高中數(shù)學(xué)函數(shù)：題型分類

1、高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)生常見(jiàn)問(wèn)題以及函數(shù)常見(jiàn)題型、解法指導(dǎo)一、學(xué)生常見(jiàn)問(wèn)題：（一)、認(rèn)知層面的問(wèn)題:這個(gè)問(wèn)題是在高一學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)就一直在困擾學(xué)生的問(wèn)題.我們要了解高一學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)產(chǎn)生困難的原因，首先要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).即學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)感知和理解的基礎(chǔ)上形成的一種心理結(jié)構(gòu)。通俗地說(shuō):數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是人們按照自己的經(jīng)驗(yàn)與理解,根據(jù)自己的感知、記憶、思維的特點(diǎn)，把數(shù)學(xué)知識(shí)在大腦中組合而成的具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)受個(gè)體認(rèn)知特點(diǎn)的制約，具有濃厚的認(rèn)知主體性與鮮明的個(gè)性色彩。高一新生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的困難正是由于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)所決定.高一新生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)，碰到的困難

2、比如無(wú)法理解函數(shù)的概念，無(wú)法建立對(duì)應(yīng)的觀念,對(duì)集合的概念理解不夠透徹等問(wèn)題,導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)存在很大的困難。（二）、基礎(chǔ)知識(shí)層面的問(wèn)題：在進(jìn)行高三復(fù)習(xí)的時(shí)候，同學(xué)們普遍的反映都不太好。原因在于，同學(xué)們感覺(jué)學(xué)校老師復(fù)習(xí)得很快。學(xué)校老師的講課思路是先大致的把知識(shí)點(diǎn)串講一遍，接著在課上做一些例題，課后給同學(xué)發(fā)一些卷子以做為練習(xí),這些練習(xí)在做完之后老師也不一定會(huì)仔細(xì)的講解,知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)也不太扎實(shí)。因此同學(xué)感覺(jué)老師的復(fù)習(xí)很快。(因此這里學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題就是基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí))那么我們?cè)诰唧w的操作中，首先應(yīng)該了解學(xué)生復(fù)習(xí)的程度。在總復(fù)習(xí)的過(guò)程中側(cè)重于整體性，所以可以先了解一下學(xué)生是否有一個(gè)整體的框架。（框架

3、的作用是幫助PEC檢查學(xué)生的知識(shí)體系是否完善）函數(shù)被分成了兩塊:橫軸和縱軸。（參見(jiàn)策略庫(kù)函數(shù)基本概念第一部分）六大基礎(chǔ)函數(shù)抽象函數(shù)復(fù)合函數(shù)三要素性質(zhì)圖像接下來(lái)，就是要求學(xué)生能夠?qū)@個(gè)表格里的每個(gè)點(diǎn)都比較了解.（框架完善了，就要看基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是否真的落實(shí))首先這六大基礎(chǔ)函數(shù)，學(xué)生是否都了解呢?包括:正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù),二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù).只有指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是在高中的時(shí)候新學(xué)的,其他函數(shù)都是以前的時(shí)候就學(xué)過(guò)的。但是在考試當(dāng)中會(huì)結(jié)合到一起，尤其是二次函數(shù)。抽象函數(shù)就是在考察的時(shí)候只告訴函數(shù)的一些基本性質(zhì)，進(jìn)行一些證明等等。復(fù)合函數(shù)就是這種形式的函數(shù)，因此在跟學(xué)生交流的時(shí)候，

4、如果學(xué)生沒(méi)有這樣一個(gè)整體知識(shí)框架,可以讓學(xué)生首先熟悉這一塊的內(nèi)容，因?yàn)檫@是屬于知識(shí)層面比較基礎(chǔ)的部分。函數(shù)性質(zhì)和圖像的內(nèi)容,同樣要看學(xué)生是否都知道，如果掌握的不是特別清楚，那么都屬于基礎(chǔ)知識(shí)層面的問(wèn)題.（三）、（接下來(lái)）基本題型的問(wèn)題可以按照表格中體現(xiàn)出的順序來(lái)考察學(xué)生基本題型的能力。（1）定義域相關(guān)的基本題型兩類：1.給定函數(shù)式,在函數(shù)式當(dāng)中有些限定性的條件,如存在，以及對(duì)數(shù)要求大于零，以及存在分母(分母不能為零）等等基本的方式去求定義域。2。復(fù)合函數(shù)求定義域的問(wèn)題。復(fù)合函數(shù)求定義域是很嚴(yán)格的。就是這樣一層一層的函數(shù)順序下來(lái)要求的。如，首先就要求其中必須符合的定義域的要求；其次我們才去看各自

5、要按照哪個(gè)函數(shù)要求去求定義域，需要符合函數(shù)的定義域要求，需要符合函數(shù)的定義域要求。其實(shí)就是兩點(diǎn)：首先，只要是同一函數(shù)對(duì)應(yīng)法則，括號(hào)內(nèi)的式子的范圍都是一樣的。第二點(diǎn)就是求定義域，是求最核心的自變量的范圍。（2）值域相關(guān)的基本題型（其實(shí)關(guān)鍵的就是幾種方法)1。二次函數(shù)的值域問(wèn)題。而且這是最為關(guān)鍵的問(wèn)題。簡(jiǎn)單的二次函數(shù),就可以通過(guò)頂點(diǎn)和最值等來(lái)求值域。困難的地方在于函數(shù)有參數(shù)的問(wèn)題。帶有參數(shù)的二次函數(shù)值域的問(wèn)題也被我們稱為限定性的二次函數(shù)求值域問(wèn)題.也就是說(shuō)，自變量的取值不是全體實(shí)數(shù),而是在一定范圍之內(nèi),如，求函數(shù)的值域的問(wèn)題。解決的辦法只有一種，即分類討論。分類討論時(shí)需要注意的是，對(duì)稱軸是在a的左

