流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

1、 3.1 3.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 3.2 3.2物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 3.3 3.3跡線、流線和染色線，流管跡線、流線和染色線，流管3.43.4流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)和變形流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)和變形 在流體靜力學(xué)中，我們討論了流體處于平衡狀態(tài)在流體靜力學(xué)中，我們討論了流體處于平衡狀態(tài)下的一些力學(xué)規(guī)律，如壓力分布規(guī)律，及流體對(duì)固體下的一些力學(xué)規(guī)律，如壓力分布規(guī)律，及流體對(duì)固體壁的作用力等。但實(shí)際上，流體的靜止總是相對(duì)的，壁的作用力等。但實(shí)際上，流體的靜止總是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)才是絕對(duì)的。流體最基本的特性就是它的運(yùn)動(dòng)才是絕對(duì)的。流體最基本的特性就是它的流動(dòng)性流動(dòng)性，因此，進(jìn)一步研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)

2、律便更為重要。因此，進(jìn)一步研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律便更為重要。 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)主要是研究運(yùn)動(dòng)參數(shù)（速度、加速度流體運(yùn)動(dòng)學(xué)主要是研究運(yùn)動(dòng)參數(shù)（速度、加速度等）隨等）隨空間位置和時(shí)間的變化規(guī)律空間位置和時(shí)間的變化規(guī)律。流場(chǎng)流場(chǎng) 充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間稱為流場(chǎng)充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間稱為流場(chǎng)流體只能在固體壁面所限制的空間內(nèi)外進(jìn)行運(yùn)動(dòng)；流體只能在固體壁面所限制的空間內(nèi)外進(jìn)行運(yùn)動(dòng)； 流場(chǎng)中流體流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的的連續(xù)連續(xù)性決定表征流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和物性性決定表征流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和物性的的參數(shù)（速度、加速度、壓強(qiáng)、密度等）參數(shù)（速度、加速度、壓強(qiáng)、密度等）在流場(chǎng)中也是在流場(chǎng)中也是連續(xù)連續(xù)的。并且隨時(shí)間和空間而變化。的。并且隨時(shí)間和

3、空間而變化。 連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無(wú)數(shù)連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無(wú)數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無(wú)間隙地充滿它所占據(jù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無(wú)間隙地充滿它所占據(jù)的空間。的空間。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法假如你是一名籃球教練，防守中該如何掌控整個(gè)籃球場(chǎng)？假如你是一名籃球教練，防守中該如何掌控整個(gè)籃球場(chǎng)？二二. . 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法用五名己方球員分用五名己方球員分別對(duì)對(duì)方球員進(jìn)行一對(duì)別對(duì)對(duì)方球員進(jìn)行一對(duì)一的跟蹤防守。一的跟蹤防守。用己方五名球員用己方五名球員對(duì)防守半場(chǎng)進(jìn)行分區(qū)對(duì)防守半場(chǎng)進(jìn)行分區(qū)監(jiān)管，一人負(fù)責(zé)一片監(jiān)管

4、，一人負(fù)責(zé)一片區(qū)域的防守。區(qū)域的防守。？請(qǐng)問(wèn)如何獲取某對(duì)方球員的行蹤？請(qǐng)問(wèn)如何獲取某對(duì)方球員的行蹤？著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程著眼于空間點(diǎn)，研究著眼于空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性 根據(jù)著眼點(diǎn)的不同，流體力學(xué)中研究流體的運(yùn)動(dòng)也有兩種根據(jù)著眼點(diǎn)的不同，流體力學(xué)中研究流體的運(yùn)動(dòng)也有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（不同的方法，一種是拉格朗日（LagrangeLagrange）方法，另一種是歐）方法，另一種是歐拉（拉（EulerEuler）方法。）方法。拉格朗日法拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點(diǎn)著眼于流體質(zhì)點(diǎn)跟蹤個(gè)別跟

5、蹤個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn) 研究其位研究其位移、速度、移、速度、加速度等隨加速度等隨 時(shí)間的變時(shí)間的變 化情況化情況綜合流場(chǎng)中綜合流場(chǎng)中所有流體質(zhì)所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)分布流場(chǎng)分布又稱隨體法又稱隨體法跟蹤個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)跟蹤個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)(a,b,c)質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從(a,b,c)(a,b,c)運(yùn)動(dòng)到（運(yùn)動(dòng)到（x,y,zx,y,z）t t0 0 時(shí)刻時(shí)刻: :t t時(shí)刻時(shí)刻: :),(),(),(321tcbafztcbafytcbafx流 場(chǎng) 中 全 部流 場(chǎng) 中 全 部質(zhì) 點(diǎn) 都 包 含質(zhì) 點(diǎn) 都 包 含在（在（a,b,ca,b,c）的變數(shù)中的變數(shù)中(a,b,c)是拉格朗日變數(shù)，即

