三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用1S 漕 S saaob= 或S aab C 故 oa +OB + OC=0；若。是SBC的重心，則S緋0c1 .。是AABC的重心uOA+OB+OC=0；PG=1-(PA十PB十PC)uG為AABC的重心.32 .。是AABC的垂心仁OAOB=OBOC=OC0A若。是MBC(非直角三角形)的垂心，則S用0c：SMOC：SMOB=tanA：tanB：tanCf故tanAOAtanBOBtanCOC=02223,。是AABC的外心u|OAHOB|=|OC|(或OA=OB=OC)若O是MBC的外心則S國(guó)OC：SOC：SOB=sin/BOC：sin/AOC：sin

2、ZAOB=sin2A:sin2B:sin2c故sin2A0Asin2B0Bsin2C0C=0ABAC"BABCCACBOA()=OB()=OC()=04.O是內(nèi)心AABC的充要條件是IAB|AC|BA|BC|CA|CB|引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為e1，e2，e3,則剛才。是AABC內(nèi)心的充要條件可以寫(xiě)成0A(ei+e3)=0B(ei+e2)=0C(e2+e3)=0,0是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA+bOB+cOC=00若。是&ABC的內(nèi)心，則S$OC：S總OC:S小OB=a：b：c故aOAbOBcOC=麒sinAOAsinBOBs

3、inCOC=0；|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0uP是AABC的內(nèi)心；向量£（4+）（九#0）所在直線過(guò)&ABC的內(nèi)心（是/BAC的角平|AB|AC|分線所在直線）；（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1 . 0是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA + £(rAB+詈),AB ACw b,）則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò) MBC的（）-2 -（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槠帐窍蛄緼BAB的單位向量設(shè)AB與IC方向上的單位向量分別為OPOA=AP,則原式可化為AP=Me+2）2）,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分/

4、BAC,那么在ABBC中，AP平分/BAC,則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HAHB=HB.HC=HCHA點(diǎn)H是ABC的垂心.由HAHB=HBHCyHB（HC-HA）=0uHB.AC=0=HB_LAC,同理HC_lAB,HA_LBC.故H是4人3。勺垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是ABCff在平面上一點(diǎn)，若pA,pB=pBPC=PCPA,則P是ABC勺（D）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由PAPB=PB而得PAPB-PBPC=0.即PB（PA-PC）=0，即PBCA=0則PB_LCA,同理PA_LBC,PC_LAB所

5、以P為AABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.G是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GA+GB+GC=0=點(diǎn)G是4ABC的重/斗證明作圖如右，圖中GB+GC=GE連結(jié)BE和CE則CE=GBBE=GCBGCE平行四邊形nD是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將GB+GC=GE代入GA4GB+GC=0,得gA+EG=0=gA=-gE=-2GD,故G是4人3。勺重心.（反之亦然（證略）例5.P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是4ABC的重心uPG=1（PA+PB+PC）.3證明PG二PAAG:PBBG:PCCG=3PG=（AGBGCG）（PAPBPC）.G是ABC的重心.GA+

6、GB+GC=0=AG+BG4CG=0,gp3pG=PA+PB+PC由此可得pG=1（pA+pB+pc）.（反之亦然（證略）3TT.例6若O為&ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=0,則O是&ABC的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心TTT.TTT解析：由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA,如圖以O(shè)BOC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則OBOC.OD,由平行四邊形性質(zhì)知OEUOD,2OA=2OE,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性22y2-4 -，則O是AABC的（B .外心D.重心,選B質(zhì)，所以是重心，選Db（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O為&ABC內(nèi)一點(diǎn)，A.內(nèi)心

7、解析：由向量模的定義知。到AABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是AABC的外心（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8.已知向量OPi,OP2,OP3滿足條件OK+Op2+Op3=0,|OPi|=|范|=|OP3|=1,求證證明PiP2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）由已知OP；+OP2=OP；,兩邊平方得0P；。"二弓，同理一一一一iop2-op3=op3-OPi=，'|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=V3,從而PlP2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)。是正三角形PiP2P3的中心，則顯然有OPi+OP2+OP3=0且|OPi|=|OP2|=|OP3