6、端、在b的右端還是位于區(qū)間之內(nèi),因此需要分類討論的就是分這三類.（這個(gè)問(wèn)題只要反復(fù)的練是可以達(dá)到效果的）2.換元法（也是最常用的方法），轉(zhuǎn)換成二次函數(shù).這種題的特點(diǎn)是，題目中的自變量的次數(shù)關(guān)系是倍半關(guān)系,如,都可以利用換元的方法把題目轉(zhuǎn)換成上面第一類的問(wèn)題。3.利用函數(shù)的單調(diào)性求值域。當(dāng)前兩種辦法不能用的時(shí)候,都可以考慮函數(shù)的單調(diào)性。因此這里存在函數(shù)是否存在單調(diào)性的問(wèn)題。有兩種方式，一種就是平時(shí)題目的積累;一種就是猜測(cè)，去試這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性（因?yàn)橹绬握{(diào)性要去證明單調(diào)性并不是一個(gè)困難的問(wèn)題），單調(diào)性的利用其實(shí)也是在利用函數(shù)的圖像。4.運(yùn)用均值不等式.但是均值不等式適用的范圍比較窄，且函數(shù)的形式

7、也是比較固定的。一般來(lái)說(shuō)都是函數(shù)帶有分母的。如等這樣的形式可以利用均值不等式。5.數(shù)形結(jié)合。這種類型的題目也是比較特殊的。一般的形式如,兩個(gè)根號(hào)的和的形式.根號(hào)下的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線的距離和兩點(diǎn)間的距離。6.反解法。這種方法也就是說(shuō)這個(gè)函數(shù)的定義域是比較清晰的,就可以寫出反函數(shù),利用反函數(shù)來(lái)求原函數(shù)的值域。這種方法要求原函數(shù)得存在反函數(shù)，即是一一對(duì)應(yīng)的。這樣反函數(shù)才存在,才可以反解.7?！啊狈?這種方法適用于這種形式的函數(shù)，“”法就是把分母乘到左邊去，然后整理成一個(gè)關(guān)于降冪排列的方程,然后利用來(lái)求的取值范圍。這些方法中，常用的就是1、2、3、7這幾種方法。其他的幾種就題型也是比較單一的.(3)

8、求解析式（方法比較少，考得也不多)1.配 和 湊利用它的形式，湊出這樣的形式，這要求學(xué)生做題目比較有感覺(jué)。2。待定系數(shù)法.即設(shè)，再利用已知條件把的取值確定。（4）單調(diào)性、周期性、奇偶性、對(duì)稱性1。首先，得知道這幾個(gè)性質(zhì)的概念各自的確定的含義。學(xué)生面臨的問(wèn)題就是比較偏向于用一個(gè)特定的數(shù)代入函數(shù)，以此來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性或者奇偶性等。其實(shí)核心在于他們對(duì)于恒成立這個(gè)概念的理解存在偏差，比較模糊。因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是對(duì)于定義域范圍內(nèi)任意的x都成立的。因此，在證明的過(guò)程中,不能用一些特定的數(shù)代入函數(shù)，因?yàn)檫@只是猜測(cè)函數(shù)的性質(zhì)的一種方法。2.各種性質(zhì)的代數(shù)形式。單調(diào)性:定義域內(nèi) 單調(diào)增奇偶性：定義域內(nèi) 為偶函數(shù)

9、 為奇函數(shù)周期性:定義域內(nèi) a為周期對(duì)稱性:包括關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱， 如關(guān)于函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則這個(gè)可以讓學(xué)生去歸納。3。解題時(shí)，題目基本都是抽其中的一條性質(zhì)或者兩條性質(zhì)結(jié)合起來(lái)考查.如 說(shuō)到奇偶性 如周期性 在三角函數(shù)里運(yùn)用的比較多 另外就對(duì)稱性就跟剛才需要學(xué)生去總結(jié)的內(nèi)容相同.二、解決學(xué)生認(rèn)知障礙的策略：（1）在高一新學(xué)期開(kāi)始之時(shí),做好如下幾件事：一是要對(duì)學(xué)生進(jìn)行高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和知識(shí)系統(tǒng)構(gòu)成的講解,使其盡快進(jìn)入角色，盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的要求。二是要幫助學(xué)生盡快調(diào)整相關(guān)心理結(jié)構(gòu)，以盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?？梢詮恼J(rèn)知方法、認(rèn)知結(jié)構(gòu)及認(rèn)知層次等方面,給學(xué)生講清初中與高中的認(rèn)知差異

