線性代數(shù)：4解結(jié)構(gòu)和子空間

1、14.5 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)2回顧：線性方程組的解的判定回顧：線性方程組的解的判定1.包含包含 n 個未知數(shù)的齊次線性方程組個未知數(shù)的齊次線性方程組 Ax = 0 有有非零解非零解的充的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) n 2.包含包含 n 個未知數(shù)的非齊次線性方程組個未知數(shù)的非齊次線性方程組 Ax = b 有解的充分有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) = R(A, b)，并且，并且p當(dāng)當(dāng)R(A) = R(A, b) = n時，方程組有時，方程組有唯一解唯一解；p當(dāng)當(dāng)R(A) = R(A, b) n時，方程組有時，

2、方程組有無限多個解無限多個解3引言引言問題：問題：什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？答：答：所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無限所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無限 多個解時，解與解之間的相互關(guān)系多個解時，解與解之間的相互關(guān)系備注：備注：l當(dāng)方程組存在唯一解時，無須討論解的結(jié)構(gòu)當(dāng)方程組存在唯一解時，無須討論解的結(jié)構(gòu)l下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解4解向量的定義解向量的定義定義：定義：設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 Ax = 0 ，如果，如果x1 = x x11， x2 = x x21，.， xn = x xn

3、1為該方程組的解，則為該方程組的解，則稱為方程組的稱為方程組的解向量解向量11211nx xx xx xx x 5齊次線性方程組的解的性質(zhì)齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：若若 x = x x1， x = x x2 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，的解， 則則 x = x x1 + + x x2 還還是是 Ax = 0 的解的解證明：證明： A(x x1 + + x x2 ) ) = Ax x1+ Ax x2 = 0 + 0 = 0 性質(zhì)性質(zhì)2：若若 x = x x 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，的解，k 為實數(shù)，為實數(shù)， 則則 x = kx x

4、 還還是是 Ax = 0 的解的解證明：證明： A( kx x ) ) = k ( Ax x ) = k 0 = 0 結(jié)論：結(jié)論：若若 x = x x1, , x = x x2, ., , x = x xt 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，的解， 則則 x = k1x x1 + k2x x2 + + ktx xt 還還是是 Ax = 0 的解的解. .6結(jié)論：結(jié)論：若若 x = x x1, , x = x x2, ., x = x xt 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，的解， 則則 x = k1x x1 + k2x x2 + + ktx xt 還還是

5、是 Ax = 0 的解的解. .p已知齊次方程組已知齊次方程組 Ax = 0 的幾個解向量，可以通過這些解的幾個解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解向量的線性組合給出更多的解p能否通過能否通過有限個解向量的線性組合有限個解向量的線性組合把把 Ax = 0 的解全部表的解全部表示出來？示出來？p把把 Ax = 0 的全體解組成的集合記作的全體解組成的集合記作 S，若求得，若求得 S 的一個的一個極大無關(guān)組極大無關(guān)組S0：x = x x1, , x = x x2, ., , x = x xt ，那么，那么Ax = 0 的的通解可表示為通解可表示為 x = k1x x1 + k2x x2

6、 + + ktx xt p齊次線性方程組的解集的極大無關(guān)組稱為該齊次線性方齊次線性方程組的解集的極大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系（不唯一）（不唯一）7基礎(chǔ)解系的概念基礎(chǔ)解系的概念定義：定義：齊次線性方程組齊次線性方程組 Ax = 0 的一組解向量：的一組解向量：x x1 1, , x x2 2, , ., x xr如果滿足如果滿足 x x1 1，x x2 2，.，x xr 線性無關(guān)；線性無關(guān)；方程組中任意一個解都可以表示方程組中任意一個解都可以表示x x1 1, , x x2 2, , ., x xr 的線性組合，的線性組合，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個那么稱這組解

7、是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系定理：定理：設(shè)設(shè) mn 矩陣的秩矩陣的秩 R(A) = r，則，則 n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 8后后 n - r 列列 前前 r 列列 設(shè)設(shè) R(A) = r ，為敘述方便，為敘述方便，不妨設(shè)不妨設(shè) A 行最簡形矩陣行最簡形矩陣為為對應(yīng)的齊次線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組令令 xr+1, , xn 作自由變量，則作自由變量，則111,212,1,100010001000000000000000n rn rrr n rm nbbbbbbB 11111,22112,11,0,0,0.rn r

8、nrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx+ + + 11111,22112,11,.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx+ 9111 11,1 1,11n rn rrrr n rn rrnn rxb cbcxb cbcxcxc+ + 令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，則，則齊次線性方齊次線性方程組的通解程組的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+ 記作記作 x = c1x x