6、是拉格朗日變數(shù)，即t=t0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用來(lái)對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)簽。來(lái)對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)簽。當(dāng)（當(dāng)（a,b,ca,b,c）變化時(shí)，這就表示）變化時(shí)，這就表示全部質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的位置變動(dòng)函全部質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的位置變動(dòng)函數(shù)。當(dāng)數(shù)。當(dāng)t t變化時(shí)，便是質(zhì)點(diǎn)變化時(shí)，便是質(zhì)點(diǎn)（a,b,ca,b,c）運(yùn)動(dòng)軌道的參數(shù)方程）運(yùn)動(dòng)軌道的參數(shù)方程 ),(),(),(321tcbafztcbafytcbafx自變量（自變量（a,b,c,ta,b,c,t）稱為拉格朗日變數(shù)稱為拉格朗日變數(shù)流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其它運(yùn)動(dòng)要素流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其它運(yùn)動(dòng)要素和物理

7、量的時(shí)間歷程也可用拉格朗和物理量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：日法描述，如速度、密度等：注意：注意： 在在使用拉格朗日法使用拉格朗日法時(shí)必須找到時(shí)必須找到 x(a,b,c,t); x(a,b,c,t); y(a,b,c,t); z(a,b,c,t)y(a,b,c,t); z(a,b,c,t)等的函數(shù)形式，即等的函數(shù)形式，即跟蹤每一跟蹤每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行研究個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行研究。由于流體具有易流動(dòng)性，對(duì)每一個(gè)。由于流體具有易流動(dòng)性，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行跟蹤是十分困難的。因此，除了在一些特殊質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行跟蹤是十分困難的。因此，除了在一些特殊情況（情況（波浪運(yùn)動(dòng)。水滴等的運(yùn)動(dòng)時(shí)波浪運(yùn)動(dòng)。水滴等的運(yùn)動(dòng)

8、時(shí)），很少采用拉格），很少采用拉格朗日法。朗日法。拉格朗日法的缺陷拉格朗日法的缺陷歐拉法歐拉法著眼于研究空間著眼于研究空間固定點(diǎn)的情況固定點(diǎn)的情況選定某一空選定某一空間固定點(diǎn)間固定點(diǎn) 記錄其位記錄其位移、速度、移、速度、加速度等隨加速度等隨 時(shí)間的變時(shí)間的變 化情況化情況綜合流場(chǎng)中綜合流場(chǎng)中許多空間點(diǎn)許多空間點(diǎn)隨時(shí)間的變隨時(shí)間的變化情況化情況通過(guò)描述物理通過(guò)描述物理量在空間的分量在空間的分布來(lái)研究流體布來(lái)研究流體運(yùn)動(dòng)的方法。運(yùn)動(dòng)的方法。 流場(chǎng)分布流場(chǎng)分布分析流動(dòng)空間某固定分析流動(dòng)空間某固定位置處，流體運(yùn)動(dòng)要素位置處，流體運(yùn)動(dòng)要素（速度、加速度）隨時(shí)（速度、加速度）隨時(shí)間變化規(guī)律間變化規(guī)律分析流

9、體質(zhì)點(diǎn)從某一空間分析流體質(zhì)點(diǎn)從某一空間位置轉(zhuǎn)移到另一位置，運(yùn)位置轉(zhuǎn)移到另一位置，運(yùn)動(dòng)要素隨位置變化的規(guī)律動(dòng)要素隨位置變化的規(guī)律歐拉法并沒有直接給定流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡歐拉法并沒有直接給定流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡同一流體質(zhì)點(diǎn)同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻經(jīng)在不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)空間不同點(diǎn)過(guò)空間不同點(diǎn)不同時(shí)刻不同不同時(shí)刻不同的流體質(zhì)點(diǎn)通的流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)空間某一點(diǎn)過(guò)空間某一點(diǎn)注意：注意：歐拉法是流場(chǎng)法，歐拉法是流場(chǎng)法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量場(chǎng)為：度矢量場(chǎng)為：(x,y,z)是空間點(diǎn)（場(chǎng)是空間點(diǎn)（場(chǎng)點(diǎn)）。流速點(diǎn)）。流速V是在是在t 時(shí)時(shí)刻占據(jù)刻占據(jù)(x,y,z)的那個(gè)流的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。體質(zhì)點(diǎn)的速度矢

