幾何圖形中的最值問題

1、2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林R幾何圖形中的最值問題引言：最值問題可以分為最大值和最小值。在初中包含三個(gè)方面的問題：1. 函數(shù):二次函數(shù)有最大值和最小值；一次函數(shù)中有取值范圍時(shí)有最大值和最小值。2. 不等式：如xw 7最大值是7;如x> 5，最小值是5.3. 幾何圖形：兩點(diǎn)之間線段線段最短。直線外一點(diǎn)向直線上任一點(diǎn)連線中垂線段 最短，在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。一、最小值問題B鎮(zhèn)*A鎮(zhèn)*|:燃?xì)夤芾?.如圖4，已知正方形的邊長(zhǎng)是 8, M在DC上，且DM=2 N為線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求 DN+MN勺最小值。解：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，則點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，連B

2、M交AC于N,連 DN 貝U DN+MNt短，且 DN+MN=BM/ CD=BC=8,DM=2, / MC=6,在 Rt BCM中 ,BM= , g262 =10, DN+MN勺最小值是10。例2，已知，MN是O O直徑上，MN=2點(diǎn)A在O O上，/ AMN=3&B是弧AN的中點(diǎn)，P是MN上的一動(dòng)點(diǎn)，貝U PA+PB的最小值是 解：作A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A,連AB,交MN于P,貝U PA+PB最短。連 ob oA,/ AMN=30b是弧AN的中點(diǎn)，/ BOA=30°,根據(jù)對(duì)稱性可知/ NOA=60°,MOA=900,在 Rt ABO中，OA=OB=1, AB=、2

3、即 PA+PB=、2例3.如圖6，已知兩點(diǎn) D(1,-3),E(-1,-4),試在直線y=x上確定一點(diǎn) P,使點(diǎn)P到DE兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出最小值。解：作點(diǎn)E關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)M連MD交直線y=x于P,連PE,貝U PE+PD最短；即 PE+PD=MD E(-1,-4), M(-4,-1),過M作MN/ x軸的直線交過 D作DN/ y軸的直線于 N,則 MN_ ND,又 T D(1,-3),則 N(1,-1),在 Rt MND中 ,MN=5,ND=2, MD= 5? 2? = 29。最小值是,29 。練習(xí)1. (2012山東青島3分)如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm底面周長(zhǎng)為18cm,

4、在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cmC旌蜜1812【解】如圖，圓柱形玻璃杯展開(沿點(diǎn)V4丨A豎直剖開)后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng) 18寬12的矩形,作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿 MN的對(duì)稱點(diǎn)B,連接BC交MN于點(diǎn)P,連接BM過點(diǎn)C作AB的垂線交剖開線 MA于點(diǎn)Do由軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP+ PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，且AP=BP由已知和矩形的性質(zhì)，得 DC=9 BD=12在 Rt BCD中，由勾股定理得 BC =*DC2 * BD2 = ： 92 T22 =15。:.AP+ PC=BPF PC=BC=15即螞蟻

5、到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cmo第4頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第5頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林圖13. （2009?陜西）如圖,在銳角 ABC中，AB= 4 - '，/ BAC=45°,Z BAC的平分線交BC于點(diǎn)D, M N分別是 AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝U BM + MN的最小值是解：過B作關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B,則B在AC上,且 AB=aB=4. ,MB=mB,B/MN最短，即為 B/H最短。在 Rt AHB中,Z BaH= 45°, aB=4. _, Bh=4, BM+ MN的最小值是 4.4.如圖，菱形 ABCD中, AB=2

6、 / A=120°，點(diǎn) P, Q K 分別為線段BC CD BD上的任意一點(diǎn)，貝y PK+QK勺最小值為解：四邊形 ABCD是菱形， AD/ BC/ A=120°，/ B=180° -Z A=180° - 120° =60°,作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn) P,連接 PQ PC則PQ的長(zhǎng)即為PK+Q啲最小值，由圖可知,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，CP丄AB時(shí)PK+QK的值最小,在 Rt BCP/中，T BC=AB=2 Z B=60° , CP/=BC ?sinB=2 x=第6頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第7頁共11頁20