10、及調(diào)整方法，從而幫助學(xué)生及早做好心理上的準(zhǔn)備。三是要從高中與初中數(shù)學(xué)的思想方法和學(xué)習(xí)方法等方面給學(xué)生講清二者之間的差異，讓學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)的思想方法和學(xué)習(xí)方法，為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)作好思想和方法上的準(zhǔn)備。具體可以從初、高中的教材教法、思想方法和學(xué)習(xí)方法的差異入手進(jìn)行調(diào)整，與高中比較,初中明顯存在著時(shí)間多、形象記憶多、強(qiáng)化訓(xùn)練多，教材內(nèi)容少、抽象思維少、靈活應(yīng)用少；讓學(xué)生了解在初中通過(guò)強(qiáng)化記憶和題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)提高成績(jī)是可能的，甚至是行之有效的方法。但將此類方法克隆到高中的學(xué)習(xí)中則是行不通的，甚至是根本不可能實(shí)現(xiàn)的。    （2）注重對(duì)比。從學(xué)生初中的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)

11、學(xué)經(jīng)驗(yàn)與新的高中數(shù)學(xué)知識(shí)的矛盾入手幫助學(xué)生消除數(shù)學(xué)認(rèn)知障礙，盡快實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)知識(shí)與初中數(shù)學(xué)知識(shí)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的重新組織。在這方面要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，充分利用課堂教學(xué)的便利條件,在課堂教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地進(jìn)行新、舊知識(shí)和新、舊方法的對(duì)照、比較。讓學(xué)生通過(guò)自己的觀察、比較、反思、總結(jié)、批判達(dá)到吸收、消化、升華的目的。實(shí)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)與初中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)互相促進(jìn)、協(xié)調(diào)發(fā)展.    （3）對(duì)于那些習(xí)慣于知識(shí)堆積的同學(xué)要有意識(shí)地對(duì)其進(jìn)行高中數(shù)學(xué)思維特征及思想方法的輔導(dǎo)。一方面要積極發(fā)揮其直觀、形象記憶好的優(yōu)勢(shì),另一方面要通過(guò)課堂教學(xué)發(fā)展其抽象、形式的思維方

12、法，樹(shù)立學(xué)習(xí)信心,培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，以期盡快消除數(shù)學(xué)認(rèn)知的障礙,走出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的誤區(qū).    (4）形象直觀.由數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)層次不同造成的數(shù)學(xué)認(rèn)知障礙，解決方法是教師要通過(guò)課堂教學(xué)積極地加以引導(dǎo)，課堂教學(xué)要充分利用學(xué)生的直觀、形象思維好的特點(diǎn)，在抽象性較強(qiáng)的概念教學(xué)時(shí)要通過(guò)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情景與學(xué)習(xí)情景從實(shí)際問(wèn)題和形象化入手，直觀、形象的自然引入，盡量避免過(guò)多的抽象性講解，幫助學(xué)生盡可能的縮短適應(yīng)高中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，減少由于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層次不同所帶來(lái)的認(rèn)知障礙的負(fù)面影響.     （5）針對(duì)學(xué)生由于數(shù)學(xué)認(rèn)知

13、結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性所造成的認(rèn)知障礙,還是要從動(dòng)態(tài)性入手加以解決。首先要從其心理上加以調(diào)整，要學(xué)生明確這種心理障礙的存在是客觀事物發(fā)展的必然規(guī)律，是人人都必須面對(duì)的客觀事實(shí)，是每一個(gè)同學(xué)都會(huì)遇到的必然矛盾,它的存在并不可怕。關(guān)鍵是我們?nèi)绾蚊鎸?duì).正確的態(tài)度是認(rèn)真對(duì)待、理智應(yīng)對(duì)，盡快找到解決問(wèn)題的方法，盡早消除此類認(rèn)知障礙。其次在日常教育教學(xué)過(guò)程中要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)能動(dòng)性的積極作用，當(dāng)新的問(wèn)題情景出現(xiàn)的時(shí)候要積極引導(dǎo)學(xué)生用他們過(guò)去已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)所面臨的問(wèn)題進(jìn)行加工和處理，在這個(gè)過(guò)程中教師要通過(guò)創(chuàng)設(shè)不同的問(wèn)題情景，強(qiáng)化新、舊知識(shí)結(jié)構(gòu)和新、舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生不斷的補(bǔ)充、修正過(guò)去已有的

14、知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu),加快建立新的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的要求。    心理學(xué)的研究表明，認(rèn)知一致性是人們認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的心理機(jī)制。無(wú)論是新概念的引入、新命題的發(fā)現(xiàn)，還是新問(wèn)題的解決，都能導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出現(xiàn)失衡。而在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)概念的掌握、技能的形成以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決,其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)將會(huì)取得新的平衡。在舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)平衡被打破、新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)平衡重新建立的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師起著重要的作用,只要我們能持之以恒，不斷研究，就能夠在一定程度上消除數(shù)學(xué)認(rèn)知障礙，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡與和諧，從而實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)，達(dá) 到掌握學(xué)習(xí)的

15、目的。函數(shù)的定義域及其求法函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。這里主要幫助考生靈活掌握求定義域的各種方法，并會(huì)應(yīng)用用函數(shù)的定義域解決有關(guān)問(wèn)題。其中復(fù)合函數(shù)定義域的問(wèn)題就是定義域中最復(fù)雜的問(wèn)題，核心在于對(duì)函數(shù)的定義域概念的理解。（單純考察定義域）例1已知函數(shù)的定義域?yàn)镸,g(x）=的定義域?yàn)镹，則MN= （A） （B） （C) （D）命題意圖: 本題主要考查含有分式、無(wú)理式和對(duì)數(shù)的函數(shù)的定義域的求法。解:函數(shù)的定義域M= g（x）=的定義域N=MN=故選C(考察常見(jiàn)函數(shù)的定義域）例2. 函數(shù)的定義域是（ )（A）（3，+） (B）3, +） （C）（4， +) （D）4， +)命