10、量。流體的其它運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間流體的其它運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間域上的場(chǎng)的形式表達(dá)。如加速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等：域上的場(chǎng)的形式表達(dá)。如加速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等：歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在分析流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條分析流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。件。采用歐拉法，采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)（見下文）二階導(dǎo)數(shù)（見下文），所得的運(yùn)動(dòng)微分方程分別是一階偏微分，所得的運(yùn)動(dòng)微分

11、方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。分方程求解容易。在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來(lái)龍去脈。在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來(lái)龍去脈。 歐拉法在流體力學(xué)研究中廣歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。兩種描述流體運(yùn)動(dòng)的泛被采用。兩種描述流體運(yùn)動(dòng)的方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。定常流和非定常流定常流和非定常流 若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，稱流動(dòng)為定常（恒變化，稱流動(dòng)為定常（恒定）流。否則，為非定常定）流。否則，為非定常

12、（非恒定）流。（非恒定）流。 恒定流中，所有物理恒定流中，所有物理量的歐拉表達(dá)式中將不量的歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間，它們只是空顯含時(shí)間，它們只是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，時(shí)間位置坐標(biāo)的函數(shù)，時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零。變導(dǎo)數(shù)為零。 例如，恒定流的例如，恒定流的流速場(chǎng)：流速場(chǎng)：恒定流的局部加速恒定流的局部加速度為零，但位變加速度為零，但位變加速度度可以不為零。可以不為零。 流動(dòng)是否流動(dòng)是否恒定與所選恒定與所選取的參考坐取的參考坐標(biāo)系有關(guān)標(biāo)系有關(guān), ,因此是相對(duì)因此是相對(duì)的概念的概念。均勻流、非均勻流均勻流、非均勻流若某一時(shí)刻流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的物理量都相等，則稱均勻場(chǎng)若某一時(shí)刻流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的物理量都相等，則稱均勻

13、場(chǎng)（流），否則為非均勻場(chǎng)（流）。（流），否則為非均勻場(chǎng)（流）。判別：判別：為任意為任意物理量物理量梯度是場(chǎng)不均勻的度量梯度是場(chǎng)不均勻的度量 也即梯度為也即梯度為0 0：一元、二元、三元流動(dòng)模型一元、二元、三元流動(dòng)模型 用歐拉法描述流動(dòng)，雖然經(jīng)過(guò)恒定流的簡(jiǎn)化去掉了時(shí)間變量，用歐拉法描述流動(dòng)，雖然經(jīng)過(guò)恒定流的簡(jiǎn)化去掉了時(shí)間變量，但仍存在但仍存在x，y，z三個(gè)空間變量。這種在流場(chǎng)中的速度和性能參量三個(gè)空間變量。這種在流場(chǎng)中的速度和性能參量由三個(gè)坐標(biāo)變量來(lái)描述的流動(dòng)就叫三元流，也稱為空間流動(dòng)。在由三個(gè)坐標(biāo)變量來(lái)描述的流動(dòng)就叫三元流，也稱為空間流動(dòng)。在實(shí)際情況下，多數(shù)的流動(dòng)都是三元流，但是，這種流動(dòng)模型

14、太復(fù)實(shí)際情況下，多數(shù)的流動(dòng)都是三元流，但是，這種流動(dòng)模型太復(fù)雜了，我們是很難求解的。雜了，我們是很難求解的。當(dāng)流動(dòng)中的速度和性能參量與坐標(biāo)中某一方向的變量無(wú)關(guān)時(shí)，當(dāng)流動(dòng)中的速度和性能參量與坐標(biāo)中某一方向的變量無(wú)關(guān)時(shí)，且在這個(gè)方向上的分量也不存在的流動(dòng)且在這個(gè)方向上的分量也不存在的流動(dòng),就叫二元流或稱為平面流。就叫二元流或稱為平面流。當(dāng)流速和性能參量的變化僅與一個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)的流動(dòng)。當(dāng)流速和性能參量的變化僅與一個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)的流動(dòng)。uf（s）s：是流動(dòng)方向上的位置坐標(biāo)。這個(gè)模型的實(shí)質(zhì)是忽略流速和：是流動(dòng)方向上的位置坐標(biāo)。這個(gè)模型的實(shí)質(zhì)是忽略流速和壓強(qiáng)參量等沿主流的橫向變化。壓強(qiáng)參量等沿主流的橫向

