初中三角形總復(fù)習(xí)+中考幾何題證明思路總結(jié)

1、初中三角形總復(fù)習(xí)【知識(shí)精讀】1三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾顧次相接所組成的圖形叫做三角 形。2三角形中的幾條覓要線段：（1）三角形的角平分線（三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心）（2）三角形的中線（三條中線的交點(diǎn)叫重心）（3）三角形的高（三條高線的交點(diǎn)叫垂心）3.三角形的主要性質(zhì)（1）三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊：（2）三角形的內(nèi)角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和:（4）三角形中，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，人角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；（5）三角形具有穩(wěn)定性。4補(bǔ)充性質(zhì)：在4ABC中，D是BC邊上

2、任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)，則Saabe ' Sde = abde ' S/jcae °三角形是瑕常見(jiàn)的幾何圖形Z，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和口簾生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形 又是多邊形的一種，而且是最簡(jiǎn)單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形, 利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實(shí)際上對(duì)于一些曲線，也町以利用一系列的三角形去逼近 它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打卜堅(jiān)實(shí)的 基礎(chǔ)。5.三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用【分類(lèi)解析】A 10°< ZB<20°B 20°< ZB <30

3、76;C. 30°< ZB <45°D 45°< ZB <60°分析：因?yàn)锳ABC為銳角三角形，所以0°< ZB<90°又ZC = 2ZB, .-.0°<2ZB<90o.-.0°< ZB < 45°又 ZA為銳角，. ZA= 180°-( ZB+ ZC)為銳角.ZB+ ZC>90°.-.3ZB>90°,即 ZB >30°.30°< ZB <45°,故選擇 C

4、。例2選擇題：已知三角形的一個(gè)外角等于160° ,另兩個(gè)外角的比為2:3,則這個(gè)三角形 的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D.無(wú)法確定分析：由于三角形的外角和等于360° ,其屮一個(gè)角已知，另兩個(gè)角的比也知道，因此 三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出，進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。解：三角形的一個(gè)外角等于160°另兩個(gè)外角的和等于200。設(shè)這兩個(gè)外角的度數(shù)為2x, 3x2x+ 3x = 200解得：x=402x= 80, 3x = 120與80°相鄰的內(nèi)角為100。這個(gè)三角形為鈍角三角形應(yīng)選C例3如圖，已知：在AABC中，ABV丄

5、AC,求證：ZC<丄ZB。2 2分析:欲證ZC<丄ZB ,可作ZABC的平分線BE交AC于E,只要證ZC < ZEBC2即可。為與題設(shè)ABVAC聯(lián)系，又作AF/BE交CB的延長(zhǎng)線于F。2顯然ZEBC=ZF,只要證ZC< ZF即可。由AFV2ABVAC可得證。證明：作ZABC的角平分線BE交AC于E,過(guò)點(diǎn)A作AF/BE交CB的延長(zhǎng)線于F AF / /BE,.ZF = ZEBC, ZFAB = ZABE又 VBE 平分ZABC, A ZEBC = ZABE/. ZF= ZFAB, AAB=BF又VAB+FB>AF,即 2AB>AF又V AB<-AC, AC

6、 > AF2/. ZF > ZC,又V ZF =丄 ZABC2ZC <-ZB2例4已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長(zhǎng)的丄與丄之間。 64分析：首先應(yīng)根據(jù)己知條件，運(yùn)用邊的不等關(guān)系，找出最小邊，然后由周長(zhǎng)與邊的關(guān)系加以證明。證明如圖.設(shè)4ABC的三邊為a、b. c,其中a = 2c ,vb > a - c, a = 2c b > c因此，c是最小邊,/.b<3c因此，a+ b+c <2c + 3c+c ,即c > (a + b + c)6- (a + b + c) < c < (a + b + c)64故最小邊

7、在周長(zhǎng)的L與丄之間。64中考點(diǎn)撥：例1.選擇題：如圖是一個(gè)任意的五角星，它的五個(gè)頂角的和是()A 50B 100C. 180D 200分析：由于我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角、外角的知識(shí)，所以需要我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形 角的問(wèn)題。解： ZC+ZE= ZAGF, ZB + ZD = ZAFG ZA+ ZB+ ZC+ ZE+ ZD= ZA+ ZAGF+ ZAFG = 180°所以選擇C例2選擇題：已知三角形的兩邊分別為5和7,則第三邊x的范闈是()A人于2B.小于12C.人于2小于12 D.不能確定分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系應(yīng)有7 + 5>x>7-5,即12>x>2所以應(yīng)選

