張老師(近代平差理論簡介)

1、近代數據處理理論與方法近代數據處理理論與方法長安大學地質工程與測繪工程學院長安大學地質工程與測繪工程學院張張 勤勤1、現實世界的模型化、現實世界的模型化 用正確的數字化方法描述現實世界用正確的數字化方法描述現實世界2、模型的解算方法、準則、模型的解算方法、準則 數據處理方法數據處理方法 、平差準則、平差準則3、質量評價、質量評價 精度、可靠性精度、可靠性4、數據的挖掘、數據的挖掘從數據中提取隱含、潛在的信息從數據中提取隱含、潛在的信息一、數據處理內涵 1. 經典平差經典平差 1.1最小二乘原理最小二乘原理 測量平差：求含有隨機誤差的觀測值及其函數的平差值即求定未知參數的最佳估值. 最小二乘原理

2、：觀測值改正數的平方和等于最小,如下所示 :min)(min,2VPVVT二、近代平差理論簡介 函數模型函數模型是描述觀測量與待求參數間的數學函數關系的模型，是確定客觀實際的本質或特征的模型。 隨機模型隨機模型是描述平差問題中的隨機量（如觀測量）及其相互間統計相關性質的模型。平差數學模型平差數學模型1.2 測量平差數學模型測量平差數學模型高斯高斯馬爾柯夫模型：馬爾柯夫模型： AXL AXLE馬爾柯夫（1912） 測量平差模型： 函數模型： 隨機模型： （觀測值應滿足的隨機性質）Q，D，P是 或L的對角陣.由于絕大多數情況真值不知所以 不知，用改正數V代替 : V=AX-L （間接平差函數） R

3、（A）=m （列滿秩） QPDE2012000我們根據高斯的最小二乘原理可以得出最優(yōu)無偏估計量:無偏性： 最優(yōu)性： LLEmin)(Qtr1.3 經典平差主要研究內容：經典平差主要研究內容：對于未知參數獨立獨立（列滿）解算法方程組。 簡化方法主要有: 填表（高斯改化法） 史賴伯法則 克里格爾分區(qū)法 赫爾默特平差法 克拉索夫斯基平差法 經典平差模型R（A）=U R（Q）=n X為非隨機參數 1 1 1 nununXAL 12020PQD min)()(LXAPLXAPVVTT 經典平差公式 QVLL)AX-L( )(20201XXo11XXXTTTTQDunPVVNXAVPANPAPAAX2 近

4、代測量平差進展近代測量平差進展2.1 前言前言 數據采集手段現代化、自動化、高精度 隨著電子計算機，矩陣代數，泛函分析，最優(yōu)化理論以及概率統計的發(fā)展和完善,經典平差逐漸發(fā)展到近代平差.2.2 相關平差：相關平差：（1947年）田斯特拉（Tienstla） 高斯馬爾柯夫模型,Q，D，P是滿秩的. 觀測獨立 相關, 直接觀測值 導出量 相關平差對測量平差理論研究有重大促進作用，推動了測量平差的發(fā)展,它有著強的概括性，和統一的形式。 當B=-E,C=0時,間接平差（參數平差） ( ) 當A=0,C=0時,條件平差： ( ) 當B=-E時,帶約束的間接平差：WXCfXABV 0EfXAVlXBVfBV

5、0WAV fXAV WXC當C=0時，帶未知數的條件平差： ( )當P，Q對角陣則對應經典平差；當P，Q滿秩陣則對應相關平差；相關平差使最小二乘原理平差概念廣義化，是測量平差理論的一大進展。fXABV0WXBAV2.3 秩虧平差：秩虧平差：（1962年）邁塞爾（Meissl）A列滿秩 奇異陣經典平差要求：必要的起算數據（基準）；使平差結果強制附加在起算數據上（A列滿秩) (最小二乘）唯一解；系數A奇異陣 最小二乘，無唯一解；增加新的求解條件唯一解； 普通秩虧自由網平差： 在 最小二乘，最小范數條件下加權秩虧自由網平差： 在 最小二乘，加權最小范數條件下 擬穩(wěn)平差：將網中的未知數分為兩類: 是非

6、穩(wěn)定點， 是穩(wěn)定點； minminXXPVVTTminminXPXPVVXTTIIIXXZXX在 部分參數最小范數1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P滿秩 Q ， P奇異（奇異權逆陣的最小二乘） 1971年勞（Rao）廣義高斯馬爾柯夫minminIITIITXXPVVminVQVTLXAVtAR)(QD200)det(Q2.4 最小二乘濾波、推估和配置最小二乘濾波、推估和配置 最小二乘平差：X未知參數是非隨機的量，不具有隨機的性質1969年克拉魯普（Krarup），隨后莫里茲（Moritz）提出了帶隨機性的未知參數的平差；根據所含未知參數的性質的不同分為： 濾波： 未

7、知參數信號Y與觀測值建立了函數模型的濾波信號； 濾波推估: 除了含有濾波信號（未知參數）還含有：推估信號 ；未知參數與觀測值沒有建立函數模型。 BYL。BYL Y最小二成配置（擬合推估）： 即包含最小二乘中的非隨機未知數，又包含隨機未知參數（信號）2.5整體大地測量：整體大地測量： 傳統數據處理：平面與高程位置分開處理，沒有充分發(fā)揮不同類 觀測數據對平差結果的效益。沃爾夫1963導出了符合三維大地測量的誤差方程式。海茲1973提出了聯合水準數據的平差方法?；舳〉模∕athematical Geodesy）是三維大地測量的基本文獻。水平方向，天頂距，斜距，天文經緯度，方位角，水準數據 GPS測量

