自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型教學(xué)目的：（1） 建立動(dòng)態(tài)模擬的概念，能編寫系統(tǒng)的微分方程。（2） 掌握傳遞函數(shù)的概念及求法。（3） 通過(guò)本課學(xué)習(xí)掌握電路或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并能應(yīng)用各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。（4） 通過(guò)本課學(xué)習(xí)掌握電路或自動(dòng)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行變換。（5） 掌握信號(hào)流圖的概念，會(huì)用梅遜公式求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。（6） 通過(guò)本次課學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深對(duì)以前所學(xué)的知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力教學(xué)要求：（1） 正確理解數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)；（2） 了解動(dòng)態(tài)微分方程建立的一般步驟和方法；（3） 牢固掌握傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)，掌握典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)；（4

2、） 掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立、等效變換及其系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取，并對(duì)重要的傳遞函數(shù)如：控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、擾動(dòng)輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)，能夠熟練的掌握；（5） 掌握運(yùn)用梅遜公式求閉環(huán)傳遞函數(shù)的方法；（6） 掌握結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的定義和組成方法，熟練掌握等效變換代數(shù)法則，簡(jiǎn)化圖形結(jié)構(gòu)，掌握從其它不同形式的數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。教學(xué)重點(diǎn)：有源網(wǎng)絡(luò)和無(wú)源網(wǎng)絡(luò)微分方程的編寫；有源網(wǎng)絡(luò)和無(wú)源網(wǎng)絡(luò)求傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)的概念及求法；由各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖；由各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行變換；梅遜增益公式的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：舉典型例題說(shuō)明微分方程建立的方法

3、；求高階系統(tǒng)響應(yīng)；求復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖；對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行變換； 求第K條前向通道特記式的余子式。教學(xué)方法：講授本章學(xué)時(shí)：10學(xué)時(shí)主要內(nèi)容：2.0 引言2.1 動(dòng)態(tài)微分方程的建立2.2 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.3 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5 信號(hào)流圖及梅遜公式1 / 292.0引言：什么是數(shù)學(xué)模型？為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？1. 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入輸出變量以及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。） 動(dòng)態(tài)模型：描述系統(tǒng)處于暫態(tài)過(guò)程中個(gè)變量之間關(guān)系的表達(dá)式，他一般是時(shí)間函數(shù)。如：微分方程，傳遞函數(shù)，狀態(tài)方程等。） 靜態(tài)模型：描述過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)時(shí)各變量之間的關(guān)系。一般不是

4、時(shí)間函數(shù)2. 建立動(dòng)態(tài)模型的方法） 機(jī)理分析法：用定律定理建立動(dòng)態(tài)模型。） 實(shí)驗(yàn)法：運(yùn)用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供的信息，采用辨識(shí)方法建模。3. 建立動(dòng)態(tài)模型的意義：找出系統(tǒng)輸入輸出變量之間的相互關(guān)系，以便分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使系統(tǒng)控制效果最優(yōu)。2.1動(dòng)態(tài)微分方程的建立無(wú)論什么系統(tǒng)，輸入輸出量在暫態(tài)過(guò)程中都遵循一定的規(guī)律，來(lái)反映該系統(tǒng)的特征。為了使系統(tǒng)滿足暫態(tài)性要求，必須對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程進(jìn)行分析，掌握其內(nèi)在規(guī)律，數(shù)學(xué)模型可以描述這一規(guī)律。一、編寫系統(tǒng)或元件微分方程的步驟：1. 根據(jù)實(shí)際情況，確定系統(tǒng)的輸入輸出變量。2. 從系統(tǒng)輸入端開始，按信號(hào)傳遞順序，以此寫出組成系統(tǒng)的各個(gè)元件的微分 方程（或運(yùn)動(dòng)方程）。3. 消