8、C例3.己知：P為邊長(zhǎng)為1的等邊AABC內(nèi)任-點(diǎn)。求證：-<PA+ PB+PC<22-5 -證明：過(guò)P點(diǎn)作EF/BC,分別交AB于E,交AC于F,則 ZAEP=ZABC = 60* ZEAP < ZEAF = 60°ZAPE > 60°在 AAEP , ZAPE > ZAEP, . .AE>AP ZAFE = ZACB = 60° , ZAEF = 60°AAEF是等邊三角形AF = EFAE > AP BE + EP > BPPF + FC > PC(AE + EB) + (EP + PE) + F

9、C > AP + BP + PCAB + EF + FC > AP + BP + PC AB+(AF + AC) > AP + BP + PC/. PB+ PA+ PC < AB+ AC = 2PA+ PB> ABPB+ PC > BCPC+PA>AC.2(PA+ PB+PC) > AB+ BC+ AC = 332 >PA+ PB+PC>-2題型展示：例1已知：如圖，在A ABC中，D是EC上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)。求證:(1) ZBEOZBAC：(2) AB+AC>BE+ECo分析：在(1)中，利用三角形內(nèi)角和定理的推論

10、即町證出在(2)中，添加一條輔助線.-7 -轉(zhuǎn)化到另一個(gè)三角形中，利用邊的關(guān)系定理即可證出。證明：(1) V ZBED是4ABE的一個(gè)外角，. ZBED > ZBAE同理，ZDEC> ZCAE/. ZBED+ ZDEC> ZBAE+ ZCAE即 ZBEC > ZBAC(2)延長(zhǎng)BE交AC于F點(diǎn) AB + AF > BE + EF又 EF + FC > ECAB + AF + EF + FC > EE + EF + EC即 AB+AOBE + EC例2求證：II角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45° o已知：如圖，在 4ABC

11、中，ZC = 90°, ZEAB. ZABD 是 4ABC 的外角，AF、BF分別平分ZEAB及ZABD。求證：ZAFB=45°分析：欲證 ZAFB=45° ,須證 ZFAB+ ZFBA= 135°VAF. BF分別平分ZEAB及ZABD要轉(zhuǎn)證ZEAB + Z ABD = 270°又ZC = 90° ,三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和問(wèn)題得證證明：V ZEAB = ZABC4-ZCZABD=ZCAB + ZCZABC+ ZC+ ZCAB = 180° , ZC=90° ZEAB+ ZABD= ZABC+

12、ZC+ ZCAB+ ZC = 180°+90°= 270°VAF. BF分別平分ZEAB及ZABDZFAB+ ZFBA= 一(ZEAB+ ZABD)=| x 270°= 135°在 A ABF 屮,ZAFB = 180°-( ZFAB+ ZFBA)= 45°【實(shí)戰(zhàn)模擬】1己知：三角形的三邊長(zhǎng)為3, & 1 + 2X,求x的取值范闈。2已知：A ABC中，AB= BC, D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，使AD = BC , ZBCA= a ,ZCAD = P 求a和0間的關(guān)系為?3.如圖，4ABC 中，ZABC、ZACB的平分線

13、交于 P 點(diǎn)，ZBPC = 134°,則 ZBAC =( )A 68°B 80°C. 88°D 46°4已知：如圖，AD是AABC的BC邊上高，AE平分ZBAC。求證：ZEAD =丄(ZC-ZB)25求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半。-# -【試題答案】分析：本題是三邊關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，只需用三邊關(guān)系確定第三邊的取值范閑叩町。 解：三邊長(zhǎng)分別為3, 8, 1 + 2X,由三邊關(guān)系定理得：5 <l + 2x<ll4 <2x <102 < x < 5解：v AB = BC, ZBCA=ZBA

14、C= a又 v AD = BC,AD = ABZD = ZB,又 VZBCA= ZD + ZBZD = a-p. :. ZB = a-p根據(jù)三角形內(nèi)角和，得：2a+ a-/7=18O°.3a 0=180。解：v ZBPC = 134°ZPBC + ZPCB= 46°又TBP、CP為ZB、ZC的平分線ZPBC = - ZABC, ZPCB= -ZACB2 2.ZPBC+ ZPCB= |(ZABC+ ZACB).ZABC + ZACB = 2x 46°= 92°ZBAC = 180°-ZABC- ZACB= 88°證明：ZEAD