16、題意圖： 本題主要考查含有無(wú)理式和對(duì)數(shù)的函數(shù)的定義域的求法。解：由，故選D。(復(fù)合函數(shù)的定義域)例3若函數(shù)的定義域是0,1，求的定義域；若的定義域是-1，1,求函數(shù)的定義域;已知定義域是，求定義域點(diǎn)評(píng)：解決復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解,即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的 解答： 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)函數(shù)的定義域是0，1,B=0,1，即函數(shù)的值域?yàn)?，1,，即，函數(shù)的定義域0， 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-1，1，A=-1，1，即1，即的值域是3，1,的定義域是3，1點(diǎn)評(píng):若已知的定義域?yàn)椋瑒t的定義域就是不等式的的集合

17、；若已知的定義域?yàn)?，則的定義域就是函數(shù) 的值域。 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是4，5),A=4,5）即，即的值域B=-1，8)又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，而,從而的值域的定義域是1，）例4已知函數(shù)定義域是（a,b），求的定義域解:由題， 當(dāng)，即時(shí)，不表示函數(shù)；當(dāng)，即時(shí),表示函數(shù)，其定義域?yàn)檎f(shuō)明： 已知的定義域?yàn)?a,b），求的定義域的方法：已知的定義域?yàn)?求的定義域.實(shí)際上是已知中間變量的的取值范圍,即，。通過(guò)解不等式求得的范圍，即為的定義域。 已知的定義域?yàn)椋╝,b)，求的定義域的方法：若已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域.實(shí)際上是已知直接變量的

18、取值范圍，即.先利用求得的范圍,則的范圍即是的定義域。如果能夠?qū)⒁陨系暮瘮?shù)定義域問(wèn)題都解決，高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義域的問(wèn)題對(duì)于學(xué)生而言已經(jīng)沒(méi)有任何問(wèn)題!函數(shù)解析式的求法綜述在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，會(huì)遇到求函數(shù)解析式的一類題，這里是指已知或，求或，或已知或,求或等復(fù)合函數(shù)的解析式，這些問(wèn)題是學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到棘手的問(wèn)題。常用的解法如下：一、定義法：例1:設(shè)，求.解： =例2：設(shè)，求.解:設(shè)例3:設(shè)，求。解：又故例4：設(shè)。解：.二、待定系數(shù)法：例5:已知，求。解：顯然，是一個(gè)一元二次函數(shù).設(shè)則 又比較系數(shù)得： 解得：三、換元（或代換）法:例6:已知求.解：設(shè)則則例7：設(shè)，求.解：令又例8：若 (1)在（1）式中

19、以代替得即 (2）又以代替（1）式中的得： （3）例9：設(shè)，求。解： （1）用來(lái)代替，得 （2)由四、反函數(shù)法：例10：已知,求.解:設(shè)，則 即代入已知等式中，得：五、特殊值法：例11：設(shè)是定義在N上的函數(shù)，滿足，對(duì)于任意正整數(shù)，均有,求.解:由,設(shè)得:即：在上式中，分別用代替，然后各式相加可得：六、累差法：例12：若，且當(dāng)，求.解：遞推得： 以上個(gè)等式兩邊分別相加,得:七、歸納法：例13:已知，求。解:,依此類推，得再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。八、微積分法:例14：設(shè),求。解：因此反函數(shù) 一、定義與簡(jiǎn)單說(shuō)明1認(rèn)知高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究是以映射的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行的,回顧前面研究映射時(shí)我們定義了一個(gè)特殊映射。

20、一一映射. 若將某映射f:的對(duì)應(yīng)關(guān)系調(diào)轉(zhuǎn)，只有一一映射能夠保證調(diào)轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)仍是映射，稱這一映射f1：為原映射的逆映射. 若將前述一一映射限制在數(shù)集到數(shù)集上，就可以得到我們這里研究的反函數(shù)。 定義： 如果確定函數(shù)y=f（x），xA的映射f：AB(f：y=f（x)， xA)是從A到B上的一一映射,則它的逆映射f1：BA(f1:yx=f1(y）， yB）. 所確定的函數(shù)y=f1(x）, xB稱為y=f(x）,xA的反函數(shù)。 2反函數(shù)存在的條件 按照函數(shù)定義,y=f（x）定義域中的每一個(gè)元素x，都唯一地對(duì)應(yīng)著值域中的元素y，如果值域中的每一個(gè)元素y也有定義域中的唯一的一個(gè)元素x和它相對(duì)應(yīng)，即定義域中的

21、元素x和值域中的元素y，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則y=f（x)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,那么函數(shù)y=f（x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)例如：函數(shù)y=x2，xR,定義域中的元素±1，都對(duì)應(yīng)著值域中的同一個(gè)元素1,所以,沒(méi)有反函數(shù)而y=x2， x1表示定義域到值域的一一對(duì)應(yīng)，因而存在反函數(shù)3函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系 函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1（x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱若點(diǎn)(a，b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)（b,a)在它的反函數(shù)y=f1（x)的圖象上 4反函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單命題 （1)一個(gè)奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù) （2)一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間是（

