離散線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)分析

1、實(shí)驗(yàn)六 離散線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)分析一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 掌握離散LSI系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和任意激勵(lì)下響應(yīng)的MATLAB求解方法。2.掌握離散LSI系統(tǒng)的頻域分析方法；3.掌握離散LSI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析方法；4. 掌握離散LSI系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)特性的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)原理及方法1. 離散LSI系統(tǒng)的時(shí)域分析描述一個(gè)N階線(xiàn)性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線(xiàn)性常系統(tǒng)差分方程，N階LSI離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為 （6.1）也可用系統(tǒng)函數(shù)來(lái)表示 （6.2）系統(tǒng)函數(shù)反映了系統(tǒng)響應(yīng)和激勵(lì)間的關(guān)系。一旦上式中，的數(shù)據(jù)確定了，系統(tǒng)的性質(zhì)也就確定了。特別注意必須進(jìn)行歸一化處理，即。對(duì)于復(fù)雜信號(hào)激勵(lì)下

2、的線(xiàn)性系統(tǒng)，可以將激勵(lì)信號(hào)在時(shí)域中分解為單位序列或單位階躍序列的線(xiàn)性疊加，把這些單元激勵(lì)信號(hào)分別加于系統(tǒng)求其響應(yīng)，然后把這些響應(yīng)疊加，即可得到復(fù)雜信號(hào)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。因此，求解系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)尤為重要。由圖6-1可以看出一個(gè)離散LSI系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系。圖6-1 離散LSI系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系(1) 單位序列響應(yīng)（單位響應(yīng)）單位響應(yīng)是指離散LSI系統(tǒng)在單位序列激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，因此滿(mǎn)足線(xiàn)性常系數(shù)差分方程(6.1)及零初始狀態(tài)，即， (6.3)按照定義，它也可表示為 (6.4)對(duì)于離散LSI系統(tǒng)，若其輸入信號(hào)為，單位響應(yīng)為，則其零狀態(tài)響應(yīng)為 (6.5)可見(jiàn)，能夠刻畫(huà)和

3、表征系統(tǒng)的固有特性，與何種激勵(lì)無(wú)關(guān)。一旦知道了系統(tǒng)的單位響應(yīng)，就可求得系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。MATLAB提供了專(zhuān)門(mén)用于求連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)的函數(shù)impz()，其調(diào)用格式有h,n=impz(b,a)求解離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)，其中，；h,n=impz(b,a,N) 求解離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)，采樣點(diǎn)數(shù)由N確定，；impz(b,a) ：在當(dāng)前窗口，用stem(n,h)繪出圖形。（2）單位階躍響應(yīng) 單位階躍響應(yīng)是指離散LTI系統(tǒng)在單位階躍序列激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，它可以表示為 (6.6)上式表明，離散LSI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單位響應(yīng)的累加和，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和系統(tǒng)的單位響應(yīng)之間有著確定的關(guān)系

4、，因此，單位階躍響應(yīng)也能完全刻畫(huà)和表征一個(gè)LSI系統(tǒng)。MATLAB提供了專(zhuān)門(mén)用于求離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的函數(shù)stepz( )，其調(diào)用格式有s,n=stepz(b,a) ：求解離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，其中，；s,n=stepz(b,a,N) ：求解離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，采樣點(diǎn)數(shù)由N確定，；stepz(b,a) ：在當(dāng)前窗口，用stem(n,s)繪出圖形。(3) 任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)已經(jīng)知道，離散LSI系統(tǒng)可用常系數(shù)線(xiàn)性差分方程(6.1)式來(lái)描述，Matlab提供的函數(shù)dlsim( )能對(duì)上述差分方程描述的離散LSI系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行仿真，該函數(shù)不僅能繪制指定時(shí)間范圍內(nèi)的系統(tǒng)響應(yīng)波形圖，而且還能求

5、出系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解。其調(diào)用格式有dlsim(b,a, x) ：求解輸入序列為x的零狀態(tài)響應(yīng)需要特別強(qiáng)調(diào)的是，Matlab總是把由分子和分母多項(xiàng)式表示的任何系統(tǒng)都當(dāng)作是因果系統(tǒng)。所以，利用impz (b,a)，stepz(b,a)，dlsim(b,a,x)函數(shù)求得的響應(yīng)總是因果信號(hào)。同時(shí)，卷積和也是LSI系統(tǒng)求解零狀態(tài)響應(yīng)的重要工具之一。假設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為，單位響應(yīng)為，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可由（6.5）式求解。Matlab提供了專(zhuān)門(mén)用于求離散系統(tǒng)卷積和的函數(shù)conv( )，其調(diào)用格式有y=conv(x,h) ：求解序列x，h的卷積和，若序列x的長(zhǎng)度為n1，序列h的長(zhǎng)度為n2，卷積和y的長(zhǎng)度為n1

