關(guān)于子空間直和的教學(xué)思考和探究

1、關(guān)于子空間直和的教學(xué)思考和探究2012年2月第28卷第1期江蘇教育學(xué)院(自然科學(xué))JoumMofJiangsuInstituteofEducation(NaturMSciences)Feb.,2012Vo1.28No.1關(guān)于子空間直和的教學(xué)思考和探究徐新萍(江蘇教育學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,江蘇南京210013)摘要子空間的和也是子空間,而直和是子空間和運(yùn)算的一種特殊情形,是高等代數(shù)課程的重要內(nèi)容之一,本文結(jié)合筆者多年的教學(xué)體會(huì),提出關(guān)于子空間直和教學(xué)及應(yīng)用的一些思考與探究.關(guān)鍵詞子空間;直和;應(yīng)用中圖分類號(hào)0151.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)16711696(2012)01002003子空間直和理

2、論是數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)課程的重要內(nèi)容,其中蘊(yùn)含的線性空間分解思想為線性變換對(duì)角化和標(biāo)準(zhǔn)對(duì)角化提供了有力的理論依據(jù).子空間直和理論無(wú)論在高等代數(shù)課程或?yàn)楹罄^的近世代數(shù)課程中都是很重要的內(nèi)容.由于這部分內(nèi)容比較抽象,且判斷命題敘述有多種變式,應(yīng)用內(nèi)容又在該教學(xué)單元之后,導(dǎo)致在教學(xué)中學(xué)生理解困難,掌握不理想.本文結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)于子空間直和的教學(xué)及應(yīng)用進(jìn)行了思考與探索.一,關(guān)于子空間直和的教學(xué)策略子空間直和的概念較為抽象,為了便于學(xué)生理解和掌握,在概念引入前先復(fù)習(xí)子空間和的運(yùn)算,并用一個(gè)實(shí)例加以說(shuō)明:例1設(shè)V=R,1=(1,0,0),2=(0,1,0),s2:(0,0,1)(1)V1=L(1

3、,2),v2=L(3),求+,并討論和空間元素的表示方法;(2)v3=L(l,2),v4=L(2,3),求+,并討論和空間元素的表示方法.由兩生成子空間和的結(jié)論,學(xué)生很容易得出+v2=V,+v4=此時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生比較(1),(2),發(fā)現(xiàn)盡管兩對(duì)子空間和都等于,但這兩種和不一樣.其中(1)中的每個(gè)向量能唯一地分解成兩子空間元素的和,而(2)中的元素分解方法不唯一,如(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)=(1,0,0)+(0,1,1).根據(jù)所講例子的思想,請(qǐng)學(xué)生思考下面類似問(wèn)題,從而達(dá)到教學(xué)效果.V=R,1=(1,0),占2=(0,1),(1)V1:L(1),=L(2),求+;(2)v3=

4、L(1),=L(1+2),求+,并討論和空間元素的表示方法.由(1)中的每個(gè)向量能唯一地分解成兩子空間元素和的特殊性,由此引入子空間直和概念.定義設(shè),都是線性空間的子空間,如果和+中每個(gè)向量的分解式1+2,1V1,2是唯一的,這個(gè)和就稱為直和,記為.在具體應(yīng)用時(shí),通常要求證明一個(gè)線性空間是其兩個(gè)子空間的直和.為了學(xué)生能理解直和的概念,在講解定義時(shí),要強(qiáng)調(diào)首先是和,然后要求滿足每個(gè)向量分解是唯一的,才具備直和的條件.對(duì)于這種特殊的子空間和運(yùn)算,用定義證明或檢驗(yàn)直和問(wèn)題有時(shí)很困難,當(dāng)然有必要更深入研究它的性質(zhì),找出它的等價(jià)條件.定理1設(shè),是線性空間的子空間,且=V1+,則下列命題等價(jià)(1)V=V1

5、(2)零向量表示法唯一,即若0=+:,則收稿日期20110918作者簡(jiǎn)介徐新萍(1964一),女,江蘇南通人,江蘇教育學(xué)院教授,博士,研究方向:代數(shù)教學(xué)與研究一20=Ot20,其中Ol1VI,Ot2v2(3)nv2=0(4)維(+)=維()+維(),即維(V)=維()+維()在教學(xué)中首先分析各等價(jià)命題的含義及相互關(guān)系,再通過(guò)循環(huán)論證的方法加以證明.二,子空間直和等價(jià)命題應(yīng)用為了學(xué)生能真正理解和掌握定理1中各等價(jià)命題,在教學(xué)中主要通過(guò)具體例子說(shuō)明其應(yīng)用,在講解例題時(shí)特別強(qiáng)調(diào)何時(shí)用何種等價(jià)命題,以及應(yīng)用各等價(jià)命題的注意點(diǎn).在選題時(shí)注意用不同的等價(jià)命題加以證明,同時(shí)配上類似的習(xí)題,以便學(xué)生理解掌握.