22、減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增(減）函數(shù)二、說(shuō)明及性質(zhì) 1由定義和f（x)存在反函數(shù)的充要條件是它的映射為一一映射. 如f（x）=x2（xR)無(wú)反函數(shù)（非一一），g(x）=x2+1(x0)有反函數(shù)，因?yàn)樗堑?，+)上的一一映射. 2f(x）,xA和f1(x）， xB互為反函數(shù). 3原函數(shù)的定義域是其反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是其反函數(shù)的定義域。 4單調(diào)函數(shù)具有反函數(shù)，因?yàn)閱握{(diào)一一映射有反函數(shù)。 可見(jiàn)函數(shù)在區(qū)間上具單調(diào)性是它有反函數(shù)的充分不必要條件。 如函數(shù)y=（x0）, 其反函數(shù)與自身相同，但它在（,0）(0，+)上不具單調(diào)性。 5若b=f(a), 則 a=f1（b

23、）,即(a, b)在函數(shù)圖象上，則（b， a)在其反函數(shù)圖像上；反之也對(duì)。利用這一點(diǎn)可以把反函數(shù)上點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)上的點(diǎn)的問(wèn)題. 6xA, f-1f（x)=x； xB， ff-1(x)=x. 7原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱. 8單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的單調(diào)性。 奇函數(shù)如果有反函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù)。需要認(rèn)識(shí)到,奇函數(shù)不一定有反函數(shù). 如：y=x3-x, 當(dāng)y=0時(shí)x=0, ±1, 這不是一一映射，因此不具有反函數(shù)。但偶函數(shù)是不是一定沒(méi)有反函數(shù)？如y=f（x）,x0， y0,其圖象就是原點(diǎn)。它是偶函數(shù)，也具有反函數(shù)（即自身）. 三、求反函數(shù)的一般步驟 1求D，因

24、為原函數(shù)的值域R是反函數(shù)的定義域,這定義域在結(jié)論中是必須指出的. 2在原函數(shù)的解析式中反求x，寫成x=g（y）。 3x， y互換，即將反函數(shù)寫成y=g（x)因?yàn)榱?xí)慣上通常將x作為自變量。 4下結(jié)論(注意給出反函數(shù)定義域） 四、例題。 例1已知f（x）=（0x4)， 求f（x）的反函數(shù)。 分析：這里要先求f(x)的范圍（值域）. 解：0x4,0x216， 925-x225， 3y5, y=， y2=25x2, x2=25y2。 0x4,x=(3y5） 將x， y互換， f(x)的反函數(shù)f-1（x）=（3x5)。 例2已知.f(x+1)=x23x+2， x(,），求。f-1(x）. 分析：本題是求

25、函數(shù)解析式與求反函數(shù)兩類問(wèn)題的稼接,因此可套用相應(yīng)方法分別處理。 解：(1）求f(x)解析式(用換元法）令t=x+1， t, x=t1, f（t)=（t-1)2-3(t1)+2=t25t+6, t(-，).即y=f（x）=x2-5x+6, x（-,). 這是f(x）的單調(diào)區(qū)間，存在反函數(shù)。 （2）求反函數(shù)易知 y（-,+).y=(x-)2, (x）2=y+, x<， x<0, x=-(y)。 x=-（y-)。 f1(x）=-(x-)。 例3已知f(x）=，求f1(x）. 分析：求分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)逐段求其反函數(shù)，再合并. 解：當(dāng)x0時(shí)，y=x+11,y1，+)， f1(x）=

26、x1 (x1） 當(dāng)x0時(shí)，y=1-x21， y(-,1).反解 x2=1-y, x=（y<1) f1（x)=（x1) 綜上f-1(x)=. 例4已知f(x）=（x3）, 求f-1（5）. 分析：這里應(yīng)充分理解和運(yùn)用反函數(shù)的自變量就是原函數(shù)的函數(shù)值，所求的反函數(shù)的函數(shù)值就是原函數(shù)的自變量這一事實(shí)，轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題。 解:設(shè)f1（5）=x0， 則 f(x0）=5，即 =5 (x03) x02+1=5x0-5， x025x0+6=0。 解得：x0=3或x0=2(舍) f1(5）=3. 例5設(shè)點(diǎn)（4，1）既在f（x）=ax2+b （a0，x>0）的圖象上,又在它的反函數(shù)圖象上,求f（x）解析

27、式。 分析：由前面總結(jié)的性質(zhì)我們知道。點(diǎn)（4，1）在反函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（1，4）必在原函數(shù)的圖象上.這樣就有了兩個(gè)用來(lái)確定a,b的點(diǎn),也就有了兩個(gè)求解a，b的方程。 解:解得。a=， b=, f（x）=x+。 另這個(gè)題告訴我們.函數(shù)的圖象若與其反函數(shù)的圖象相交，交點(diǎn)不一定都在直線y=x上.這一點(diǎn)好些同學(xué)弄不清楚。 例6已知f(x)=的反函數(shù)為f-1(x）=,求a，b,c的值。 分析：注意二者互為反函數(shù)，也就是說(shuō)已知函數(shù)f1（x）=的反函數(shù)就是含字母的反函數(shù)f(x)。 解：求f-1(x)=的反函數(shù)，令f1（x)=y有yx3y=2x+5。 （y2）x=3y+5 x=(y2),f-1(x）的反函數(shù)