15、變化。一維流動(dòng)一維流動(dòng)二維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)三維流動(dòng)平面流動(dòng)軸對(duì)稱流動(dòng)任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分析處理。分析處理。流動(dòng)要素只取決于一個(gè)空間坐標(biāo)變量的流動(dòng)流動(dòng)要素只取決于一個(gè)空間坐標(biāo)變量的流動(dòng)在實(shí)際問(wèn)題中，常把總流簡(jiǎn)化為一維流動(dòng)。在實(shí)際問(wèn)題中，常把總流簡(jiǎn)化為一維流動(dòng)。s 一維流動(dòng)其流場(chǎng)為其流場(chǎng)為s 空間曲線坐標(biāo)空間曲線坐標(biāo)元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)，空間曲線坐標(biāo)元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)，空間曲線坐標(biāo)s 沿著流線。沿著流

16、線。uu x y tuux y tuxxyyz( , , )( , , )0 直角系中的直角系中的平面流動(dòng)平面流動(dòng)： 流場(chǎng)與某一空間流場(chǎng)與某一空間坐標(biāo)變量無(wú)關(guān)，且沿該坐標(biāo)坐標(biāo)變量無(wú)關(guān)，且沿該坐標(biāo)方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。xyoxyzou0u0大展弦比機(jī)翼繞流 二維流動(dòng)3.2物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。 通過(guò)位移求速度或通過(guò)速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)通過(guò)位移求速度或通過(guò)速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。點(diǎn)

17、，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。拉格朗日法拉格朗日法3.2物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 拉格朗日方法中，某一時(shí)刻，任一流體質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為： 式中a、b、c為初始時(shí)刻任意流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點(diǎn)。對(duì)于某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于某個(gè)確定的時(shí)刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)。123( , , , )( , , , )( , , , )xf a b c tyfa b c tzf a b c t221222222222322(, )(,

18、 )(, )xyzfa b c txattfa b c tyattfa b c tzatt123( , , , )( , , , )( , , , )fa b c txuttfa b c tyvttfa b c tzwtt質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)（a,b,ca,b,c）的速度和加速度為：）的速度和加速度為：拉格朗日法拉格朗日法注意，流體的密度、壓強(qiáng)和溫度也可寫成類似的函數(shù)形式。注意，流體的密度、壓強(qiáng)和溫度也可寫成類似的函數(shù)形式。 求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)時(shí)a,b,c 作為參作為參數(shù)不變，意即數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)點(diǎn)跟定流體質(zhì)點(diǎn)歐拉法歐拉法歐拉法中，任一空間點(diǎn)處速度場(chǎng)可表示為： ( , , )( , , )( , , )u

19、u x y z tvv x y z tww x y z t 其中變量其中變量x,y,z,t稱為歐拉變量，其中稱為歐拉變量，其中 x，y，z有雙重意有雙重意義，一方面它代表流場(chǎng)的空間坐標(biāo)，另一方面它代表流體質(zhì)義，一方面它代表流場(chǎng)的空間坐標(biāo)，另一方面它代表流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位移。當(dāng)參數(shù)點(diǎn)在空間的位移。當(dāng)參數(shù)x，y，z不變而改變時(shí)間不變而改變時(shí)間t，則表示，則表示空間某固定點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。當(dāng)參數(shù)空間某固定點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。當(dāng)參數(shù)t不變，而改不變，而改變變x，y，z，則代表某一時(shí)刻，空間各點(diǎn)的速度分布。，則代表某一時(shí)刻，空間各點(diǎn)的速度分布。(1)歐拉法歐拉法 根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一

20、個(gè)空間點(diǎn)上都有流體質(zhì)根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個(gè)空間點(diǎn)上都有流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。而占據(jù)每一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的點(diǎn)所占據(jù)。而占據(jù)每一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說(shuō)，空間坐標(biāo)速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說(shuō)，空間坐標(biāo)x，y，z也是流體質(zhì)點(diǎn)位移的變量，它也是時(shí)間也是流體質(zhì)點(diǎn)位移的變量，它也是時(shí)間t的函數(shù)：的函數(shù)： x= x (t) y= y (t) z= z (t)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程動(dòng)軌跡方程txuddtvddytwddz 上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)就流體質(zhì)點(diǎn)上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)就流體質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)軌跡的三個(gè)速度分量：沿運(yùn)動(dòng)軌跡的三個(gè)速度分量：(2)歐拉法歐拉法