15、= ZEAC - ZCADVAE 平分 ZB AC, .I ZE AC =丄 ZB AC2又VAD丄BC,. ZADC = 90° ZCAD = 90°-ZC又 ZBAC = 180°-ZB- ZC ZEAD = -ZBAC- ZCAD2=i-(180°-ZB- ZC) 一(90。一 ZC)= ZC-1ZB2 25.證明：如圖.設(shè)AABC的ZBAC和ZABC的外角平分線交于點(diǎn)DZE AD = -(ZC- ZB) ZFAB = Z ABC + ZACBZBAC + ZACB/. ZDAB+ ZDBA=|(ZFAB+ ZEBA)=|(ZABC+ ZBAC)

16、+ ZACB則 ZADB = 180°-( ZDAB + ZDBA)= (ZABC+ ZACB+ ZBAC)-(ZABC + ZBAC)- ZACB2=j(ZABC+ ZBAC)又 v-ZACG=i(ZABC+ ZBAC)2 2 ZADB= -ZACGo29v等腰三角形【知識(shí)精讀】（-）等腰三角形的性質(zhì)1有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形村兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并冃垂育于底邊.這就是說(shuō).等腰三角形的 頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60

17、76;。等腰三角形是以底邊的 垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；2.定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩 角相等，是今后證明兩角相等簾用的依據(jù)Z。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂 角的平分線“三線介一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條II線互相垂 直的匝要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定1有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也柑等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì) 等邊”。）推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：存一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如

18、果一個(gè)銳角等于30° ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一 半。2.定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系,它是證明線段相等的更要定 理，也是把三角形中角的和等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。3等腰三角形中常用的輔助線-15 -等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決冇關(guān)等腹三角形問(wèn) 題的輔助線，由于這條線町以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn)題, 在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí), 有時(shí)作哪條線都nJ以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視

19、具體情況 來(lái)定?！痉诸?lèi)解析】例L如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，£為8（?延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE = CD, DM丄BC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。A分析；欲證M是BE的中點(diǎn)，己知DM丄BC,所以想到連結(jié)BD證BD=ED°因?yàn)锳BC是等邊三角形，ZDBE=-ZABC,而由CE=CD,又可證ZE=- ZACB,所以Z12 2= ZE,從而問(wèn)題得證。證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)所以 Zl = ZABC2又因?yàn)镃E=CD,所以ZCDE=ZE所以 ZACB = 2ZE即 Z1 = ZE所以BD=BE,又DM丄BC,垂足為M所以M是BE的中點(diǎn)

20、（等腰三角形三線合一定理）例 2 如圖，已知：AABC 中，AB = AC , D 是 BC 上一點(diǎn)，且 AD = DB, DC = CA , 求ZBAC的度數(shù)。A分析：題中所要求的ZBAC在4ABC屮，但僅靠AB = AC是無(wú)法求出來(lái)的。因此需 要考慮AD = DB和DC = CA在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外 角的關(guān)系。因此町利用等腰三角形的*1：質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。解：因?yàn)锳B = AC,所以ZB = ZC因?yàn)锳D = DB ,所以ZB = ZDAB = ZC；內(nèi)為CA = CD,所以ZCAD = ZCDA （等邊對(duì)等角）而 ZADC = ZB + ZD

21、AB所以 ZADC = 2ZB, ZDAC = 2ZB所以 ZBAC = 3ZB又因?yàn)?ZB + ZC + ZBAC = 180<>即 ZB + ZC+3ZB = 180°所以 ZB = 36°即求得ZBAC = 108T說(shuō)明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角Z間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角 的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后 邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。2.注意“等邊対等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。3此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類(lèi)題目的常用方法。例 3 己知：如圖，AABC 中，AB =