28、為 y=.即 =， a=3， b=5, c=-2. 典型題目 題目一：（1999年全國(guó)高考試題）已知映射f:AB,其中,集合A=-3，2,-1，1,2,3,4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且對(duì)任意的aA，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是a，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（ ）。 A、4B、5C、6D、7 分析：根據(jù)映射的基本概念：“映射允許集合A中的不同元素在集合B中有相同的象.”來(lái)解題。 解：已知映射f： AB，在集合A=3,-2,-1,1，2,3,4中共有7個(gè)元素，其中兩個(gè)不同元素-3, 3對(duì)應(yīng)B中相同的象±3=3，2，2對(duì)應(yīng)B中相同的象|±2|=2,1,1對(duì)應(yīng)B中相同的象

29、|±1=1，4對(duì)應(yīng)B中的象4|=4.故本題應(yīng)選擇（A）。 評(píng)述：（1）映射是兩個(gè)集合A與B之間的一種特殊反應(yīng),它的特點(diǎn)是對(duì)于集合A中任一元素，集合B中都有唯一元素和它對(duì)應(yīng);集合A中不同的元素在B中可以有不同的象，也可以有相同的象；集合B中的元素可以有原象,也可以沒(méi)有原象。 (2）映射具有方向性，即從A到B的映射與從B到A的映射一般是不同的映射。 題目二：函數(shù)y=f(x+1）與函數(shù)y=f-1（x+1)的圖象（ ） . A、關(guān)于直線y=x對(duì)稱 B、關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱 C、關(guān)于直線y=x1對(duì)稱 D、關(guān)于直線y=x對(duì)稱 解答：y=f(x+1）與y=f-1(x+1）圖象是分別將y=f（x）

30、， y=f-1（x)的圖象向左平移一個(gè)單位所得, y=f(x）與y=f-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,y=x向左平移一個(gè)單位而得y=x+1. 故選B. 題目三：定義在R上的函數(shù)y=f(x）有反函數(shù),則函數(shù)y=f（x+a）+b的圖象與y=f-1（x+a）+b的圖象間的關(guān)系是（)。 A、關(guān)于直線y=x+a+b對(duì)稱B、關(guān)于直線x=y+a+b對(duì)稱 C、關(guān)于直線y=x+ab對(duì)稱D、關(guān)于直線x=y+ab對(duì)稱 解答:將y=x向左平移a個(gè)單位,向上平移b個(gè)單位得y=x+a+b,故選A. 題目四：求下列函數(shù)的反函數(shù)： （1）y=x2+2x2, x3，-2; (2)y=。 解:（1） y=（x+1）2-3,

31、x3，-2, 2y1且（x+1)2=y+3. x+1=-, y=1， 所求反函數(shù)y=-1-2x1。 （2)若x0，則y=x20, x=。 若x>0, 則 y=-x1-1， x=-y1。 所求反函數(shù)y=. 評(píng)注：求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟是 （1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域 （2）由y=f（x)的解析式求出x=f-1（y）。 （3）將x、y交換位置得y=f1（x） （4）求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，它們聯(lián)合在一起構(gòu)成原函數(shù)的反函數(shù) 題目五:已知點(diǎn)（1，2）既在y=的圖象上，又在它反函數(shù)的圖象上，求a，b 解：點(diǎn)（1,2）在y=上， 2=。.。.。(1）

32、 點(diǎn)（1，2)在y=的反函數(shù)的圖象上，點(diǎn)（2，1）在y=上, 1=。.。.。.（2）由(1），(2)得a=-3， b=7 評(píng)議:本題目巧妙的運(yùn)用了:若點(diǎn)（a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)（b,a）在它的反函數(shù)y=f1(x）的圖象上 題目六：若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)（0，1）點(diǎn),則f1(x+4）的圖象必過(guò)點(diǎn)_ 分析：f(x）的圖象過(guò)(0，1）點(diǎn)， f1(x)的圖象過(guò)（1，0）點(diǎn)，而f-1(x+4)的圖象是把y=f-1（x)的圖象向左平移4個(gè)單位而得到的，故f-1（x+4)的圖象過(guò)(3,0)點(diǎn) 題目七：設(shè)y=f(x）=, y=g(x)的圖象與 y=f-1（x+1）的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,求g（3

33、）的值 解:由y=f1(x+1）, f（y)=x+1. x=f（y）1， y=f(x）-1是y=f1(x+1）的反函數(shù),即它們關(guān)于y=x對(duì)稱所以g（x）=f（x)1， g(3)=f(3）-1=1= 分析：還可以先求出f-1（x),然后求f-1（x+4)，然后求出f1（x+4)的反函數(shù)就是y=g（x）的表達(dá)式子。 評(píng)注：靈活應(yīng)用反函數(shù)的定義，顯得輕盈活潑 題目八：設(shè)y=f(x）是單調(diào)函數(shù)，求證:f(x)的反函數(shù)y=f-1（x)是單調(diào)函數(shù),且其增減性與f(x)增減性一致 證明:以y=f（x)為增函數(shù)時(shí)情況加以證明，用反證法 設(shè)x1<x2, y1=f1（x1）， y2=f-1(x2）, 證明y