6、+n2-1。這一點(diǎn)需要特別注意，否則，作圖時(shí)容易造成橫縱坐標(biāo)長(zhǎng)度不匹配。（4）帶初始狀態(tài)的任意激勵(lì)下的全響應(yīng)任意激勵(lì)下的離散LSI系統(tǒng)的全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，表示為 （6.7）在理論學(xué)習(xí)的過(guò)程中，同學(xué)們對(duì)低階差分方程的求解已頗為頭痛，高階差分方程直接求解幾乎不可能。Matlab提供了用于求離散系統(tǒng)全響應(yīng)的函數(shù)filter( )，其調(diào)用格式有y=filter( b,a,x) ：求解零狀態(tài)響應(yīng)；y=filter( b,a,x,zi) ：求解初始條件為zi的系統(tǒng)的全響應(yīng)，zi向量的長(zhǎng)度為max(length(a),length(b)-1，返回值為系統(tǒng)的全響應(yīng)。z = filtic(b,

7、a,y,x)：將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換為初始條件，其中，；z = filtic(b,a,y)：將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換為初始條件，其中，。2 離散LSI系統(tǒng)的復(fù)頻域（Z域）分析（1）利用Z變換解差分方程在前面圖6-1中表示了離散系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系，由圖可知，系統(tǒng)的響應(yīng)既可以用時(shí)域的方法求解，也可以用Z域的方法求解。當(dāng)已知系統(tǒng)輸入序列的Z變換，系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)序列的Z變換可由求出。Matlab提供了用于求序列Z變換和Z反變換的函數(shù)，其調(diào)用格式有X=ztrans(x)：求無(wú)限長(zhǎng)序列x的Z變換，返回Z變換的表達(dá)式，注意這里x，X都是符號(hào)表達(dá)式；x=iztrans(X)：求X（z）的Z反變換x(n)，返回Z反變換

8、的表達(dá)式，注意這里x，X都是符號(hào)表達(dá)式；r,p,c=residuez(b,a)：把b(z)/a(z)展開(kāi)成部分分式；b,a=residuez(r,p,c):根據(jù)部分分式的r、p、c數(shù)組，返回有理多項(xiàng)式。（2）系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的關(guān)系因果系統(tǒng)的單位響應(yīng)一定滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含點(diǎn)，即點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，收斂域是圓外區(qū)域。系統(tǒng)穩(wěn)定要求，對(duì)照z變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為：(6.8)MATLAB提供了用于求系統(tǒng)零極點(diǎn)的函數(shù)，其調(diào)用格式有roots()：利用多項(xiàng)式求根函數(shù)來(lái)

9、確定系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)位置；roots(a)：求極點(diǎn)位置，a為系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式所構(gòu)成的系數(shù)向量；roots(b)：求零點(diǎn)位置，b為系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式所構(gòu)成的系數(shù)向量；zplane(b,a)：繪制由行向量b和a構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖；zplane(z,p)：繪制由列向量z確定的零點(diǎn)、列向量p確定的極點(diǎn)構(gòu)成的零極點(diǎn)分布圖。（3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系將式(6.2)因式分解，得到 (6.9)式中，是的零點(diǎn)，是其極點(diǎn)。參數(shù)影響頻率響應(yīng)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布。下面采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。將式(6.9)的分子、分母同乘以，得到： (6.

10、10)假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將代入上式，得到頻率響應(yīng) (6.11)設(shè)，由式(6.11)得到 (6.12)在平面上，用一根由零點(diǎn)指向單位圓（）上任一點(diǎn)B的向量表示，同樣用一根由極點(diǎn)指向單位圓（）上任一點(diǎn)B的向量來(lái)表示，和分別稱(chēng)為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，用極坐標(biāo)表示為： ，。將和表示式代入式(6.12)，得到 (6.13) (6.14)系統(tǒng)或者信號(hào)的頻率特性由式(6.13)和式(6.14)確定。按照式(6.13)，知道零極點(diǎn)的分布后，可以很容易地確定零極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)特性的影響。當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)到極點(diǎn)附近時(shí)，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短，因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)愈靠近單位圓，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度愈短，峰值愈高愈尖銳。如果極點(diǎn)在單位圓