21、加速度定義為在加速度定義為在dt時(shí)刻內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)某空間點(diǎn)附時(shí)刻內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)某空間點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)軌跡上一段微小距離時(shí)的速度變化率，于是可按復(fù)近運(yùn)動(dòng)軌跡上一段微小距離時(shí)的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，分別將合函數(shù)的求導(dǎo)法則，分別將(1)式中三個(gè)速度分量對(duì)時(shí)間式中三個(gè)速度分量對(duì)時(shí)間取全導(dǎo)數(shù)，并將取全導(dǎo)數(shù)，并將(2)式代入，即可得流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻式代入，即可得流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻經(jīng)過(guò)某空間點(diǎn)時(shí)的三個(gè)加速度分量：經(jīng)過(guò)某空間點(diǎn)時(shí)的三個(gè)加速度分量：zD wwwwwauvwD ttxyzxD uuuuuauvwD ttxyzyDvvvvvauvwDttxyz用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點(diǎn)的問(wèn)題。

22、用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點(diǎn)的問(wèn)題。(3)DVDtVt()VV=+質(zhì)點(diǎn)加速度位變加速度由流速非均由流速非均勻性引起勻性引起局部加速度由流速由流速非恒定非恒定性引起性引起歐拉法歐拉法V也可為流體密度、壓強(qiáng)和溫度等任一物理量（矢、標(biāo)）。也可為流體密度、壓強(qiáng)和溫度等任一物理量（矢、標(biāo)）。 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是反映流體質(zhì)點(diǎn)某一物理量對(duì)時(shí)間的變化率，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是反映流體質(zhì)點(diǎn)某一物理量對(duì)時(shí)間的變化率，即觀察者隨流體質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)時(shí)看到的物理量變化率。也可即觀察者隨流體質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)時(shí)看到的物理量變化率。也可稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是拉格朗日觀點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是拉格朗日觀點(diǎn)下的概念。

23、下的概念。例子()DVDttuvwtxyz流體不可壓是指流體質(zhì)點(diǎn)的密度運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變，即流體不可壓是指流體質(zhì)點(diǎn)的密度運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變，即const流體均質(zhì)，則流體均質(zhì)，則若流體既均質(zhì)，同時(shí)不可壓，則若流體既均質(zhì)，同時(shí)不可壓，則00DDt0DDt0t流體密度場(chǎng)定常，其不是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即流體密度場(chǎng)定常，其不是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即0 【例】【例】 已知用拉格朗日變量表示得速度分布為已知用拉格朗日變量表示得速度分布為 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且，且t=0時(shí)，時(shí)，x=a， y=b。求（求（1）t=3時(shí)質(zhì)點(diǎn)分布；（時(shí)質(zhì)點(diǎn)分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)

24、律；（律；（3）質(zhì)點(diǎn)加速度。）質(zhì)點(diǎn)加速度。 【解】【解】 根據(jù)根據(jù)(2)式得式得 將上式積分，得將上式積分，得 上式中上式中c1、c2為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。 利用利用t=0時(shí)，時(shí)，x=a，y=b得得c1=-2， c2=-22)2(teatx2)2(tebty12)2(cteaxt22)2(ctebyt X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）將t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2時(shí) x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)teatu)2( tebtv)2

25、( 【例】【例】 在任意時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)的位置是在任意時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)的位置是x=5t2，其跡，其跡線為雙曲線線為雙曲線xy=25。質(zhì)點(diǎn)速度和加速度在。質(zhì)點(diǎn)速度和加速度在x和和y方向的分量方向的分量為多少？為多少？ 【解】【解】 根據(jù)式根據(jù)式(2)得得 由式由式(3)得得ttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy23221010)5(125ttt10tuax430ttvay跡線是流體跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，跡，是與拉格是與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。應(yīng)的概念。),(tcbaxx 拉格朗日法中位移拉格朗日法中位移表達(dá)式表達(dá)式即為跡線的參數(shù)方程。即為