22、AC, CD 丄 AB 于 D。求證：ZBAC = 2ZDCB «分析；欲證角Z間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，ZBAC是等腰三角形的頂角, 于是想到構(gòu)造它的一半，再證與ZDCB的關(guān)系。證明：過(guò)點(diǎn)A作AE丄BC于E, AB = AC所以Z1 = Z2 =丄ZBAC （等腰三角形的三線介一性質(zhì)）2因?yàn)?Zl + ZB = 90°又 CD 丄 AB,所以 ZCDB = 90°所以Z3+ZB = 90° （直角三角形兩銳角互余）所以Z1 = Z3 （同角的余角相等）即 ZBAC = 2ZDCB說(shuō)明：1作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，

23、構(gòu)造角的倍半關(guān)系。 因此添加底邊的高是一條常用的輔助線；2對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法， 對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法, 如構(gòu)造出ZDCB的等角等。4、中考題型：1 如圖，AABC 中，AB=AC, ZA=36° , BD、CE 分別為ZABC 與ZACB 的 角平分線，且相交于點(diǎn)F,則圖中的等腰三角形有（）A6個(gè)B7個(gè)C8個(gè)D9個(gè)分析：由己知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)町求得等腰三角形有8 個(gè)，故選擇C。2 ）己知：如圖.在AABC中，AB=AC, D是BC的中點(diǎn)，DE丄

24、AB, DF丄AC, E、F分別是垂足。求證：AE-AFoA證明：因?yàn)锳B = AC,所以ZB = ZC又因?yàn)镈E丄AB, DF丄AC所以 ZBED = ZCFD = 90°又D是BC的中點(diǎn)，所以DB = DC所以 ADEB = CFD(AA$所以BE = CF所以AE = AF說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD.通過(guò) AED = AAFD證明即可5、題形展示：例 1如圖，AABC 中，AB= AC, ZA=100°. BD 平分ZABC o求證：AD + BD = BCo,考慮到只需證明分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取BF=BD,只需證明= , Z1 = Z2 ,想到在BC上

25、截取BE = BA,連結(jié)DE,易得，則有AD = FD DE=CF,這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算町以得出CF=DF = DE。證明一：在BC上截取BE = BA, BF = BD ,連結(jié)DE、DF在4心。和4EBD 中，BA = BE, Z1 = Z2, BD = BDAABD = AEBD(SAS)AD = DE, ZBED = ZA = 100°/. ZDEF= 80°又 v AB = AC, ZA = 10(T ZABC = ZC= 1(180° -100°) = 40° Z1 = Z2 = -x40° = 20°2

26、而 BD = BFZBFD = ZBDF = -(180° - Z2) = -(180° - 20°) = 80° 2 2.ZDEF= ZDFE = 80°DE = DF/.ZDFE=80°, ZC= 40°. ZFDC= ZDFE一上C = 80° 40° = 40°/.ZFDC=ZC /.DF=FC AD = DE=DF=FCBC=BF+FC=BD + AD即 AD + BD = BC分析二：如圖，町以考慮延長(zhǎng)BD到E使DE=AD,這樣BD+AD=BD+DE=BE,只需證明BE=BC,由于Z

27、2 = 20°,只需證明ZE = ZBCE = 80°易證 ZEDC=ZADB = 180°-100o-20° =60° , ZBDC = 120°,故作 ZBDC 的 角平分線，則H AABD = AFBD ,進(jìn)而證明4DEC = ADFC ,從而町證出ZE = 80°。證明二：延長(zhǎng)BD到E,使DE=AD,連結(jié)CE,作DF平分ZBDC交BC于F。由證明一知：Z1-Z2-200, ZA-1OO0則有Z3 = 18(r-10(r-20<, =60°, Z6 = Z3 = 60°, ZBDC= 18(T

28、 -60° =120°VDF 平分 ZBDC/. Z4 = Z5 = 60°Z3 = Z4 = Z5 = Z6 = 60°,在虹。和4FBD 中vZ1 = Z2, BD = BD, Z3 = Z4AABLfe AFBIASAD = FD, ZBFD = ZA = 10(T ,而 AD = DE,. . DF = DE在 ADEC 和4DFC 中，DE = DF, Z5 = Z6, DC = DCAD E E AD F <(S A $ZE = ZDFC = 180° - ZBFD = 180° -100° = 80

29、76;在 ABCE 中，Z2 = 20°, Z3 = 80°ZBCE= 80°, ZE = ZB ClBC = BE, AD + BD = BC說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途 徑，讀者在以后的兒何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能 力。【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm, -腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為（）A 2cmB. 8cmC 2cm或8cmD 以上都不對(duì)2. 如圖，A ABC是等邊三角形，ZCBD = 90°, BD = BC ,則的度數(shù)是