8、|.即。是ABCff在平面內(nèi)一點(diǎn)，OPi+OP2+OP3=0且|OPi|=|OP21=|OP3|a點(diǎn)。是正PiP2P3的中心.例9.在ABC中，已知QGH分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：線，且QG:GH=i:2【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（xi,0）、C（X2,y2）,DE、F分別為ABBCAC的中點(diǎn),則有：D（10）、£（,當(dāng)、Fd為22222G（X±iX，y3L）,工=（X2,y4）QF=（QGH三點(diǎn)共設(shè)A(0,0)、BBC-XL):AH_BCAH*BC=x2(x2-x1)y2y4=0y，X2(X2-Xi)y2,QF-AC0

9、_x2xiy2.QF.ACux2(，-)y2產(chǎn)-y3)=0222X2(X2-Xi)N2x/QH三化2-，y4-y3)=(22x2-X13x2(x2-X1)X2/X2XiXiy2z2x2-Xiy2X2(X2-Xi)、QG=(-,y3)=(-,)323632y223x2(X2 -x1)6y2y 21 2x2 X i_7)=3(F-3x2(X 2 - Xi) y2、一2一萬(wàn))-13 -=iQH3即 QH =3QG',故 QG H三點(diǎn)共線，且QG GH=i:例i0.若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證OH=OAOBOC.證明若ABC的垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D,連結(jié)A

10、RCDAD1AB,CDIBC.又垂心為H,AH±BC,CH1AB,.AH/CDCH/ADJ四邊形AHCM平行四邊形，AH=DC=DO-+CC,故OH=OA+AH=OA+OB+OC.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關(guān)系：(i)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題.例ii.設(shè)QGH分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證ogUoH3證明按重心定理G是ABC的重心wOG=-(O

11、A+OB+OC)3按垂心定理OH =OA OB OC由此可得 OG=1OH3“重心”的向量風(fēng)采【命題i】G是4ABC所在平面上白一點(diǎn)，若 GA+GB +GC =0,則G是 ABC的重心.如圖(1).圖【命題2 已知O是平面上一定點(diǎn),圖A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+MAB+AC),九三(0,十比)，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的重心.【解析】由題意AP=A(AB+AC),當(dāng)九w(0,+8)時(shí)，由于K(品十足)表示BC邊上的中線所在直線的向量,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的重心，如圖.的向量風(fēng)采【命題3】P是4ABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPB=PBPC=PCPA,則P是A

12、ABC的垂心.【解析】由PA.PB=PBPC,得PB(PA-PC)=0,即7BCA=0,所以EBCABC.aP是ABC的垂心.如圖.PC±ABABC是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA_ABABcosBAC+ACcosC,兒w(0,+叼，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)zABC的垂心.ABACABBCcosBABcosBACcosCACcosCABcosBcosC'J=|bc|CB'=0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)A且垂直于BC的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)4ABC的垂心，如圖.“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】已知I為ABC所在平面上的一點(diǎn)，且AB=c,

13、AC=b,BC=a.若aIA+bIB+clC=0,則I是ABC的內(nèi)心.圖圖bABcAC,貝U由題意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,abc分別為AB和"AC方向上的單位向量,【解析】由題意得AP 當(dāng)九w(0,+s)時(shí),k +AP表示/ BAC的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò) ABC的內(nèi)心，如圖四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】 已知。是 ABC所在平面上一點(diǎn)，若則O是4ABC的外心.oA =O? =OC ,【解析】若 OA =OB =OC'，則則O是4ABC的外心，如圖A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足【命題7 已知O是平面上的一定點(diǎn),九w