11、上，則幅度特性為，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于零點(diǎn)，情況相反，當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)到零點(diǎn)附近時(shí)，零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值，且零點(diǎn)愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當(dāng)零點(diǎn)在單位圓上時(shí)，谷值為零。綜上所述，極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷值位置及形狀。Matlab提供了專(zhuān)門(mén)用于求離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的函數(shù)freqz(),其調(diào)用格式如下：H,w = freqz(b,a,n)：返回?cái)?shù)字系統(tǒng)的n點(diǎn)頻率值（復(fù)數(shù)），這n個(gè)點(diǎn)均勻地分布在0，上，系統(tǒng)默認(rèn)的采樣點(diǎn)數(shù)目為512點(diǎn)；H,f = freqz(b,a,n,Fs)：用于對(duì)在0，F(xiàn)s/2上等間隔采樣n點(diǎn)，采樣點(diǎn)頻率及相應(yīng)的頻響值分別存放在f和H中

12、。H = freqz(b,a,w)：用于對(duì)在0，2上進(jìn)行采樣，采樣頻率點(diǎn)由w指定。H = freqz(b,a,f,Fs)：用于對(duì)在0，F(xiàn)s上進(jìn)行采樣，采樣頻率點(diǎn)由f指定。freqz(b,a,n)：用于在當(dāng)前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線(xiàn)。下面介紹幾個(gè)實(shí)用的函數(shù)：mag=abs(H):求解系統(tǒng)的絕對(duì)幅頻響應(yīng)；db=20*log10(mag+eps)/max(mag)：求解系統(tǒng)的相對(duì)幅頻響應(yīng)；pha=angle(H): 求解系統(tǒng)的相頻響應(yīng)；grd=grpdelay(b,a,w): 求解系統(tǒng)的群延遲。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1. 某離散LSI系統(tǒng)的差分方程表示式為滿(mǎn)足初始條件，求系統(tǒng)的單位響應(yīng)，單位階躍

13、響應(yīng)，用filter子函數(shù)求系統(tǒng)輸入為時(shí)的零輸入、零狀態(tài)及全響應(yīng)。提示：通過(guò)解差分方程，可以得到全響應(yīng)為，使用filter子函數(shù)對(duì)系統(tǒng)差分方程進(jìn)行求解，同時(shí)將求解結(jié)果與理論計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較。2. 一簡(jiǎn)單的數(shù)字微分器它計(jì)算輸入序列的后向一階差分。當(dāng)數(shù)字微分器的輸入為以下序列時(shí)，計(jì)算、畫(huà)出輸出序列，并對(duì)該數(shù)字微分器的實(shí)用性進(jìn)行評(píng)價(jià)。（1）矩形脈沖：（2）三角脈沖：（3）正弦脈沖：3. 已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求該系統(tǒng)的零極點(diǎn)及零極點(diǎn)分布圖，并判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。4. 已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為繪出系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖，系統(tǒng)在頻率范圍內(nèi)的絕對(duì)幅頻響應(yīng)、相對(duì)幅頻響應(yīng)、相位頻率響應(yīng)和群延遲，并觀察零

14、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的關(guān)系。5. 觀察系統(tǒng)零極點(diǎn)的位置對(duì)幅頻響應(yīng)的影響。已知一階離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，（1）假設(shè)系統(tǒng)的零點(diǎn)在原點(diǎn)，極點(diǎn)分別取0.2、0.5、0.8，比較它們的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，（2）假設(shè)系統(tǒng)的極點(diǎn)在原點(diǎn)，零點(diǎn)分別取0.2、0.5、0.8，比較它們的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，從中總結(jié)零極點(diǎn)位置對(duì)幅頻響應(yīng)的影響。二、 實(shí)驗(yàn)處理：3.1 MATLAB源代碼：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)clearb=1 ,-1.5 ,0.5;a=1;N=20;n=1:N;yim=impz(b,a,N);stem(n,yim,.);單位階躍響應(yīng)clearb=1 ,-1.5 ,0.5;a=1;N=20;m=1:N;n=m;yst

15、=stepz(b,a,N);stem(n,yst,.);零輸入、零狀態(tài)及全響應(yīng)cleara=1 ,-1.5 ,0.5;b=1;N=20;n=0:N-1;x0=zeros(1,N);y0=4,10;x=0.25.n;zi=filtic(b,a,y0);yzi=filter(b,a,x0,zi);zi1=filtic(b,a,0);yzs=filter(b,a,x,zi1);y=filter(b,a,x,zi);yy=0.5.n+(1/3)*(1/4).n+2/3;subplot(2,3,1),stem(n,x,.); title(輸入信號(hào));subplot(2,3,2),stem(n,yzi,.