30、。3求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上4 AABC't1. AB = AC, ZA = 120°, AB的中垂線交AB于D,交CA延長(zhǎng)線于E, 求證：DE = -BCo2-23 -【試題答案】2分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因?yàn)锳ABC是等邊三角形所以 AB= BC,ZABC = 60°因?yàn)锽D = BC,所以AB = BD所以Z3 = Z2在 AABD 中，因?yàn)閆CBD = 90 ZABC =60°所以ZABD = 150°,所以Z2= 15°所以 Z1 = Z2 + Z

31、ABC= 75°3分析：首先將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。已知：如圖，在AB = AC, D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就足證明OB = OC0而OB、OC在AABC中，于足想 到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有zi、Z2的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵贏 ABC中，AB = AC所以ZABC = ZACB （等邊對(duì)等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以DC = EB （中線定義）在4BCD和4CBE中，DC=EB（已證）<ZDCB = ZEEC（己證）BC=CB（公

32、共邊）所以 ZXBCD = ACBE（SAS）所以Z1 = Z2 （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）o所以O(shè)B = OC （等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)0在BC的垂直平分線上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常覓要的一步。特別是把“在 底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OB = OC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開(kāi)放題："ABC中，AB=AC, D、E分別為AC、AB 上的中點(diǎn)，BD、CE交于0。連結(jié)A0后，試判斷A0與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其 解決方法是和此題解法差不多的。4分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫(huà)出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系, 觀察圖

33、形,考慮取BC的中點(diǎn).證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線AF,垂足為F。-25 -# -在 4ABC 中，AB = AC, ZBAC=12（T所以 ZB = ZC = 30°31所以Zl = Z2 = 60 BF=-BC （等腰三角形三線合一性質(zhì)）。2所以Z3 = 60° （鄰補(bǔ)角定義）所以Z1 = Z3又因?yàn)镋D垂直平分AB,所以ZE = 30° （Hffl三角形兩銳角互余）°AD = -AB （線段垂直平分線定義）。22所以AD = AF又因?yàn)锳F = 2-AB （直角三角形中？0°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半）。在 RtAABF 和 RtAAED 中

34、,Z1 = Z3（己證）AF= AD（己 iiE）ZAFB=ZADE=90°所以 RtAABF = RtAAED（ASA）所以ED = BF即 ED =-BCo2說(shuō)明：（1）根據(jù)題總，先準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形，是解幾何題的項(xiàng)基本功:（2）直角三角形屮30°角的特殊關(guān)系，溝通了邊Z間的數(shù)量關(guān)系，為順利證明打通了思路。6、全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形：兩個(gè)全等三角形中, 互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)?；ハ嘀睾系倪吔袑?duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2.全等三角形的表示方法：若AABC和AA' B' C'是全等的

35、三角形，記作“ABC仝 A' B C'其中，“絲”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字 母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等：4尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角：以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊 是對(duì)應(yīng)邊。通常情況卜，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，因此, 由全等三角形的記法便町寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊：（3）通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)

36、全等三角形各種不同位豐關(guān)系的觀察和分析，町以看出其中一個(gè)是由另一個(gè) 經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。 翻折如圖（1） , ABOCPAEOD, ABOC nJ以看成是拉EOD沿直線A0翻折180。得到的； 旋轉(zhuǎn)如圖（2） , COD9ZSBOA, ACOD nf以看成是由ABOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180。得到的: 平移如圖（3） , ADEF也AACB, 2EF町以看成是rflAACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。5判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2）推論：角角邊定理6注意問(wèn)題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是

37、，a三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA： b :有兩邊和其中一 角對(duì)應(yīng)相等，即SSAo全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位管的r.Ho在平 面幾何知識(shí)應(yīng)用屮，若證明線段相等或角柑等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常 常需要借助全等三角形的知識(shí)?！痉诸?lèi)解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等例1：如圖，己知AD=AE,AB=AC求證：BF=FC分析：由已知條件町證出 ACDA ABE.而EF和FC分別位于 DBF和AEFC中, 因此先證明 ACDA ABE,再證明 DBFA ECF.既町以得到BF=FC.證明：在厶ACD和厶ABE中，p AE=AD ZA=ZA

