《高等幾何》課程教學(xué)大綱

1、高等幾何課程教學(xué)大綱課程編號(hào)：20811010總學(xué)時(shí)數(shù)：48（理論48）總學(xué)分?jǐn)?shù)：3課程性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)和專業(yè)課程適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一、課程的任務(wù)和基本要求：幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。高等幾何與高等代數(shù)，數(shù)學(xué)分析統(tǒng)稱“三高”，是師范數(shù)學(xué)專業(yè)的重要的基礎(chǔ)課。本課程按傳統(tǒng)的講法，在歐氏平面的基礎(chǔ)上講授一維和二維射影幾何和仿射幾何的基本內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)射影幾何和仿射幾何有初步的，直觀的，具體的認(rèn)識(shí)。為進(jìn)一步充分運(yùn)用代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)抽象的高維射影幾何理論做準(zhǔn)備。另一方面掌握射影幾何和仿射幾何的理論和方法，對(duì)中學(xué)幾何有直接的指導(dǎo)作用。使中學(xué)數(shù)學(xué)教師能居高臨下，深入掌握中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，具備應(yīng)有的水平和素質(zhì)。

2、本課程總學(xué)時(shí)數(shù)為51學(xué)時(shí)，講授與習(xí)題課學(xué)時(shí)數(shù)之比約為5:1。二、基本內(nèi)容和要求：（一）仿射坐標(biāo)與仿射變換1、透視仿射對(duì)應(yīng)，仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換。2、仿射坐標(biāo)系，仿射變換的代數(shù)表示，幾種特殊的仿射變換。3、圖形的仿射性質(zhì)。要求：掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和解析表達(dá)式；知道幾種特殊的仿射變換；理解圖形的仿射性質(zhì)，掌握單比的概念和坐標(biāo)表示法。（二）射影平面1、歐氏平面的拓廣：中心投影與無(wú)窮遠(yuǎn)元素的引進(jìn)。2、射影直線與射影平面的概念。3、齊次點(diǎn)坐標(biāo)，直線的齊次方程，齊次線坐標(biāo)，在齊次坐標(biāo)下，有關(guān)點(diǎn)與直線結(jié)合性的命題。4、德薩格定理，運(yùn)用德薩格定理證明初等幾何的有關(guān)命題。5、射影平面上的對(duì)偶原理，對(duì)偶命題，

3、對(duì)偶圖形。要求：掌握射影平面、仿射平面的概念；掌握直線的坐標(biāo)和點(diǎn)的方程的概念；掌握對(duì)偶原則的內(nèi)容，能寫(xiě)出一個(gè)命題的對(duì)偶命題。理解德薩格定理，并會(huì)用它來(lái)推證某些“點(diǎn)共線”或“線共點(diǎn)”的問(wèn)題。（三）射影變換與射影坐標(biāo)1、共線四點(diǎn)和共點(diǎn)四線的交比，調(diào)和比，完全四點(diǎn)形與完全四線形的調(diào)和性。2、射影平面內(nèi)的一維基本形，一維基本形間的透視對(duì)應(yīng)，射影對(duì)應(yīng)，一維基本形的射影變換，對(duì)合。3、一維二維射影坐標(biāo)系，射影坐標(biāo)與仿射坐標(biāo)，笛氏坐標(biāo)的關(guān)系。4、一維射影對(duì)應(yīng)的代數(shù)表示。5、二維射影對(duì)應(yīng)，二維射影對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)表示。要求：掌握交比的定義、性質(zhì)和求法；理解完全四點(diǎn)形的調(diào)和性；掌握一維基本形射影對(duì)應(yīng)的定義、性質(zhì)、代數(shù)

4、表示和確定條件，射影對(duì)應(yīng)和透視對(duì)應(yīng)的關(guān)系；掌握對(duì)合的定義；理解二維射影對(duì)應(yīng)的定義；理解直線上和平面上射影坐標(biāo)的建立方法。（四）二次曲線的射影理論。1、二階曲線與二級(jí)曲線的概念，二次曲線的射影定義，二階曲線與二級(jí)曲線的關(guān)系。2、帕斯卡定理與布利安桑定理及其特殊情形。3、二階曲線的極點(diǎn)與極線，配極原則。4、二階曲線的射影分類。要求：掌握二階曲線和二級(jí)曲線的定義及它們的關(guān)系；掌握帕斯卡定理與布利安桑定理，并會(huì)運(yùn)用它們解決某些證明或作圖問(wèn)題；掌握二次曲線極點(diǎn)、極線的定義、性質(zhì)和求法；理解二次曲線的射影分類。（五）二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)1、二次曲線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線的相關(guān)位置。2、二次曲線的仿射性質(zhì)，中

5、心，直徑與共軛直徑，漸近線。3、二次曲線的仿射分類4、圓點(diǎn)，迷向直線的定義與性質(zhì)，拉蓋爾定理及其推論。5、二次曲線的度量性質(zhì)，主軸，頂點(diǎn)，焦點(diǎn)與準(zhǔn)線。6、二次曲線的度量分類。要求：掌握中心、直徑、共軛直徑、漸近線的射影定義，并能運(yùn)用定義或公式來(lái)求解問(wèn)題；理解二次曲線的仿射分類；掌握?qǐng)A點(diǎn)、迷向直線的定義、性質(zhì)，拉蓋爾定理及其推論；掌握二次曲線的主軸、焦點(diǎn)及其準(zhǔn)線的射影定義。（六）變換群與幾何學(xué)1、變換群的概念2、平面上的幾個(gè)重要的變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群。3、射影，仿射和歐氏三種幾何學(xué)的比較。要求：理解變換群的概念與幾何學(xué)的群論觀點(diǎn)；理解射影、仿射、歐氏三種幾何間的關(guān)系及其各自的研

6、究對(duì)象。三、實(shí)踐環(huán)節(jié)和要求：無(wú)四、教學(xué)時(shí)數(shù)分配：教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)分配仿射坐標(biāo)與仿射變換6學(xué)時(shí)二次曲線的射影理論10學(xué)時(shí)射影平面6學(xué)時(shí)二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)10學(xué)時(shí)射影變換與射影坐標(biāo)12學(xué)時(shí)變換群與幾何學(xué)4學(xué)時(shí)合計(jì)48學(xué)時(shí)五、其它項(xiàng)目：無(wú)六、有關(guān)說(shuō)明：1、教學(xué)和考核方式：本課程屬考試課，考核方式為閉卷。筆試，閉卷。學(xué)生平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)的百分之三十。2、習(xí)題：根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)布置各章節(jié)后的習(xí)題,約占習(xí)題總量的50%左右。3、能力培養(yǎng)要求：加強(qiáng)自學(xué)能力的培養(yǎng)：強(qiáng)調(diào)預(yù)習(xí)，對(duì)某些教學(xué)內(nèi)容指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，教師僅作重點(diǎn)講解，指導(dǎo)閱讀參考書(shū)的某些章節(jié)。加強(qiáng)解題能力的培養(yǎng)，嚴(yán)格檢查作業(yè)完成情況，結(jié)合教材內(nèi)容，提出一些進(jìn)一步思考解決的問(wèn)題。4、與其它課程和教學(xué)環(huán)節(jié)的聯(lián)系：先修課程和教學(xué)環(huán)節(jié)：高等代數(shù)、解析幾何后續(xù)課程和教學(xué)環(huán)節(jié)：無(wú)