16、);title(系統(tǒng)的零輸入響應(yīng));subplot(2,3,3),stem(n,yzs,.);title(系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng));subplot(2,3,4),stem(n,y,.);title(系統(tǒng)的全響應(yīng));subplot(2,3,5),stem(n,yy,.);title(理論計(jì)算的系統(tǒng)全響應(yīng));3.2 MATLAB源程序clearN1=30;N2=30;N3=120;n1=0:N1;n2=0:N2;n3=0:N3;y1=x1(n1)-x1(n1-1);y2=x2(n2)-x2(n2-1);y3=x3(n3)-x3(n3-1);subplot(3,1,1);stem(n1,y1,.);sub

17、plot(3,1,2);stem(n2,y2,.);subplot(3,1,3);stem(n3,y3,.);其中函數(shù)u(n)、x1(n)、x2(n)分別定義為：function y=u(n)y=(n0);function y1=x1(n)y1=5.*(u(n)-u(n-20);function y2=x2(n)y2=n.*(u(n)-u(n-10)+(20-n).*(u(n-10)-u(n-20);function y3=x3(n)y3=sin(pi*n/25).*(u(n)-u(n-100);3.3MATLAB源程序：b=0.2 0.1 0.3 0.1 0.2;a=1 -1.1 1.5 -

18、0.7 0.3;z=roots(b) p=roots(a) subplot(221),zplane(b,a);title(系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖);subplot(223),impz(b,a,20);title(系統(tǒng)的單位響應(yīng));z =p = -0.5000 + 0.8660i0.2367 + 0.8915i -0.5000 - 0.8660i0.2367 - 0.8915i 0.2500 + 0.9682i0.3133 + 0.5045i 0.2500 - 0.9682i0.3133 - 0.5045i系統(tǒng)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，零點(diǎn)在圓上，為梳妝濾波器，系統(tǒng)穩(wěn)定。3.4MATLAB源程序：b=0.1

19、0 0.4 0 0.4 0 0.1;a=1 0 -0.3 0 0.6 0 -0.2;z=roots(b) p=roots(a) zplane(b,a);title(零極點(diǎn)分布圖);n=(0:500)*pi/500;figure(2)H,w=freqz(b,a,n);subplot(221),plot(w/pi,abs(H);grid axis(0 1 1.1*min(abs(H) 1.1*max(abs(H);title(絕對(duì)幅頻響應(yīng));subplot(222),plot(w/pi,angle(H);grid axis(0 1 1.1*min(angle(H) 1.1*max(angle(H)

20、;title(相頻響應(yīng));db=20*log10(abs(H); subplot(223),plot(w/pi,db);gridaxis(0 1 -100 5);title(相對(duì)幅頻響應(yīng)（dB）);grd=grpdelay(b,a,w); subplot(224), plot(w/pi,grd);gridtitle(群延遲);z = 0 + 1.6180i 0 - 1.6180i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i 0 + 0.6180i 0 - 0.6180ip = 0.6190 + 0.6304i 0.6190 - 0.6304i 0.5729 -0.6190 + 0.6304

21、i -0.6190 - 0.6304i -0.5729 3.5.1MATLAB源程序：b=0 1;m=0.2 0.5 0.8;for i=1:3a=1 -m(i);figure(i) z=roots(b) p=roots(a) subplot(311),zplane(b,a);title(零極點(diǎn)分布圖);n=(0:500)*pi/500;H,w=freqz(b,a,n);subplot(312),plot(w/pi,abs(H);grid axis(0 2 1.1*min(abs(H) 1.1*max(abs(H);title(絕對(duì)幅頻響應(yīng));db=20.*log10(abs(H); subp

22、lot(313),plot(w/pi,db);gridaxis(0 1 -10 6);title(相對(duì)幅頻響應(yīng)（dB）);endz = Empty matrix: 0-by-1p = 0.2000z = Empty matrix: 0-by-1p = 0.5000z = Empty matrix: 0-by-1p = 0.8000 MATLAB源程序：a=0 1;b=1 -0.2;/分別換做0.5、0.8z=roots(b); p=roots(a); subplot(211);zplane(a,b);title(零極點(diǎn)分布圖);n=(0:500)*pi/500;H,w=freqz(b,a,n);subplot(212),plot(w/pi,abs(H);grid axis(0 2 1.1*min(abs(H) 1.1*max(a