38、I AB=AC.:. ACD 竺 ABE (SAS)ZB=ZC (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)又 J AD=AE,AB=AC. AB-AD=AC-AE即 BD=CE在4 DBF和4 ECF中rZB=ZC彳ZBFD=ZCFE (對(duì)頂角相等)Ibd=ceDBF 空 ECF (AAS) BF=FC (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)(2)證明線段平行例2：已知：如圖，DE丄AC, BF丄AC,垂足分別為E、F, DE=BF, AF=CE求證:ABCD分析：要證ABCD,需證ZC = ZA，而要證ZC=ZA,又需證 ABF絲 CDE由已 知 BF丄AC, DE丄AC,知ZDEC= ZBFA=90° ,且已知

39、 DE=BF, AF=CE 顯然證明 ABF 絲ACDE條件已具條，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證ZC=ZA,進(jìn)一步證明ABCD 證明：V DE丄AC, BF丄AC （己知）ZDEC=ZBFA=90°（垂直的定義）在 ABF 與 ZkCDE 中，r AF=CE （己知）- ZDEC = ZBFA（己證）DE=BF （已知） ABFA CDE （SAS）ZC = ZA （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ABCD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在厶ABC中，AB=AC,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,取AB的中點(diǎn)E, 連接

40、CD和CE 求證：CD=2CE分析：（i ）折半法：取CD中點(diǎn)F,連接BF,再證 CEBA CFB這里注意利用BF沁 ACD 中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F,連接BFBF=4 AC,I1BFAC （三角形中位線定理）ZACB=Z2 （兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）又丁 AB=ACZACB=Z3 （等邊對(duì)等角）Z3 = Z2在厶CEB與厶CFB中，BF=BEJ Z3=Z2lcB=CB CEBA CEB （SAS）CE=CF=4 CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即 CD=2CE（）加倍法證明：延長(zhǎng)CE到F,使EF=CE,連BF2 3：B在4 AEC與ABEF中，AE=BE< Z1 = Z2 （對(duì)頂

41、角相等）CE=FE AECA BEF （SAS）AC=BF, Z4=Z3 （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）BFAC （內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）/ ZACB+ZCBF=180°,ZABC+ZCBD=180°,又 AB=AC ZACB=ZABCZCBF=ZCBD （等角的補(bǔ)角相等）在厶CFB與厶CDB中，CB=CBf ZCBF=ZCBDLbf=bd CFBA CDB （SAS）CF=CD即 CD=2CE說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的 線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F,連BF（如圖）（B為AD中點(diǎn)是利用 這個(gè)辦法的重要前

42、提），然后證CE=BF（4）證明線段相互垂II例4：已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，AADC、ABDO為等腰三角形， AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。C分析：本題沒(méi)令I(lǐng)I接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后 再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察，可以猜測(cè)：AO=BC, AO丄BC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于E,在 ADO和 CDB中r AD=DC ZADO=ZCDB=90°I OD=DB ADOA CDB （SAS）AO=BC, ZOAD=ZBCD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）ZAOD = ZCOE （對(duì)頂角相等）/. ZCOE+Z

43、OCE=90°AO丄BC5、中考點(diǎn)撥：例1.如圖，在ZkABC中，AB=AC, E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D,連結(jié)ED,并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F,使DF=DE,連結(jié)FC.求證：ZF = ZA.分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中ZA、 ZF不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證WEF/7AC，因此把ZA通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到ABDE 中的ZBED,只要證 EBDAFCD即町.證明：AB=AC,/. ZACB=ZB,VEB=ED,ZACB=ZEDB.AED/7AC./. ZBED = ZA.VBE=EA.ABD = CD.又 DE=DF,

44、ZBDE=ZCDF ABDEACDF, ZBED = ZF. ZF = ZA.說(shuō)明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求 全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、 內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。例2如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)BA到E,并且使AE=BD, 連接CE、DE.求證：EC=EDE分析：把己知*件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過(guò)D點(diǎn)作DF/7AC 交BE于F點(diǎn)，證明 AECAFED即口J。證明：過(guò)D點(diǎn)作DFAC交BE于F點(diǎn) ABC為等邊三角形BFD為等邊三角形I BF=BD=FD*.