5、去中間變量，寫出輸入輸出變量的微分方程。二、舉例例1 RLC電路 根據(jù)電路基本原理有:例2 質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)由牛頓定律：3） 電動(dòng)機(jī)：電路方程：(1)動(dòng)力學(xué)方程： (2)(4) (2) 得：(3)(5)(1) 得：整理并定義兩個(gè)時(shí)間常數(shù) 機(jī)電時(shí)間常數(shù) 電磁時(shí)間常數(shù)電機(jī)方程如果忽略阻力矩 即，方程右邊只有電樞回路的控制量，則電機(jī)方程是一典型二階方程如果忽略（）電機(jī)方程就是一階的小結(jié)：本節(jié)通過(guò)講授介紹了自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，介紹了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)以及靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)微分方程，并通過(guò)幾個(gè)典型實(shí)例給出了求自動(dòng)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)微分方程的步驟。2.2線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求解微分方程,可求出系統(tǒng)的輸出響

6、應(yīng),但如果方程階次較高,則計(jì)算很繁,因此對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析不便,所以應(yīng)用傳遞函數(shù)將實(shí)數(shù)中的微分運(yùn)算變成復(fù)數(shù)中的代數(shù)運(yùn)算,可是問(wèn)題分析大大簡(jiǎn)化.1. 傳遞函數(shù)的定義：傳遞函數(shù)：線性系統(tǒng),在零初始條件下,輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入拉氏變換之比，叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。線性定常控制系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式：設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，和是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令c(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系

7、統(tǒng)傳遞函數(shù)為：式中2. 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1） 傳遞函數(shù)的概念只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。2） G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵S多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。3） 傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入量無(wú)關(guān)。4） 傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)非零初始條件下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。5） 傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式階次（m）小于等于分母多項(xiàng)式的階次（n）。6） 傳遞函數(shù)與微分方程之間的關(guān)系。如果將置換 7） 脈沖響應(yīng)（脈沖過(guò)渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。 因?yàn)?傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)3.傳遞函數(shù)的求法：圖 2-6輸

8、入量Xr=u，輸出量Xc=i。列回路電壓方程：u=Ri+L （227）即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）經(jīng)整理得：= （229）其中 Tl=,為電路的時(shí)間常數(shù)。思考題：，什么是零初始條件？如何從該框圖求得與之間的關(guān)系？2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 任何系統(tǒng)都是由各環(huán)節(jié)構(gòu)成，知道了各典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)就不難求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。這些典型環(huán)節(jié)包括：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和時(shí)滯環(huán)節(jié)。下面分別加以介紹：1 比例環(huán)節(jié) 式中 K增益 特點(diǎn)： 輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。 實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應(yīng)式變送器等。2 慣性

9、環(huán)節(jié) 式中 T時(shí)間常數(shù) 特點(diǎn)： 含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。 實(shí)例：圖2-4所示的RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3 微分環(huán)節(jié)理想微分 一階微分 二階微分 特點(diǎn)： 輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。 實(shí)例： 測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。4積分環(huán)節(jié) 特點(diǎn)： 輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。 實(shí)例： 電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。5 振蕩環(huán)節(jié) 式中 阻尼比 無(wú)阻尼自然振蕩頻率 特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：

10、RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。6 純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié) 式中 延遲時(shí)間特點(diǎn)： 輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。小結(jié)：通過(guò)本節(jié)的講授使學(xué)生掌握了傳遞函數(shù)的基本概念及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。并了解了典型二階環(huán)節(jié)各參數(shù)的物理意義。24 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一、結(jié)構(gòu)圖的定義及其組成1. 結(jié)構(gòu)圖：是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示了系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系。2. 結(jié)構(gòu)圖的組成： （1） 信號(hào)線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)傳遞方向。（2） 分支點(diǎn)（引出點(diǎn)）：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。注意：同一位置引出的信號(hào)大小和性