9、1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r （滿足基礎(chǔ)解系（滿足基礎(chǔ)解系） + + + + + 100010001, 121221111rnrrnrnrrbbcbbcbbc1011121,21222,1,2,12(,)100010001n rn rrrr n rn rbbbbbbbbbx xxx xx n r 列列前前 r 行行后后 n r 行行故故 R(x x1, x x2 , , x xn-r ) = n r ，即即 x x1, x x2 , , x xn-r 線性無關(guān)線性無關(guān) （滿足基礎(chǔ)解系（滿足基礎(chǔ)解系）于是于是 x x1, x x2 , , x xn-r 就是齊次線性方程組就

10、是齊次線性方程組 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系11111 11,1 1,1122n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcxb cbcxcxcxc+ + + 令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，則，則齊次線性方齊次線性方程組的通解程組的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+ 記作記作 x = c1x x1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r + + + + + 100010001, 121221111rnrr

11、nrnrrbbcbbcbbc下面我們直接下面我們直接給出基礎(chǔ)解系給出基礎(chǔ)解系1212100010,001rrnxxx+ + + 11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx+ 此即為此即為 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系通解為通解為 x x = c1x x1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r 1,111122,22122,12,n rn rr n rrrrbxbbbxbbbxbb ，則，則令令 100,010,001, 121221111rnrrnrnrrbbbbbbx x

12、x xx x13基礎(chǔ)解系的求解基礎(chǔ)解系的求解例：例：求齊次線性方程組求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系方法方法1：先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx+ + + 121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx+ + 1342343423xxxxxx + + 即即14令令x3 = c1， x4 = c2， 得通解表達(dá)式得通解表達(dá)式1122121211223142343423231001xccxccccccxcxcx xx x + + + + + +

13、因為因為 方程組的任意一個解都可以表示為方程組的任意一個解都可以表示為x x1, , x x2 的線性組合的線性組合x x1, , x x2 的四個分量不成比例，所以的四個分量不成比例，所以 x x1, , x x2 線性無關(guān)線性無關(guān)所以所以x x1, , x x2 是原方程組的基礎(chǔ)解系是原方程組的基礎(chǔ)解系15方法方法2：先求出基礎(chǔ)解系，再寫出通解先求出基礎(chǔ)解系，再寫出通解121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx+ + 1342343423xxxxxx + + 即即令令3410,01xx 1234,23xx 123423, 1001xxx

14、x 合起來便得到基礎(chǔ)解系合起來便得到基礎(chǔ)解系，得，得16定理：定理：設(shè)設(shè) mn 矩陣的秩矩陣的秩 R(A) = r，則，則 n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 例：例：設(shè)設(shè)AmnBnl = O （零矩陣），證明（零矩陣），證明R(A) + R(B) n 例：例：證明證明 R(ATA) = R(A) 例：例：設(shè)設(shè) n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 與與Bx = 0 同解，證明同解，證明R(A) = R(B) 17非齊次線性方程組的解的性質(zhì)非齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)3：若若 x = h h1， x = h h2

15、是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 Ax = b 的解，的解，則則 x = h h1 h h2 是對應(yīng)的齊次線性方程組是對應(yīng)的齊次線性方程組 Ax = 0 （導(dǎo)出組）（導(dǎo)出組）的的解解證明：證明： A(h h1 h h2 ) ) = Ah h1 Ah h2 = b b = 0 性質(zhì)性質(zhì)4：若若 x = h h 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 Ax = b 的解，的解， x = x x 是是導(dǎo)出組導(dǎo)出組 Ax = 0 的解，則的解，則 x = x x + h h 還還是是 Ax = b 的解的解證明：證明： A(x x + h h ) ) = Ax x + Ah h = 0 + b =

16、b 18根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3 和性質(zhì)和性質(zhì)4 可知可知n若若 x = h h* 是是 Ax = b 的解，的解， x = x x 是是 Ax = 0 的解，那么的解，那么 x = x x + h h* 也也是是 Ax = b 的解的解n設(shè)設(shè) Ax = 0 的通解為的通解為 x x = c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r 于是于是 Ax = b 的通解為的通解為h h = c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r +h h*19例：例：求線性方程組求線性方程組 的通解的通解 1234124123422323 5570 xxxxxxxxxxx+ + + 解：解：

17、容易看出容易看出 是方程組的一個特解是方程組的一個特解 其對應(yīng)的齊次線性方程組為其對應(yīng)的齊次線性方程組為根據(jù)前面的結(jié)論，導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為根據(jù)前面的結(jié)論，導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為*1100h h 1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx+ + + 123423, 1001xxxx 20于是，原方程組的通解為于是，原方程組的通解為*112212341231100010cccch hx xx xh h + + + + + + 21子空間子空間 (向量空間向量空間)的概念的概念定義：定義：如果如果n維向量空間維向量空間 Rn 的非空子集合的非空子集合 V 中的向量對中的向量對加法

