEOA=CDAD,OD=2OA=6,ADAB=31,OA=3,CDAD=13,CE=13OD=2,DE=13OA=1,OE=7,C(2,7),應選A.7.D如下圖,取MN的中點E,在滑動過程中,PAAE+PE,所以當點A、E、P三點共線時,AP最大.在RtPNE中,PN=4,NE=12MN=3,根據(jù)勾股定理得PE=32+42=5,在RtAMN中,AE為斜

13、邊MN上的中線,AE=12MN=3,那么AP的最大值為AE+EP=3+5=8.應選D.二、填空題8.答案70解析四邊形ABCD是菱形,BCD=BAD=100°,ACD=12BCD=50°.由菱形的對稱性得CDE=CBE=20°,AED=ACD+CDE=70°.9.答案13解析連接BE,EF,FD,AC,菱形、正方形均為軸對稱圖形,對角線所在直線是其對稱軸,B,E,F,D在同一條直線上,S正方形AECF=12AC·EF=12AC2=50 cm2,AC=10 cm,S菱形ABCD=12AC·BD=120 cm2,BD=24 cm.設AC,

14、BD的交點為O,由菱形的性質(zhì)可得ACBD,AO=5 cm,OB=12 cm,AB=OA2+OB2=52+122=13 cm.10.答案255解析BAM+EAD=90°,EAD+EDA=90°,BAM=EDA.又B=AED=90°,ADEMAB,AEBM=DEAB,即AEBM=11.AE=BM.由AE=2EM可設EM=x,AE=2x(x>0),那么BM=2x,在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=55(舍負),BM=255.11.答案62解析如圖,連接EH,點E,H分別是AD,CD的中點,AE=ED,CH=DH=12CD=12

15、AB=3.由折疊得AE=FE,FE=DE.在RtEFH和RtEDH中,EH=EH,EF=ED,RtEFHRtEDH(HL),FH=DH=3,BH=BF+HF=AB+DH=6+3=9,在RtBCH中,BC=92-32=62,AD=BC=62.12.答案1或3-32解析在菱形ABCD中,A=60°,AD=3,AC=3,BC=3.當CG=BC=3時,AG=AC-CG=3-3,AP=12AG=3-32.當GC=GB時,cos 30°=12BCGC,易知GC=1,AG=2,AP=12AG=1,故答案為1或3-32.13.答案解析由題意可知DGHDCB,DH=DB,DHG=DBC=45

16、°,DGH=DCB=90°,DG=DC=AD,又DAC=45°,DAC=DHG,AFEG.在RtAED和RtGED中,ED=ED,AD=GD,RtAEDRtGED,ADE=GDE,故正確.在ADF與GDF中,AD=GD,ADF=GDF,FD=FD,ADFGDF,AF=GF,DGF=DAF=45°,又DBA=45°,FGAE,四邊形AEGF是平行四邊形,又AF=GF,平行四邊形AEGF是菱形,故正確.GDF=12ADB=22.5°,DGF=45°,DFG=112.5°,故正確.FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD

17、=2-1,BC+FG=1+2-1=2,故不正確.綜上所述,正確的結(jié)論是.三、解答題14.解析(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,AD=BC,AB=CD,A=C.E、F分別為邊AB、CD的中點,AE=12AB,CF=12CD,AE=CF.在ADE和CBF中,AD=BC,A=C,AE=CF,ADECBF(SAS).(2)四邊形BEDF是菱形.證明如下:易知BE=DF.又ABCD,四邊形BEDF是平行四邊形.連接EF.在ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點,DFAE,DF=AE.四邊形AEFD是平行四邊形,EFAD.ADB是直角,ADBD,EFBD.又四邊形BEDF是平行四邊形,四邊形BE