11、質(zhì)完全一樣。（3） 比較點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)以上信號(hào)加減運(yùn)算。（4） 方框：方框圖內(nèi)輸入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。 3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：（1）建立控制系統(tǒng)各元件的微分方程（傳遞函數(shù)）要標(biāo)明輸入輸出量。（2）對(duì)元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的結(jié)構(gòu)圖。（3）按系統(tǒng)各變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)。二、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法例如圖2-9是閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng) UdSTKSUrnidiC0R0R1irIcifC1UkCrUf-圖2-9（一） 求各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和方框圖1. 比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)和方框圖， , 式中 為濾波常數(shù) 為時(shí)間常數(shù)為比例系數(shù) 為速度調(diào)節(jié)器函數(shù)為速度反饋濾波傳遞函數(shù) 方框圖

12、如W1(S)W2(S)Ur(S)UK(S)-Uf(S)圖2-102. 速度反饋傳遞函數(shù) 為速度反饋系數(shù)KSPn(S)Uf(S)圖2-113. 電動(dòng)機(jī)及功率放大器裝置的傳遞函數(shù) 函數(shù)： 為功放電壓放大系數(shù)KSUd(S)UK(S)圖2-12電動(dòng)機(jī)電框回路的微分方程：零初始條件下拉氏變換：電框回路傳遞函數(shù)W4(S)CeUr(S)Id(S)-n (S)圖2-13電動(dòng)機(jī)帶負(fù)載時(shí)運(yùn)動(dòng)方程：拉氏變換： （2-47）（二） 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖KCKSUr(S)E(S)Ur(S)n(S)-IZ(S)Id(S)-Ud(S)KsfCeUf(S)-圖2-14三、框圖的等效變換1框圖幾種常見(jiàn)的連接方式 (1)環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的

13、傳遞函數(shù)W1(S)Xr(S)X1(S)W2(S)X2(S)W3(S)XC(S)圖2-15證明： 消去中間變量得幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的傳遞函數(shù) （2-50） 若有幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，則等效函數(shù)： （2-51）(2)環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)W1(S)Xr(S)W2(S)W3(S)XC(S)W1(S)+ W2(S) + W3(S)Xr(S)XC(S)圖2-16證明： （2-52） （2-53）若有幾個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)： （2-54）(3)反饋連接的等效傳遞函數(shù) W1(S)W2(S)Xf(S)E(S)Xr(S)XC(S)-圖2-17特點(diǎn)：將輸出量返回系統(tǒng)輸入形式閉環(huán)。有兩個(gè)通道（正向通道 反饋通道）。傳遞函數(shù)的推導(dǎo)： （2-55

14、）2框圖的等效變換(1)相加點(diǎn)從單元輸入端移到輸出端W1(S)X2(S)X1(S)X3(S)W1(S)W1(S)X2(S)X1(S)X3(S)+圖2-18變換前：變換后： (2)相加點(diǎn)從單元輸出端移到輸入端W1(S)X1(S)X3(S)W1(S)X2(S)X1(S)Xf(S)+圖2-19變換前：變換后：(3)分支點(diǎn)從單元輸入端移到輸出端W1(S)X1(S)X2(S)X1(S)W1(S)X2(S)X1(S)圖2-30(4)分支點(diǎn)從單元輸出端移到輸入端W1(S)X2(S)X2(S)W1(S)X1(S)W1(S)X1(S)X2(S)X2(S)圖2-31(5)分支點(diǎn)及相加點(diǎn)可以互換 W1(S)X1(S

15、)X2(S)X2(S)W1(S)W1(S)X2(S)X1(S)W2(S)圖2-32X3(S)X1(S)X4(S)+X2(S)+X1(S)X4(S)+X2(S)+X3(S)圖2-33圖2-34 反饋控制系統(tǒng)方框圖四、幾個(gè)基本概念及術(shù)語(yǔ)R(s)給定輸入C(s)輸出B(s)主反饋量E(s)誤差(1) 前向通路傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。在圖中等價(jià)于C(s)與誤差之比E(s)。打開反饋后，輸出量拉氏與輸入量拉氏之比。(2) 反饋回路傳遞函數(shù) （Feedforward Transfer Function）假設(shè)N(s)=0主反饋信號(hào)B(s)與輸出信號(hào)C(s)之比。(3

