(新課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)名校尖子生培優(yōu)大專題高頻考點(diǎn)之多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算

1、（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 高頻考點(diǎn)分析之多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算 新人教A版12講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，38講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，912講對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，立體幾何試題是考查空間想象能力，邏輯思維能力和演繹推理能力的基本載體近幾年高考立體幾何試題以基礎(chǔ)題和中檔題為主，熱點(diǎn)問題主要有證明點(diǎn)線面的關(guān)系。考查的重點(diǎn)是點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間距離和空間角，突出空間想象能力。在課程標(biāo)準(zhǔn)中，立體幾何的內(nèi)容和考查要求有了較大的變化：增加了三視圖，更強(qiáng)調(diào)幾何直觀，幾何證明有所削弱，淡化了

2、距離問題。因此，在復(fù)習(xí)中，以基本知識(shí)，基本方法為基礎(chǔ)，以通性通法為重點(diǎn)，培養(yǎng)空間幾何體的直觀認(rèn)知能力和邏輯推理能力。一般來說，平面向量在高考中所占份量較大，我們從以下五方面探討立體幾何問題的求解：1. 多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算；2. 由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計(jì)算：3. 關(guān)于線線、線面及面面平行的問題；4. 關(guān)于線線、線面及面面垂直的問題；5. 關(guān)于空間距離和空間角的問題。一、多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算：典型例題：例1.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為【 】 【答案】。【考點(diǎn)】三棱錐的性質(zhì)。【解析】的外接圓的半徑，點(diǎn)到

3、面的距離。 又為球的直徑，點(diǎn)到面的距離為。 此棱錐的體積為。故選。例2.平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為 【 】（A） （B）4 （C）4 （D）6【答案】B?！究键c(diǎn)】點(diǎn)到平面的距離，勾股定理，球的體積公式?！窘馕觥坑晒垂啥ɡ砜傻们虻陌霃綖?，從而根據(jù)球的體積公式可求得該球的體積為：。故選B。例3.如下圖，已知正四棱錐所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數(shù)的圖像大致為【 】【答案】A?！究键c(diǎn)】棱錐的體積公式，線面垂直，函數(shù)的思想。【解析】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問題，若函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求

4、時(shí)，作為選擇題，可采用定性排它法：觀察圖形可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大， 單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越快，不是的線性函數(shù)，可排除C，D。當(dāng)時(shí)，隨著的增大， 單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越慢，可排除B。只有A圖象符合。故選A。如求解具體的解析式，方法繁瑣，而且計(jì)算復(fù)雜，很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄，并且作為選擇題也沒有太多的時(shí)間去解答。我們也解答如下：連接AC，BD，二者交于點(diǎn)O，連接SO，過點(diǎn)E作底面的垂線EH。 當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí)，SBSDBCCD，SEBE，SEDE。SE面BDE。當(dāng)時(shí)，截面為三角形EBD，截面下面部分錐體的底為BCD。又SASC1，AC，SO。此時(shí)。當(dāng)時(shí)，截面與AD和A

5、B相交，分別交于點(diǎn)F、D，設(shè)FG與AC相交于點(diǎn)I，則易得。由EHSO，得，即。由EISA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。當(dāng)時(shí)，截面與DC和BC相交，分別交于點(diǎn)M、N，設(shè)MN與AC相交于點(diǎn)J，則易得。由EHSO，得，即。由EJSA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。綜上所述，。結(jié)合微積分知識(shí)，可判定A正確。例4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式。人們還用過一些類似的近似公式。根據(jù)=3.14159.判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是【 】A. B. C. D. 【答

6、案】D?！究键c(diǎn)】球的體積公式以及估算?！窘馕觥坑汕虻捏w積公式得，由此得。對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證： 對(duì)于A. 有，即；對(duì)于B. 有，即；對(duì)于C. 有，即；對(duì)于D. 有，即；中的數(shù)值最接近。故選D。例5.設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】A?！究键c(diǎn)】異面直線的判定，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，勾股定理和余弦定理的應(yīng)用?！痉治觥咳鐖D所示，設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，取中點(diǎn)P，連接，所以，在中，由勾股定理得=。在中，。，。故選A。例6.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .【答案】。【考點(diǎn)】空間幾何體的體積公式和側(cè)

7、面展開圖?！窘馕觥扛鶕?jù)該圓錐的底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，根據(jù)條件得到，解得母線長(zhǎng)，所以該圓錐的體積為：。例7.一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為，該圓柱的表面積為 【答案】?！究键c(diǎn)】圓柱的表面積。【解析】根據(jù)該圓柱的底面周長(zhǎng)得底面圓的半徑為，所以該圓柱的表面積為：。例9.如圖，與是四面體中互相垂直的棱，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是 .【答案】?！究键c(diǎn)】四面體中線面的關(guān)系，橢圓的性質(zhì)?！窘馕觥孔饔?，連接，則，平面。又平面，。 由題設(shè)，與都在以為焦距的橢球上，且、都垂直于焦距所在直線。=。 取中點(diǎn)，連接，。四面體的體積。顯然，當(dāng)在中點(diǎn)，即是短軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值為。例10.如圖，正方體A

8、BCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1。E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1EDF的體積為 ?！敬鸢浮俊究键c(diǎn)】三棱錐的面積。【解析】三棱錐與三棱錐表示的是同一棱錐，。 又的底DD1E的面積是正方形面積的一半，等于；底DD1E上的高等于正方形的棱長(zhǎng)1， 。例11.若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，則 _.(寫出所有正確結(jié)論編號(hào)) 四面體每組對(duì)棱相互垂直四面體每個(gè)面的面積相等從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互垂直平分從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)【答案】?！究键c(diǎn)】四面體的性質(zhì)?！窘馕觥克拿骟w每組對(duì)棱不相互垂直，命題錯(cuò)誤；四面體每個(gè)面是全等三角形，面積相等，命題正確； 從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于，命題錯(cuò)誤； 連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分，命題正確；例12.已知點(diǎn)是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形。若,則OAB的面積為 .【答案】?！究键c(diǎn)】組合體的的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。【解析】點(diǎn)是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD， 點(diǎn)為球O內(nèi)接長(zhǎng)