34、1<y2。 反之若y1y2， 由于f（x)是增函數(shù),f(y1)f（y2）， 而f(y1）=x1, f（y2）=x2， x1x2與x1<x2矛盾， y1y2, 即f1（x)為增函數(shù)當(dāng)y=f(x)是減函數(shù)時(shí),同理可證 題目九：函數(shù)y=f(x)=(1+)2-2(x2)， 求方程f(x）=f-1(x)的解集 分析:若先求出反函數(shù)f-1（x）=22（x2），再求它的解集,這時(shí)由題設(shè)有2-2=（1+）2-2. 整理得四次方程，求解有困難，但我們可利用y=f(x)與y=f1（x）的圖象關(guān)系求解 首先畫出y=f（x)=(1+）22的圖象,如圖所示因?yàn)榛榉春瘮?shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的

35、，故立即可畫出y=f1（x)的圖象，由圖可見(jiàn)兩圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在y=x上，因此可由方程組： 解得 x=2或-2, 從而得方程f（x)=f1（x)的解集為-2，2函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具,利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).此類題目還很好的考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想。重點(diǎn)、難點(diǎn)：函數(shù)的構(gòu)造思想、數(shù)形結(jié)合與分類思想的運(yùn)用函數(shù)與方程和不等式有緊密的聯(lián)系。我們對(duì)方程不等式的研究，可以采取構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖象進(jìn)行直

36、觀的分析和解決問(wèn)題，在這種解決問(wèn)題的過(guò)程中體現(xiàn)了構(gòu)造的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.方程的問(wèn)題幾乎滲透到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每個(gè)環(huán)節(jié)，方程問(wèn)題的重點(diǎn)是：實(shí)系數(shù)一元二次方程根的討論，簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)方程;熱點(diǎn)是含參數(shù)的對(duì)數(shù)、指數(shù)方程。解決這部分內(nèi)容，經(jīng)常用到的解決問(wèn)題的思想和方法有：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想. 典型例題： 例題1：若方程ax22x+1=0(a>0)的兩根滿足：x11, 1x2<3， 求a的取值范圍. 分析：由一元二次方程聯(lián)想到一元二次函數(shù)，利用函數(shù)解決方程問(wèn)題比較方便，一元二次方程的根和一元二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)情況有關(guān)系. 略解：令y=ax22x+1，從圖象可以得到

37、， 解次不等式組就可以求出a的范圍來(lái)（a>0). 例題2：討論方程|x22x-3=a,aR的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù) 分析：通過(guò)觀察方程兩邊可以令為兩個(gè)函數(shù)，求方程解個(gè)數(shù)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成了求函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題了。 解：作出函數(shù)y= x22x-3=(x-1）2-4的圖象，保留其位于x軸上方的部分,將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,便可得到函數(shù)y=|x22x3的圖象 (如圖)再討論它與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可（1)當(dāng)a0時(shí),解的個(gè)數(shù)是0； (2）當(dāng)a=0時(shí)或a4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是2； (3）當(dāng)0a4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是4；（4）當(dāng)a=4時(shí),解的個(gè)數(shù)是3點(diǎn)評(píng)：將方程和函數(shù)緊密聯(lián)系起來(lái),利用數(shù)形結(jié)合思想解決

38、問(wèn)題比較方便。 例題3:已知方程（2-2k）2=ax(kN)在區(qū)間2k1，2k+1上有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍. 分析：將方程左、右兩邊看成一個(gè)二次函數(shù)和一個(gè)一次函數(shù)，畫出它們的圖像如圖所示，則將原方程在區(qū)間2k1， 2k+1上有兩個(gè)不等實(shí)根問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩圖像在此區(qū)間有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題。 解：設(shè)f（x）=(x2k）2，g(x)=ax,x2k1, 2k+1，在同一坐標(biāo)系中作出二者的圖像，則原方程在2k-1， 2k+1上有兩個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于兩圖像在區(qū)間2k1, 2k+1上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 所以直線l:y=ax應(yīng)介于射線Ox與OB（包括OB）之間，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2k+1, 1) kOx<k

39、lKOB，即0<a 點(diǎn)評(píng):kOx，kl，kOB分別表示直線的斜率，相當(dāng)于一次函數(shù)y=kx+b中的k，過(guò)一、三象限的直線越靠近y軸k就越大。 例題4:若方程有實(shí)數(shù)解，求的范圍. 分析：這個(gè)題目可以直接利用求解對(duì)數(shù)方程的方法去求,但是比較煩瑣，可以考慮用構(gòu)造思想，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化求解。 解：由，令，表示以原點(diǎn)為圓心, 半徑為的半圓(由變成,變成,可以看成是到原點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的集合）， 如圖；令y=x-a（y0)，它表示一射線(不含端點(diǎn))，其中a的幾何意義是射線在x軸上的端點(diǎn)。由圖象可以得到當(dāng)?shù)臅r(shí)候，兩曲線有交點(diǎn),所以a的范圍是 點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題目沒(méi)有采用分類討論的思想，采取數(shù)形結(jié)合的思想，避免了

40、煩瑣的代數(shù)運(yùn)算，解題目的時(shí)候要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法。 例題5:解不等式x+a（a0). 分析：一種方法是列出等價(jià)的不等式組求解；另一種方法是在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出左、右兩邊函數(shù)的圖像,再根據(jù)圖像去分析。 解一:轉(zhuǎn)化為解不等式組 或解得：-ax0。 解二：令y=和y=x+a，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y=和y=x+a的圖像如圖所示，并用解方程x+a的方法求出交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-a，由圖像知原不等式的解集為：x|ax0。 （y=可以變形為，是一個(gè)圓的方程) 點(diǎn)評(píng)：正確繪制圖形,以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。象這一類好字母系數(shù)的不等式問(wèn)題，通過(guò)圖象求解,直觀而簡(jiǎn)潔，在求

