《高等幾何》課程教學大綱

1、高等幾何課程教學大綱課程編號：20811010總學時數(shù)：48（理論48）總學分數(shù)：3課程性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)和專業(yè)課程適用專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學一、課程的任務(wù)和基本要求：幾何學是數(shù)學的一個重要分支。高等幾何與高等代數(shù)，數(shù)學分析統(tǒng)稱“三高”，是師范數(shù)學專業(yè)的重要的基礎(chǔ)課。本課程按傳統(tǒng)的講法，在歐氏平面的基礎(chǔ)上講授一維和二維射影幾何和仿射幾何的基本內(nèi)容，使學生對射影幾何和仿射幾何有初步的，直觀的，具體的認識。為進一步充分運用代數(shù)知識學習抽象的高維射影幾何理論做準備。另一方面掌握射影幾何和仿射幾何的理論和方法，對中學幾何有直接的指導(dǎo)作用。使中學數(shù)學教師能居高臨下，深入掌握中學數(shù)學內(nèi)容，具備應(yīng)有的水平和素質(zhì)。

2、本課程總學時數(shù)為51學時，講授與習題課學時數(shù)之比約為5:1。二、基本內(nèi)容和要求：（一）仿射坐標與仿射變換1、透視仿射對應(yīng)，仿射對應(yīng)與仿射變換。2、仿射坐標系，仿射變換的代數(shù)表示，幾種特殊的仿射變換。3、圖形的仿射性質(zhì)。要求：掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和解析表達式；知道幾種特殊的仿射變換；理解圖形的仿射性質(zhì)，掌握單比的概念和坐標表示法。（二）射影平面1、歐氏平面的拓廣：中心投影與無窮遠元素的引進。2、射影直線與射影平面的概念。3、齊次點坐標，直線的齊次方程，齊次線坐標，在齊次坐標下，有關(guān)點與直線結(jié)合性的命題。4、德薩格定理，運用德薩格定理證明初等幾何的有關(guān)命題。5、射影平面上的對偶原理，對偶命題，

3、對偶圖形。要求：掌握射影平面、仿射平面的概念；掌握直線的坐標和點的方程的概念；掌握對偶原則的內(nèi)容，能寫出一個命題的對偶命題。理解德薩格定理，并會用它來推證某些“點共線”或“線共點”的問題。（三）射影變換與射影坐標1、共線四點和共點四線的交比，調(diào)和比，完全四點形與完全四線形的調(diào)和性。2、射影平面內(nèi)的一維基本形，一維基本形間的透視對應(yīng)，射影對應(yīng)，一維基本形的射影變換，對合。3、一維二維射影坐標系，射影坐標與仿射坐標，笛氏坐標的關(guān)系。4、一維射影對應(yīng)的代數(shù)表示。5、二維射影對應(yīng)，二維射影對應(yīng)的坐標表示。要求：掌握交比的定義、性質(zhì)和求法；理解完全四點形的調(diào)和性；掌握一維基本形射影對應(yīng)的定義、性質(zhì)、代數(shù)

4、表示和確定條件，射影對應(yīng)和透視對應(yīng)的關(guān)系；掌握對合的定義；理解二維射影對應(yīng)的定義；理解直線上和平面上射影坐標的建立方法。（四）二次曲線的射影理論。1、二階曲線與二級曲線的概念，二次曲線的射影定義，二階曲線與二級曲線的關(guān)系。2、帕斯卡定理與布利安桑定理及其特殊情形。3、二階曲線的極點與極線，配極原則。4、二階曲線的射影分類。要求：掌握二階曲線和二級曲線的定義及它們的關(guān)系；掌握帕斯卡定理與布利安桑定理，并會運用它們解決某些證明或作圖問題；掌握二次曲線極點、極線的定義、性質(zhì)和求法；理解二次曲線的射影分類。（五）二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)1、二次曲線與無窮遠直線的相關(guān)位置。2、二次曲線的仿射性質(zhì)，中

5、心，直徑與共軛直徑，漸近線。3、二次曲線的仿射分類4、圓點，迷向直線的定義與性質(zhì)，拉蓋爾定理及其推論。5、二次曲線的度量性質(zhì)，主軸，頂點，焦點與準線。6、二次曲線的度量分類。要求：掌握中心、直徑、共軛直徑、漸近線的射影定義，并能運用定義或公式來求解問題；理解二次曲線的仿射分類；掌握圓點、迷向直線的定義、性質(zhì)，拉蓋爾定理及其推論；掌握二次曲線的主軸、焦點及其準線的射影定義。（六）變換群與幾何學1、變換群的概念2、平面上的幾個重要的變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群。3、射影，仿射和歐氏三種幾何學的比較。要求：理解變換群的概念與幾何學的群論觀點；理解射影、仿射、歐氏三種幾何間的關(guān)系及其各自的研

6、究對象。三、實踐環(huán)節(jié)和要求：無四、教學時數(shù)分配：教學內(nèi)容學時分配教學內(nèi)容學時分配仿射坐標與仿射變換6學時二次曲線的射影理論10學時射影平面6學時二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)10學時射影變換與射影坐標12學時變換群與幾何學4學時合計48學時五、其它項目：無六、有關(guān)說明：1、教學和考核方式：本課程屬考試課，考核方式為閉卷。筆試，閉卷。學生平時成績占總成績的百分之三十。2、習題：根據(jù)教學內(nèi)容適當布置各章節(jié)后的習題,約占習題總量的50%左右。3、能力培養(yǎng)要求：加強自學能力的培養(yǎng)：強調(diào)預(yù)習，對某些教學內(nèi)容指導(dǎo)學生閱讀教材，教師僅作重點講解，指導(dǎo)閱讀參考書的某些章節(jié)。加強解題能力的培養(yǎng)，嚴格檢查作業(yè)完成情況，結(jié)合教材內(nèi)容，提出一些進一步思考解決的問題。4、與其它課程和教學環(huán)節(jié)的聯(lián)系：先修課程和教學環(huán)節(jié)：高等代數(shù)、解析幾何后續(xù)課程和教學環(huán)節(jié)：無