6、例2設(shè)與都是線性空間的子空間,V=,且Ol1,Ol2,OtU,1,盧2,IV是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組.證明:向量組,Ol,Ol,盧.,也線性無(wú)關(guān).證明:設(shè)klOt1+k2ol2+OL+f11+Z22+Z=0,由V=U知,用直和的等價(jià)命題"零向量表法唯一".由1Ot1+2Ol2+OdU,Z1JB1+Z22+l,t3,得lOl1+后2Ot2+=0,Z1盧1+Z2盧2+Zf=0由1,2,OlU,盧1,盧2,是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組,則有尼1=|j2=Z1=Z2=Z=0,所以,向量組Ol,2,和盧,:,也線性無(wú)關(guān).說(shuō)明:此例題中涉及到向量組線性無(wú)關(guān)概念,故適合用直和的條件"零

7、向量表法唯一".例3設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣,且A=A.記,分別是方程組A=0與(E)=0的解空間.證明:=V1ov2.證明:VOlP,有Ol=(OlA)+,由A=A,易檢驗(yàn)Ol-AaV1,Av2所以,P:V1+.又若OlVlnv2,有A=0,及(AE)Ol=0,則Ol=0.所以,nv2=0.于是,P=V1v2注意:此類題首先要證明P=V1十,然后再利用直和的等價(jià)條件.這里用"nv2=0"容易證明.與此題方法類似的下題由學(xué)生自行完成,以達(dá)到鞏固證明一個(gè)空間等于兩子空間直和的效果.習(xí)題1:設(shè)4是數(shù)域P上的n階矩陣,且A=E.記,分別是方程組(A+E)X=0與(E)X

8、=0的解空間,證明:=Vv2.例4設(shè)A=(三)為n階實(shí)可逆矩陣,V1,分別為齊次線性方程組AX=0,A=0的解空間.證明:=V1v2.證明:首先nI/2是齊次線性方程組r,X=0的解空間,即A=0的解空間.I4,=0因?yàn)锳為n階實(shí)可逆矩陣,所以齊次線性方程組A=0只有零解,即.nv2=0其次由nv2=0及維數(shù)公式,得維(+)=維()+維().設(shè)秩(A.)=r,則秩(A)=nr.于是維()=tl,一r,維(v2)=一(17,一r)=r.因此,維(+)=nr+r=17,=維(R)所以R=V1ov2.說(shuō)明:在講解此題時(shí),容易得到n=0,學(xué)生就會(huì)立刻下結(jié)論R=vl,而忽略了證明R=+',2.通

9、過(guò)此例進(jìn)一步說(shuō)明證明直和有關(guān)命題的關(guān)鍵步驟.在此例題的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生自己思考書上一個(gè)有關(guān)具體方程組的習(xí)題,以達(dá)到鞏固證明一個(gè)空間等于兩子空間直和的類似方法的效果.習(xí)題2:設(shè)V1,分別為齊次線性方程組+=0與1=2=的解空間,證明R=.三,與直和有關(guān)的后繼內(nèi)容在線性變換一章中,學(xué)習(xí)了特征值與特征向量后,可以綜合直和內(nèi)容,補(bǔ)充下面例題.例5設(shè)A為線性空間V的一個(gè)線性變換,且A=E,則A的特征值只能是1或一1.若用V與V一分別表示對(duì)應(yīng)于特征值1與一1的特征子空間,證明:V=V1V證明:由特征子空間的定義一21V1=Or.1A僅=,VlIAoL=一o【.(1)v僅v,有僅:+.經(jīng)檢驗(yàn)v,v所以V=V】

10、+V一】(2)VV1nV一1,即A儀=01.,Aol=一0【.所以0【=0.因此VnV一=0由(1),(2),根據(jù)定理1(3),有V=V.V與此題方法類似的下題由學(xué)生自行完成,以達(dá)到進(jìn)一步鞏固證明一個(gè)空間等于兩子空間直和的效果.習(xí)題3設(shè)A為線性空間V的一個(gè)線性變換,且A=A,則的特征值只能是1或0.若用V.與V.分別表示對(duì)應(yīng)于特征值1與0的特征子空間,證明:V=V10V0.參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)M.第3版.北京:高等教育出版社,2003.2楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解(下冊(cè))M.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2001.3楊儒生,朱平天.線性代數(shù)題解集M.南京:江蘇教育

11、出版社,1997.(責(zé)任編輯印亞靜)(上接第19頁(yè))(4)式中X的范圍0X2b,根據(jù)X范圍推得:?dO"x(5)由(2)(3)式可知,場(chǎng)強(qiáng)大小E>E>E:.可見結(jié)構(gòu)的改變?cè)斐墒`電荷重新分布,束縛電荷反作用于自由電荷,進(jìn)而改變自由電荷和場(chǎng)強(qiáng)的分布.所以束縛電荷的反作用不容忽視,同時(shí)自由電荷不均勻分布情況下高斯定理應(yīng)用也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn).三,結(jié)論由以上討論可知,當(dāng)電場(chǎng)均勻分布且有某一種對(duì)稱性時(shí),應(yīng)用D的高斯定理可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這是學(xué)生頭腦中已經(jīng)建構(gòu)的知識(shí)結(jié)構(gòu).對(duì)束縛電荷對(duì)自由電荷分布的影響及非均勻電場(chǎng)下如何使用D的高斯定理解題的研究可以進(jìn)一步擴(kuò)展高斯定理的適用范圍,加深對(duì)高斯定理的全面理解.因此在講授一22一傳統(tǒng)經(jīng)典題型之余,不妨對(duì)此加以介紹,使得學(xué)生對(duì)高斯定理的應(yīng)用更趨靈活,掌握得更加融會(huì)