16、) 開環(huán)傳遞函數(shù) （Open-loop Transfer Function ）假設(shè)N(s)=0主反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比。(4)只有給定輸入作用（N（S）=0） 系統(tǒng)輸出： (5)只有擾動(dòng)作用 系統(tǒng)總輸出： 小結(jié)：通過(guò)本課學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握電路或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并能應(yīng)用各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖；掌握等效的概念及等效變換的基本原則，能夠求出復(fù)雜結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)。25 信號(hào)流圖及梅遜公式一、信號(hào)流圖由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，但是系統(tǒng)很復(fù)雜時(shí)，結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化很繁，采用信號(hào)流圖，不必對(duì)信號(hào)流圖簡(jiǎn)化，應(yīng)用統(tǒng)一公式，可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1繪制方法：(1)由代數(shù)方程繪制

17、： 例： 描述系統(tǒng)的方程組為： X2=aX1+bX2+gX5X3=cX2X4=dX1+lX3+fX4X5=X1+hX4信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量或是信號(hào)用“O”表示，支路用有向線段表示。該系統(tǒng)的信號(hào)流圖： cabdhegX4X5fX3X2X1圖2-35(2)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制f-XCX2X1XrX3X4dcba-lg圖2-36-gcdba-f-lX4XcX2X1XrX3圖2-372.信號(hào)流圖使用術(shù)語(yǔ)源點(diǎn) ；匯點(diǎn) ；混合節(jié)點(diǎn) ；閉通路（回環(huán)）；回路增益 ；前向通路；自回路 ；不接觸回路。講法：結(jié)合信號(hào)流圖講述。3.梅遜增益公式求傳遞函數(shù)利用梅遜增益公式，不用對(duì)系統(tǒng)

18、結(jié)構(gòu)圖變換，一點(diǎn)寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 （2-65）X-系統(tǒng)輸出量；X-系統(tǒng)的輸出量；T-系統(tǒng)總傳輸；T-第K條前向通路的傳輸；n從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路數(shù)；-信號(hào)流圖的特征式。 (2-66)信號(hào)流圖中所有不同回環(huán)傳輸之和。信號(hào)流圖中每?jī)蓚€(gè)互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。-信號(hào)流圖中每三個(gè)互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。信號(hào)流圖中每m個(gè)互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。第K條前向通路特征式的余子式，是在中除去與第K條前向通路相接觸的各回環(huán)傳輸（即將其置零）。 例1：如圖求系統(tǒng)總的傳輸。lX2X311-gcdbafX4XcX1XrX5圖238根據(jù)梅遜增益公式：T=此系統(tǒng)有兩條前向通路n=2,其傳輸=abc

19、d,T=fd;三個(gè)回環(huán)：L=be,L=-abcdg,L=-fdg三個(gè)回環(huán)只有L和L互不接觸 系統(tǒng)的特征方程式 ： =1-（L=1-be+(abc+f-bef)dg為除去（在中）得T特征余子式在中除去與T接觸回環(huán)L得特征余子式系統(tǒng)的傳輸為：T= =例2：如圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)XrXr-X1X2+X2-X2XCX5+-W2W3W4H2W5H1W1圖239信號(hào)流圖X1X3W51H2XcX1XrX5-H1-1-1W2W4W3W1X2X4圖2-40系統(tǒng)前向通路：T1=W1W3W5，T2=W2W4W5系統(tǒng)回環(huán)及傳輸： =-W1W3W5H1 =-W2W4W5=-W3H2 =-W4H2=-(W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2)各回環(huán)相互接觸 =0各回環(huán)與前向通路T1，T2接觸系統(tǒng)傳遞函數(shù)： W(S)=小結(jié)： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握信號(hào)流圖的概念，會(huì)用梅遜公式求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，并且能夠求出第K條前向通道特記式的余子式。習(xí)題課1J1J212M12f1f2Z1M1Z