18、DF是菱形.15.解析(1)證明:點O是AC的中點,AD是等腰ABC底邊BC上的高,DO為ABC的中位線,DOAB,又AEBC,四邊形ABDE為平行四邊形,AE=BD=DC,AEDC,四邊形ADCE是平行四邊形,AD是等腰ABC底邊BC上的高,ADC=90°,四邊形ADCE是矩形.(2)120;102.B組提升題組一、選擇題1.D如圖,過點D作DFCM,交CM的延長線于點F,設AC=x(0<x<8),那么BC=8-x.四邊形BCDE是菱形,E=60°,CD=BC=8-x,DCB=E=60°,四邊形ACMN是正方形,CM=AC=x,ACM=90°

19、;,MCD=90°-60°=30°,在RtCDF中,DF=12CD=12(8-x),SCDM=12CM·DF=12x·12(8-x)=-14(x-4)2+4.-14<0,當x=4時,SCDM有最大值,且最大值為4,應選D.2.C四邊形ABCD是正方形,AD=BC,DAB=ABC=90°.BP=CQ,AP=BQ.在DAP與ABQ中,AD=AB,DAP=ABQ,AP=BQ,DAPABQ.P=Q.Q+QAB=90°,P+QAB=90°,AOP=90°,AQDP.故正確.ADO+P=ADO+DAO=90&#

20、176;,DAO=P.又DOA=AOP=90°,DAOAPO,AOOD=OPOA,AO2=OD·OP.AE>AB,AE>AD,ODOE,OA2OE·OP.故錯誤.在CQF與BPE中,FCQ=EBP,CQ=BP,Q=P,CQFBPE,CF=BE,DF=CE.在ADF與DCE中,AD=CD,ADC=DCE,DF=CE,ADFDCE.SADF-SDFO=SDCE-SDOF,即SAOD=S四邊形OECF.故正確.BP=1,AB=3,AP=4.PD=5.EBPDAP,PBEB=PADA=43,EB=34,QE=134.易知QOEPAD,QOPA=OEAD=QEP

21、D=1345.QO=135,OE=3920.AO=5-QO=125.tanOAE=OEOA=1316.故正確.應選C.二、填空題3.答案1或94解析如下圖,當CFE=90°時,ECF是直角三角形.由折疊可得PFE=A=90°,AE=FE=DE,CFP=180°,即點P、F、C在一條直線上.在RtCDE和RtCFE中,CE=CE,ED=EF,RtCDERtCFE(HL),CF=CD=4.設AP=FP=x,那么BP=4-x,CP=x+4.在RtBCP中,BP2+BC2=PC2,即(4-x)2+62=(x+4)2,解得x=94,即AP=94.如下圖,當CEF=90

22、76;時,ECF是直角三角形.過F作FHAB于H,作FQAD于Q,那么FQE=D=90°.又FEQ+CED=90°,ECD+CED=90°,FEQ=ECD.FEQECD.FQED=QEDC=EFCE,即FQ3=QE4=35,解得FQ=95,QE=125.AQ=HF=35,AH=95.設AP=FP=x,那么HP=95-x,RtPFH中,HP2+HF2=PF2,即95-x2+352=x2,解得x=1,即AP=1.綜上所述,AP的長為1或94.4.答案11+133,6或11-133,6解析把OPB沿OP折疊,使點B落在點B'處,BP=PB',OB=OB&

23、#39;=6,OBC=OB'P=90°.把CPQ沿PQ折疊,使點C落在OA上的點C'處,CP=C'P,CQ=C'Q,PC'Q=C=90°.設BP=B'P=x,那么PC=PC'=11-x,B'C'=11-2x.BCAO,1=POA.1=2,2=C'OP.OC'=PC'=11-x.在RtOB'C'中,OC'2=OB'2+B'C'2,62+(11-2x)2=(11-x)2.解得x=11±133.點P的坐標為11+133,6或11-133,6.三、解答題5.解析(1)FG=CE;FGCE.(2)成立.證明:過點G作GHCB的延長線于點H.EGDE,GEH+DEC=90°.GEH+HGE=90°,DEC=HGE.在HGE與CE