14、 (0, +/)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)4ABC的外心.K與/BAC平分線共線，即AI平分/BAC.同理可證：BI平分NABC,CI平分NACB.從而I是4ABC的內(nèi)心，如圖.【命題6】已知。是平面上一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足九w(0,+g),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ZXABC的內(nèi)心.【解析】由于汽生過(guò)BC的中點(diǎn)，當(dāng)）時(shí),AB九ABjcosB ACACcosC表示垂直于BC的向量（注意：理由見(jiàn)二、4條解釋。）,所以P在BC垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的外心,如圖。補(bǔ)充練習(xí)1.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=-(-OA

15、+-OB+2OC),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的322A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心D.AB邊的中點(diǎn)1111 .B取AB邊的中點(diǎn)M,則OA+OB=2OM,由OP=-（-OA+OB+2OC）可得32230P=3OM+2MC,MP，=2MC,即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且3點(diǎn)P不過(guò)重心，故選B.人十=|»一2-2-2-2-22 .在同一個(gè)平面上有aabc及一點(diǎn)o酒足關(guān)系式：oa+BC=OB+CA=OC+AB、則O為MBC的A外心B內(nèi)心C重心D垂心3 .已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：PA+PB+PC=0,則P為AABC的（

16、C）A外心B內(nèi)心C重心D垂心4 .已知0是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+mAB+AC）,則p的軌跡一定通過(guò)abc的（c）A外心B內(nèi)心C重心D垂心5 .已知ABCP為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：TtTtTTPA,PC+PA,PB+PBPC=0,則P點(diǎn)為三角形的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心6 .已知ABCP為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：aPA+bPb+c*PC=0,則P點(diǎn)為三角形的（B）A外心B內(nèi)心C重心D垂心-226 .在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：CA=CB-2AB,CP,則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)ABC的:（B）A外心B內(nèi)心C重心D垂心一

17、aBaC一廠aBaCi，7 .已知非零向量ABWAC兩足（十）-BG=0且鬲=2,則4ABC為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形Tr解析：非零向量與滿足（用_+嶼_）=0,即角A的平分線垂直于BC,.AB=AC,又|AB|AC|cosA=_A，.牛=1,/A=2,所以4ABC為等邊三角形，選D.|AB|AC|238 .MBC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH=m（0A+0B+0C）,則實(shí)數(shù)m二9 .點(diǎn)0是MBC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足0AOB=OBOC=OCOA,則點(diǎn)O是AABC的（B）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線

18、的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)10 .如圖1,已知點(diǎn)G是AABC的重心，過(guò)G作直線與AB,AC兩邊分別交于MN兩點(diǎn)，且扁=xAB,AN=yAC,則。十工=3。xy證點(diǎn)G是AABC的重心，知+GB十GC=0,得AG（AB-AG）（AC-AG）=0,有AG=1（AB+AC）。又M,N,G三點(diǎn)共線（A不在直線MN3上），i于是存在加N,使得斑=九扁+RAN（且兒+N=1）,有AG=lxAB+RyAC=1(AB+AC),3.J=111得1,于是得工+2=3。h=Ny=-xy1、課前練習(xí).2221.1 已知。是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA=OB=OC，則。是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)

19、心1.2 在4ABC中，有命題aBAC=BC;aB+BC+cA=0；若（AB+AC）.（AB而）=0,則ABCJ等腰三角形；若AB，ACA0,則4ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B、C、D、例1、已知AB/,有1AB+1AC前=0和普昌=，試判斷ABC的形狀JABIMl）網(wǎng)網(wǎng)2練習(xí)1、已知ABC中，AB=a,BC=b,B是4ABC中的最大角，若a*b<0,試判斷ABC的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問(wèn)題例2、已知。是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足Oa2|bc2ob2|ac2oc2|ab2,則O是AABC的A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問(wèn)題例3、已知P是 ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足OP = OA +九AB AC 十ABAC則動(dòng)點(diǎn)P一定過(guò)ABC的A重心B 、垂心C 、外心D 、內(nèi)