18、及數(shù)乘兩種運算是加法及數(shù)乘兩種運算是封閉的封閉的，則稱，則稱 V 是是 Rn 的的子空間子空間 例：例：1. n 維向量的全體維向量的全體 Rn2.集合集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 3.集合集合 V2 = (1, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：解：V1 是是 Rn 的子空間，的子空間，V2 不是不是 Rn 的子空間的子空間22向量空間的基的概念向量空間的基的概念定義：定義：設(shè)有設(shè)有向量空間向量空間 V ，如果在，如果在 V 中能選出中能選出 r 個向量個向量a1, a2, , ar，滿足，滿足 a1, a2, , ar 線性無關(guān)；線性

19、無關(guān)； V 中任意一個向量都能由中任意一個向量都能由 a1, a2, , ar 線性表示；線性表示；那么稱向量組那么稱向量組 a1, a2, , ar 是是向量空間向量空間 V 的一個的一個基基r 稱為稱為向量空間向量空間 V 的維數(shù)的維數(shù)，并稱，并稱 V 為為 r 維向量空間維向量空間 向量空間向量空間向量空間的基向量空間的基向量空間的維數(shù)向量空間的維數(shù)向量組向量組向量組的最大無關(guān)組向量組的最大無關(guān)組向量組的秩向量組的秩231. n 維向量的全體維向量的全體 Rn En 的列向量組是的列向量組是 Rn 的一個基，故的一個基，故Rn 的維數(shù)等于的維數(shù)等于 n . .2. 集合集合 V1 = (

20、0, x2, , xn)T | x2, , xnR En 的后的后 n1個個列向量是列向量是V1 的一個基，故的一個基，故 V1 的維數(shù)等于的維數(shù)等于 n1 3. n 元齊次線性方程組的解集元齊次線性方程組的解集 S1 = x | Ax = 0 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是 S1 的一個基，故的一個基，故 S1 的維的維數(shù)等于數(shù)等于 nR(A) 244. 由由a1 , a2 , ., am 所生成的向量空間所生成的向量空間L = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam | l l1, l l2, ., l lmR 5. 若若 a1 , a2 , ., am

21、 線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 a1 , a2 , ., am 是向量空間是向量空間 L 的一個基的一個基6. 若若 a1 , a2 , ., am 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 向量組向量組 A：a1 , a2 , ., am 等價于等價于向量組向量組 A 的最大無關(guān)組的最大無關(guān)組 A0 ：a1 , a2 , ., ar 7. 從而從而 L =L1= l l1a1 + l l2a2 + + l lr ar | l l1, l l2, ., l lrR 故向量組故向量組 A0 就是就是 L 的一個基，的一個基， A0中向量的個數(shù)就是中向量的個數(shù)就是 L 的維數(shù)的維數(shù). .25定義：定義：如果在向量空間

22、如果在向量空間 V 中取定一個基中取定一個基 a1 , a2 , ., ar ，那么，那么V中任意一個向量可唯一表示為中任意一個向量可唯一表示為x = l l1a1 + l l2a2 + + l lrar數(shù)組數(shù)組 l l1, l l2, ., l lr 稱為向量稱為向量 x 在基在基 a1 , a2 , ., ar 中的中的坐標(biāo)坐標(biāo)例：例： 的列向量組是的列向量組是 R3 的一個基，的一個基， ) )123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 + 123237eee+237b 那么那么b 在基在基 e1, e2, e3 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) 26n 階單位矩陣階單位矩陣

23、En 的列向量叫做的列向量叫做 n 維單位坐標(biāo)向量維單位坐標(biāo)向量n 階單位矩陣階單位矩陣 En 的列向量組稱為的列向量組稱為 Rn 的的自然基自然基1231000010000100001nbbbb + 123nbbbbb 1000010000100001nE 27上三角形矩陣上三角形矩陣 的列向量組也是的列向量組也是 R3 的一個基，那么的一個基，那么 ) )123111,011001Aa a a12321115( 3) 0( 2) 17 13277001aaa + + + + + + 結(jié)論結(jié)論：同一個向量在不同基中的坐標(biāo)是不同的同一個向量在不同基中的坐標(biāo)是不同的28例：例：在在 R3中取定一個基中取定一個基 a1, a2, a3 ，再取一個新基，再取一個新基 b1, b2, b3，設(shè)設(shè) A = (a1, a2, a3)，B = (b1, b2, b3) 求用求用