45、AE=BD/. AE=BF=FD AE-AF=BF-AF 即 EF=ABEF=AC在厶ACE和DFE中，EF=AC （己證）4 ZEAC=ZEDF （兩直線平行，同位角相等）I AE=FD （已證） AAECAFED （SAS） EC=ED （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）題型展示；例 1 如圖.AABC 中，ZC = 2ZB> Zl = Z2o 求證：AB=AC + CD分析：在AB上截収AE=AC,構(gòu)造全等三角形，AED竺ACD,得DE=DC,只需 證DE=BE問(wèn)題便可以解決.證明：在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE.V AE=AC Z1 = Z2> AD=AD, AAEDAACD, D

46、E=DC, ZAED = ZC. ZAED = ZB+ZEDB, ZC = 2ZB, 2ZB=ZB+ZEDB.即 ZB=ZEDB. EB=ED,即 ED=DC, AB=AC+DC.剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng) 線段上截収一段等于兩條短線段的一條,再證余卜的部分等于另一條短線段）：如作AE= AC是利用了角平分線是角的対稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延 長(zhǎng)-條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段 的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中 考命題的重點(diǎn)考

47、查的內(nèi)容.【實(shí)戰(zhàn)模擬】1下列判斷正確的是（）（A）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有-角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和-邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2.已知：如圖，CD丄AB于點(diǎn)D, BE丄AC于點(diǎn)E, BE、CD交于點(diǎn)O,且AO平分ZBAC.求 證：OB=OC.3如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，AACM和ACBN都是等邊三角形，AN利CM柑 交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：ZiCEF是等邊三角形。-35 -ME4如圖，在中，AD為BC邊上的中線.求證：AD<g (AB+AC)E-

48、# -# -5.如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90° , D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AE丄CD于E,BF丄CD交CD的延長(zhǎng)線于F, CH1AB于H點(diǎn)，交AE于G.求證：BD = CG【試題答案】ID2證明：I AO平分ZODB, CD丄AB于點(diǎn)D, EE丄AC于點(diǎn)E, BE、CE交于點(diǎn)O, OD = OE, ZODB=ZOEC=90。，ZBOD = ZCOE。 ABODACOE (ASA).OB = OC3分析rtlZACM=ZBCN=60°,知ZECF=60。，欲證ACEF是等邊三角形，只要證明ACEF 是等腰三角形。先iiEACANZlCB,得Z1=Z2再證ACFNA

49、CEB,即叮推得ACEF是等邊 三角形的結(jié)論。證明：在AC AN和AMCB,/ AC=MC, CN=CB,ZCAN=ZL1CB=12O°,AAACNAhlCB 中，ZFCB和ACEB中，VZFCN=ZECB=60°, Z1=Z2, CN=CB,/.ACFNACEB, /. CF=CE,又 VZECF=60°,CEF是等邊三角形.4分析：關(guān)于線段不等的問(wèn)題，一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來(lái)討論，由于AB、 AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段 相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來(lái)完成，注意AD是BC邊上的中線，延

50、長(zhǎng) AD至E,使DE=AD,即町得到 ACD也AEBD.證明：延長(zhǎng)AD到E,便DE=AD,連結(jié)BE在AACD與AEBD中"AD 二 ED （作法）； < ZADC = ZEDB （對(duì)頂角相等）CD = BD （已知） AACDAEBD （SAS）AC=EB （全等三角形對(duì)應(yīng)邊柑等）在AABE中，AB+EBAAE （三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AO2AD （等量代換）即AD<£ （AB + AC）說(shuō)明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。5分析：由于BD與CG分別在兩個(gè)三角形中，欲證BD與CG相等，設(shè)法證厶CGEABDFo由于全等條件不充分，町

51、先證 AECACFB證明：在RtAAEC與RtACFB中，AC=CB, AE丄CD于E, BF丄C交CD的延長(zhǎng)線于F ZAEC = ZCFB = 90°又 ZACB = 90° ZCAE=90° -ZACE=ZBCF RtAAECRtACFBCE=BF在 RtABFD 與 RtACEG 中，ZF=ZGEC=90° , CE=BF,由 ZFBD=90° -ZFDB=90° -ZCDH=ZECG, RtABFDA CEGBD = CG三角形總復(fù)習(xí)【知識(shí)精讀】1三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角和定理：2.三角形中三邊之間的關(guān)系定理及其推論；