7、14年幾何圖形中的最值問題谷瑞林5. （2012 蘭州）如圖，四邊形 ABCD中，/ BAD= 120°,/ B=Z D= 90°，在 BG CD上第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林6. （2011?貴港）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正 ABC中，E、F、G分別為AB AG BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 BP、GP則厶BPG的周長(zhǎng)的最小值是 解：要使厶PBG的周長(zhǎng)最小，而 BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，連接AG交EF于M等邊 ABC E、F、G分別為AB AC BC的中點(diǎn)， AGL BC E

8、F/ BC AGL EF, AM=MG - A、G關(guān)于EF對(duì)稱，即當(dāng)P和E重合時(shí)，此時(shí) BP+PG最小，即 PBG的周長(zhǎng)最小,AP=PG BP=BE最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案為：3.第8頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第9頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林7.（第二階段十三）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（9 , 0） , tan / BOA=',3點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2, 0）,點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為、67解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D,連接CD交OB于 P, 連接AP,過D

9、作DNL 0A于N,則此時(shí)PA+PC勺值最小, Rt OAB的頂點(diǎn) A的坐標(biāo)為（9, 0）,a OA=9J3_/ tan / BOA= ' AB=3、. 3 , / B=60° ,3/ AOB=30 ,a OB=2AB=6 311由三角形面積公式得：&oae= X OAX AB= X OB< AM22即 9X3. 3=6 3AM99 AM= , AD=2X=9 ,22/ AMB=90 , / B=60°, BAM=30 ,/ BAO=90 ,OAM=6°O ,/ DN OANDA=30 , aAN=12AD=9 ,由勾股定理得：DN=2AD2

10、 AN22J； 29.3第10頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林95/ C (2 , 0), CN=92=,； 923 l52 2在Rt DNC中 ,由勾股定理得： DC DN2 CN2即PA+PC的最小值是.67 ,8. （2013蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， Rt OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（3 , J3）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ 丄，0）,點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則厶PAC2周長(zhǎng)的最小值為（）解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D,連接CD交OB于P ,連接AP,、計(jì)3過D作DNL OA于N,"則此時(shí)PA+PC勺值最小，/ DP=PA - PA+PC=PD

11、+PC=CDB ( 3, V3), AB3 , OA=3 / B=60° ,由勾股定理得：OB=2/ ,OCA由三角形面積公式得：_X OA AB= ： X OBK AM2 2 AM= ；, AD=2X =3,2 2/ AMB=90，/ B=60°,AZ BAM=30 , / BAO=90，/ OAM=6°0 ,/ DNL OANDA=30 , AN=AD=；，由勾股定理得：DN=； 7,2 2 2/ C (2, 0), CN=3-丄衛(wèi)=1,2 2 2在Rt DNC中，由勾股定理得:即厶PAC周長(zhǎng)的最小值為 5 +2 29. ( 2013?徐州模擬.仿真一)在平面

12、直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(0, 0),( 20, 0)( 20 , 10)。在線段 AC AB上各有一動(dòng)點(diǎn) M N,則當(dāng)BM+M為最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是( )解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',過點(diǎn)B' 作 B' N丄 OB于 N, B'N 交 AC于 M 貝UB' N=B M+MN=BM+,MN' N 的長(zhǎng)就是 BM+MN勺最小值連接 OB ,交DC于P.四邊形 ABCD是矩形， DC/ AB,/ BAC=/ PCA點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是 B', / PAC=/ BAC/ PAC玄 PCA - PA=PC

13、令 PA=x,貝U PC=x PD=20-x.在 Rt ADP中，T pA=pD+AeJ,2 2 2 x = (20-x ) +10 , x=12.5 ./ cos / B' ON=co3 OPD - ON OB =DP OP ON 20=7.5 : 12.5 , ON=12/ tan / MON=tan/ OCD： MN ON=OD CD MN 12=10: 20,. MN=6點(diǎn)M的坐標(biāo)是（12, 6）.故答案為（12, 6）.10. 如圖，在矩形 ABCD中，AB=20,BC=10,在AC AB上各取一點(diǎn) M N,使得BM+M有最小值, 求最小值。解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱

14、點(diǎn)B',交AC 與E,連接B' M過B'作B，G丄AB于G,交AC于 F,由對(duì)稱性可知，B' M+MN=BM+MB，G當(dāng)且僅當(dāng)M與F、點(diǎn)N與G重合時(shí)，等號(hào)成立，AC=10 5 ,點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于 AC對(duì)稱， BE丄AC11 ab（=AB?BC22因/ B'BG+/ CBE=/ ACB+Z CBE=90 ,則/B'BG/ ACB又/ B'GB/ ABC=90得厶B'GBA ABCBZGAB_ BZB-AC16cm.B' G=16故 BM+M的最小值是故答案為：16cm.11.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)P

15、是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M N分別是BC得 BE=4 . 5 , BB =2BE=8 、5第12頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林CD邊上的中點(diǎn)，貝U PM+PN勺最小值是 解：作點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N',交AD 與N，連接Nm貝U Nm=ab最短。故答案為：MN=10cm12.（仿真六）如圖，正方形 ABCD的邊 長(zhǎng)為2, E是BC中點(diǎn).P是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與B、D不重合）（1）求證： APBA CPB（2）設(shè)折線EPC的長(zhǎng)為y,求y的最小值， 并說明點(diǎn)P此時(shí)的位置.解：AE= . 5 ,BD=2 2 ,第13頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林122可證

16、 BP= BD, BP= . 2,距 B 點(diǎn)一川2。33313. 如圖， ABC是等腰直角三角形，/ C=9d, BC=2 2 , B是三角形的角的平分線，點(diǎn)E、CF AC BC/=C/FBA AC 2運(yùn)二C乍4 2.2 CF=2, CE+EF的最小值是2.F是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，貝U CE+EF勺最小值解：作C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C,過 C作 CF± BC于 F,貝U CE+EF的最小值是CF。14. 如圖，已知梯形 ABCD中，AD/ BC,AD=DC=4,BC=8,N中 BC上, CN=2,E是 BC的中點(diǎn)，M是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 EM+MN勺最小值 解：作N點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N

17、 '，連接N 'ZDAC= ZACB，/DAC= ZDCA ,.ZACB=點(diǎn)N關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)N '在CD上，CN=CN又DC=4 ,EN '為梯形的中位線，,1EN = - (AD+BC ) =6 ,2EM+MN 最小值為：EN '=6 .16.已知等腰梯形 ABCD AD/ BC,AB=DC,AC平分/ BCD,BAL AC,若 AC=/3 ,P、M N分別是AC AD DC上的任意一點(diǎn)，貝U PM+PN勺最小值第14頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林解：作點(diǎn)N關(guān)于AC的對(duì) 稱點(diǎn)N,過N作BC的垂 線交 AD于 M,MN交 AC于 點(diǎn)P,則

18、MN最短是夾在第15頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林AD與BC間的垂線段最短?？芍? B=60：在Rt ABC中，AC=4、.3，則AB=4. 在 Rt ABH中，AH=sin60°X 4=上3 X 4=2、3 .即 PM+PN勺最小值是 2、3。2二，最大值問題知識(shí)點(diǎn)：求PA PB的最大值；A,B在直線I的同側(cè).A,B在直線I的兩側(cè).第16頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林1.兩點(diǎn)A,B在直線MN外的同側(cè),點(diǎn)

19、A到MN的距離 AC=8點(diǎn)B到MN的距離 BD=5,CD=4第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林OP在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則PA-PB的最大值是第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林第#頁共11頁2014年幾何圖形中的最值問題谷瑞林解：延長(zhǎng)AB交L于點(diǎn)P',VP/A-P/ B=AB 由三角形三邊關(guān)系可知 AB> |PA-PB| , AB> |PA-PB| ,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P'點(diǎn)時(shí),|PA-PB|最大,/ BD=5 CD=4, AC=8過點(diǎn) B 作 BEL AC 貝U BE=CD=4 AE=AC-BD=8-5=3