26、跡線的參數(shù)方程。t 是變數(shù)，是變數(shù)，a,b,c 是參數(shù)。是參數(shù)。3.3跡線、流線和染色線，流管跡線跡線 ( ), ( ), ( ), dru x ty tz tt dt( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzdtu x y z tux y z tu x y z tdldxidyjdzk0ud l0 xyzijkdxdydzuuu( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzu x y z tu x y z tu x y z t其中在非定常流情況下，流線在非定常流情況下，流線一般會(huì)隨時(shí)間變化。在定常一般會(huì)隨時(shí)間變化。在定常流情況下，流線不

27、隨時(shí)間變，流情況下，流線不隨時(shí)間變，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡線與流線重合。線與流線重合。跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與拉格朗日觀體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與拉格朗日觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。即使是在定常流中，跡線與流線重合，兩者仍即使是在定常流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。是完全不同的概念。根據(jù)流線的定義，根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流可以推斷

28、：除非流速為零或無(wú)窮大處，速為零或無(wú)窮大處，流線不能相交，也流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折。不能轉(zhuǎn)折。染色線染色線染色線是指試驗(yàn)中，利用流場(chǎng)顯示技術(shù)通過(guò)在流場(chǎng)中固染色線是指試驗(yàn)中，利用流場(chǎng)顯示技術(shù)通過(guò)在流場(chǎng)中固定點(diǎn)連續(xù)不斷注入有色物質(zhì)所形成的色線（或煙線）。它定點(diǎn)連續(xù)不斷注入有色物質(zhì)所形成的色線（或煙線）。它實(shí)際是一段時(shí)間內(nèi)相繼經(jīng)過(guò)流場(chǎng)中同一空間點(diǎn)實(shí)際是一段時(shí)間內(nèi)相繼經(jīng)過(guò)流場(chǎng)中同一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)連接起來(lái)得到的一條曲線，其形狀和結(jié)構(gòu)可反映在某瞬時(shí)連接起來(lái)得到的一條曲線，其形狀和結(jié)構(gòu)可反映流場(chǎng)結(jié)構(gòu)和流動(dòng)特點(diǎn)，也稱之為脈線。流場(chǎng)結(jié)構(gòu)和流動(dòng)特點(diǎn)，也稱之為脈線。 染色線既不是流線，染色線既

29、不是流線，也不是跡線。也不是跡線。 非定常流動(dòng)條件下：非定常流動(dòng)條件下：染色線、流線、跡線互不染色線、流線、跡線互不重合。重合。 定常流動(dòng)條件下：染定常流動(dòng)條件下：染色線與流線、跡線重合。色線與流線、跡線重合。3.4流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)和變形考察和分析流考察和分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)運(yùn)動(dòng)談及相對(duì)運(yùn)動(dòng)就談及相對(duì)運(yùn)動(dòng)就必須把討論問(wèn)題的必須把討論問(wèn)題的尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)大到流體微團(tuán)大到流體微團(tuán)給出在同一時(shí)刻給出在同一時(shí)刻流體微團(tuán)中任意兩流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系點(diǎn)速度之間的關(guān)系分析流體微分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不像剛體那么簡(jiǎn)單，除了可以平動(dòng)和

30、轉(zhuǎn)動(dòng)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不像剛體那么簡(jiǎn)單，除了可以平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)外，還伴隨有變形運(yùn)動(dòng)。變形運(yùn)動(dòng)可分為體變形和角變形兩種。外，還伴隨有變形運(yùn)動(dòng)。變形運(yùn)動(dòng)可分為體變形和角變形兩種。所謂平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)流體微團(tuán)移動(dòng)到另一個(gè)地方，微團(tuán)所謂平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)流體微團(tuán)移動(dòng)到另一個(gè)地方，微團(tuán)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置沒有發(fā)生變化，微團(tuán)的形狀也沒有發(fā)生內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置沒有發(fā)生變化，微團(tuán)的形狀也沒有發(fā)生變化，也稱平移。變化，也稱平移。（1）平動(dòng)）平動(dòng)流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)不同，如果在流體微團(tuán)中流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)不同，如果在流體微團(tuán)中引出若干條直線，它們的旋轉(zhuǎn)角速度可以各不相同。因此，引出若干條直線，它們的旋轉(zhuǎn)角速度可以各不相同。因此，要說(shuō)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)，只能是平均。要說(shuō)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)，只能是平均。（2）旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn) 可見，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可以分解成：可見，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總