41、交點(diǎn)時(shí)需要計(jì)算，而在確定不等式解集時(shí)需要看圖，體現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。 函數(shù)綜合問(wèn)題函數(shù)綜合問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣。 這里主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法,并培養(yǎng)讀者的思維和創(chuàng)新能力。例1已知（)若k = 2，求方程的解；（）若關(guān)于x的方程在（0,2）上有兩個(gè)解x1,x2，求k的取值范圍，并證明命題意圖:本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、分類討論等思想方法分析和解決問(wèn)題的能力。 （I)解：當(dāng) 分兩種情況討論: 當(dāng), 方程化為 當(dāng)， 方程化為1+2x

42、= 0， 解得， 由得， （II）解:不妨設(shè)， 因?yàn)?所以是單調(diào)遞函數(shù), 故上至多一個(gè)解， 方法一： 方法二： 因?yàn)椋?因?yàn)椋?由消去k，得 復(fù)合函數(shù)問(wèn)題復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,是新課程、新高考的重點(diǎn)。此類題目往往分為兩類:一是結(jié)合函數(shù)解析式的求法來(lái)求復(fù)合函數(shù)的值。二是應(yīng)用已知函數(shù)定義域求復(fù)合函數(shù)的定義域.例1對(duì)于函數(shù)，,，判斷如下兩個(gè)命題的真假：命題甲：是偶函數(shù);命題乙：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù);能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（）命題意圖： 本題主要考查利用復(fù)合函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)解決問(wèn)題的能力。解：是偶函數(shù)，又函數(shù)開(kāi)口向上且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)故能使命題甲、乙均為真的函數(shù)僅有故選例

43、2函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_。命題意圖： 本題主要考查代數(shù)式恒等變形和求復(fù)合函數(shù)的值的能力.解:由，得，所以,則.例3已知 求；已知 ，求例4已知 ，求； 已知，求點(diǎn)評(píng):已知求復(fù)合函數(shù)的解析式,直接把中的換成即可。已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達(dá)式先湊成整體的表達(dá)式,再直接把換成而得.換元法就是先設(shè)，從中解出（即用表示)，再把（關(guān)于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得.例6已知是一次函數(shù),滿足，求；已知,求點(diǎn)評(píng)： 當(dāng)已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí),一般用待定系數(shù)法。 若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式。已知

44、滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量,如、等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出。函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣。 這里主要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調(diào)性和周期性的定義,掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象。例1 已知函數(shù),若為奇函數(shù)，則_。命題意圖: 本題主要考查函數(shù)的解析式的求解以及函數(shù)的奇偶性應(yīng)用.常規(guī)解法:由f（x）為奇函數(shù)，所以f（x)+f（x）=0,即應(yīng)填。巧妙解法：因?yàn)閒(x）為奇函數(shù)，所以f(0)=0,即應(yīng)填.點(diǎn)評(píng)：巧妙解法巧在利用了f（x）為奇函數(shù)，所以f(0）

45、=0,這一重要結(jié)論.例2 ，是定義在上的函數(shù)，則“,均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的（）A充要條件B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件D既不充分也不必要的條件命題意圖： 本題主要考查兩個(gè)函數(shù)的加法代數(shù)運(yùn)算后的單調(diào)性以及充分條件和必要條件的相關(guān)知識(shí).解 先證充分性：因?yàn)?，均為偶函?shù),所以,有，所以 為偶函數(shù)反過(guò)來(lái),若為偶函數(shù),不一定是偶函數(shù)如，故選B。方法二：可以選取兩個(gè)特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證故選B點(diǎn)評(píng)：對(duì)充要條件的論證,一定既要證充分性,又要證必要性，二著缺一不可同時(shí),對(duì)于抽象函數(shù)，有時(shí)候可以選取特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證例3對(duì)于函數(shù)y=x3, （1）畫出它的圖象，（2）寫出它的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明之。 解

46、：由圖像知:y=x3的單調(diào)增區(qū)間為（,+)。 證明:顯然y=x3的定義域?yàn)椋?,+）, 在R內(nèi)任取x1和x2， 使x1<x2， f（x1）-f（x2)=x13-x23 =（x1x2）(x12+x1·x2+x22)=(x1x2）（x1+x2)2+x22 x1<x2，x1-x2<0, 又（x1+x2)20， x220，且(x1+x2）2與x22至多一個(gè)為0， f(x1)f(x2）0 即f(x1)f(x2),函數(shù)f（x）在(，+）內(nèi)為增函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)： 1從圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性固然形象，也必須掌握,但這不夠，函數(shù)單調(diào)性的討論還必須會(huì)用定義來(lái)證明. 2此題f(x1)-f（x2)的正負(fù)的討論，易犯以下錯(cuò)誤: x1<x2, x13x23, f(x1）-f(x2）0, 這種做法其實(shí)已經(jīng)用了函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)的結(jié)論，所以它是不可取的，而實(shí)現(xiàn)這種判斷還得靠實(shí)數(shù)的一些