52、3全等三角形的性質(zhì)與判定；4特殊三角形的性質(zhì)與判定（如等腰三角形）：5. II角三角形的性質(zhì)與判定。三角形一章在平面幾何中占有十分求要的地位。從知識(shí)上來(lái)看，許多內(nèi)容應(yīng)用十分廣泛, 可以解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；從證題方法來(lái)看，全等三角形的知識(shí)，為我們提供了一個(gè)及 為方便的工貝，通過(guò)證明全等，解決證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，從而解決平行、垂直 等問(wèn)題。內(nèi)此，它揭示了研處封閉圖形的一般方法，為以后的學(xué)習(xí)提供r研究的工只。內(nèi)此, 在學(xué)習(xí)中我們應(yīng)該多總結(jié)，多歸納，使知識(shí)更加系統(tǒng)化，解題方法更加規(guī)范，從而提高我們 的解題能力?！痉诸?lèi)解析】1.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用例1如圖1,己知4ABC中，ZBAC =

53、 90° , AD丄BC于D, E是AD上一點(diǎn)。求證：ZBED > ZC圖1證明：由AD丄BC于D,可得ZCAD=ZABC又 ZABD = ZABE + ZEBD則 ZABD > ZEBDM證 ZCAD > ZEBD即 ZBED > ZC說(shuō)明：在角度不定的情況卜比較兩角興小，如果能運(yùn)用三角形內(nèi)角和都等于180°間接求得。2-三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用例2己知：如圖2,在AABC中，AB>AC，AM是BC邊的中線。 求證：AM >1(AB- AC)27D證明：延長(zhǎng)AM到D,使MD=AM,連接BD在4CMA和4BMD 屮，AM = DM, ZAMC

54、= ZDMB, CM = BM在 AABD 中，ABBDvAD,而 AD = 2AMAB- AC <2AMAM >|（AB- AC）說(shuō)明：在分析此問(wèn)題時(shí)，首先將求證式變形，得2AM>ABAC,然后通過(guò)倍長(zhǎng)中 線的方法，相為于將厶AMC繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型的全等三角形，把AC、AB、2AM 轉(zhuǎn)化到同一三角形中，利用三角形三邊不等關(guān)系，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。很自然有 -(AB - AC)< AM <-(AB+ AC)o請(qǐng)同學(xué)們自己試著證明。2 23角平分線定理的應(yīng)用例3.如圖3, ZB = ZC = 90° , M是BC的中點(diǎn)，DM平分ZADC

55、。求證：AM平分DAB。圖3證明：過(guò)M作MG丄AD于G, TDM平分ZADC, MC丄DC, MG丄ADMC=MG （在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）VMC=hlB, MG=MB而MG丄AD, MB丄ABM在ZADC的平分線上（到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）.DM 平分ZADC說(shuō)明：本題的證明過(guò)程中先使用角平分線的定理是為判定定理的運(yùn)用創(chuàng)造J'條件MG=MB。同時(shí)要注恿不必證明三角形全等，否則就是重復(fù)判定定理的證明過(guò)程。4. 全等三角形的應(yīng)用（1）構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題例4己知如圖4, A ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，ABDC是頂角（ZBDC）為120

56、6;的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，它的兩邊分別交AB于M,交AC于N, 連結(jié)M16求證：4AMN的周長(zhǎng)等于2。A圖4分析：欲證AAMN的周長(zhǎng)等于2,需證明它等于等邊AABC的兩邊的長(zhǎng)，只需證MN = BM + CN。采用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法來(lái)解決。證明：以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將ZXDBM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位員，點(diǎn)M 落在點(diǎn)的位置。得：ZMBD=ZNCD = 90°RiAMBD = RiAMrCD ZDCMf= ZDBM = 90°ZNCD 與 ZDCM1 構(gòu)成平角.且 BM=CMU DM=DM ZNDM= ZNDC+ZCDM1= ZNDC+ZBDM=120° -60° =60°在AMDN和厶MfDN中.DM = DMf, ZMDN = ZMfDN = 60° , DN = DN/. AMDlfe AMfDN (SAS).MN = M，Nv MrN = MfC+CN = BM + CNMN = BM + CN AAMN 的周長(zhǎng)=/SM+巫+ MN= AM+AN + BM + CN= AB+AD = 2 說(shuō)明：通過(guò)旋轉(zhuǎn)，使己知圖形中的角、線段充分得到利用，促進(jìn)