8、重力數據，物理量和幾何量的相互整體平差時間動態(tài)平差。BYAXL2.6 隨機模型的驗后估計隨機模型的驗后估計經典平差研究：平差函數模型的建立研究平差方法，方程 式的建立；近代平差研究：隨機模型觀測值的權（觀測值之間的精度 比例）近代： 不同類多種觀測值，不同精度的觀測值；驗前方差：平差前根據一些條件確定的可能不能如實反映測量 精度，各觀測量之間的權比不合理。驗后方差：通過平差估計方差方差分量估計達到提高 平差結果精度，比較可靠地確定各觀測量之間的權。隨機模型的驗后估計的方法隨機模型的驗后估計的方法有有: 赫爾默特估計法：建立各類觀測值 與對應的 的關系式，通過平差求得的 ,求 , MINQUE估

9、計法（Rao 1970）：最小范數：根據估計應具有的性質：無偏性，不變性，最小范數。把滿足這些性質的條件變成一個求最小跡的極值問題，求極值的解。BIQUE法（Koch 1980）庫貝克（Kubik ）最大似然法：假設隨機變量服從正態(tài)分布，然法函數可表示為方差協方差的數學期望的函數，然后使該函數為最大。iTiPVV2iiTiPVV2iii22.7考慮系統誤差、粗差的平差方法；考慮系統誤差、粗差的平差方法； 觀測誤差：按性質分：粗差 、系統誤差 、偶然誤差 , 在平差前，不可能完全被剔除、消除，因此不符合正態(tài)分布的要求，仍用最小二乘，將使平差結果失真（航測、GPS）則須考慮考慮系統的平差方法： 在

10、僅含有偶然誤差模型中加入一些附加參數（系統參數）以補償觀測數據中存在的系統誤差對結果的影響。hsggsKgs平差模型為：S為附加參數向量剔除粗差的平差方法；測量中除了有偶然誤差，還有粗差，導致平差結果失真、不可靠。傳統中采用在測量工作中剔除粗差。例如，增加多余觀測，閉合差檢驗。檢驗方法，統計檢驗粗差，僅說明有無粗差。無法剔除粗差。1968年，巴爾達提出“數據探測”法和可靠性理論?？煽啃裕ɡ碚撋涎芯浚┩饪煽啃裕浩讲钕到y發(fā)現觀測值最小粗差的能力。BSAXL內可靠性：不可發(fā)現的最大粗差對平差結果的影響（優(yōu) 化設計中用）定網形態(tài)，觀測量多少。測量實用上，研究在平差過程中自動剔除粗差方法,即粗 差定位粗

11、差定位分為兩種：粗差歸入函數模型的數據探測法（識別法）粗差歸入隨機模型的穩(wěn)健估計法（調節(jié)法）（Robust） 優(yōu)缺點：識別法：可以剔除粗差。依靠V最小二乘將大改正數分 配到許多觀測值上。調節(jié)法：不能剔除粗差，改正數、權合理分配。2.8 有偏估計：有偏估計：經典平差最小二乘原理最優(yōu)無偏估計。當平差中含有較多未知參數的大型線性模型，未知參數可能近似線性相關，法方程性態(tài)不好（病態(tài)）接近奇異，按最小二乘平差將導致雖滿足最小二乘最優(yōu)條件。方差最小，但值都很大，精度差，相當不穩(wěn)定。 XXE 0)lim( XXE minXXXXETTr有偏估計：準確度：（精度好，準確度差） 偏差：有偏估計：基本思想：方差和

12、偏差都要小，或適當增大，換取的減小嶺估計：廣義嶺估計、主成分估計、特征根估計。 XXE XXEXBias TrXDtXMSE)(2.9大地網優(yōu)化設計大地網優(yōu)化設計傳統大地網設計，僅憑經驗進行，只要滿足要求，并不最優(yōu)科學。隨著電子計算機、數理統計、矩陣代數、優(yōu)化方法在測量中的應用，現在已經可能采用科學的方法，設計出滿足精度要求、成本低、可靠性強的最優(yōu)大網，此過程稱為大地網優(yōu)化設計大地網優(yōu)化設計與最小二乘平差緊密相關，統一起來。平差測量成果的后處理。設計測量前的計劃。通常，將大地網最優(yōu)化設計按其過程分為四類：零類設計（ZOD）選擇大地網基準一類設計（FOD）大地網圖形設計二類設計（SOD）觀測權的

13、設計三類設計（THOD）改進已有大地網的圖形和觀測權此分類并不合理優(yōu)化準則：精度標準，可靠性標準，費用標準?？偨Y：總結：經典平差：高斯馬爾柯夫模型： ( 無偏估計）X非隨機，L隨機獨立，A列滿秩，P對角方陣； AXL120200)(PQDE近代平差：使觀測值概念廣義化。L隨機獨立隨機相關，P對稱方陣（相關平差）。A列滿秩A秩虧，秩虧自由網平差；X非隨機參數具有各態(tài)經歷性的平穩(wěn)隨機函數（擬合推估）最小二乘配置；僅考慮研究函數模型（各種平差方法）考慮研究隨機模型（方差分量估計）；不考慮模型誤差（系統差，粗差）顧及模型誤差（附加系統參數的平差，可靠靠性理論，數據探測，穩(wěn)健估計） 無偏估計 有偏估計僅處理幾何數據，物理數據聯合（整體大地網平差）二維平差向三維平差發(fā)展； 靜態(tài)平差動態(tài)平差，考慮時間參數t (參數隨時間的變化)；按經驗設計大地網最優(yōu)設計大地網（大地網優(yōu)化設計）線性代數，泛函分析，近代回歸分析，多元統計分析，隨機數學，計算機理論。 0E XXE 0E XXE參數估計準則：最小二乘估計；參數估計準則：最小二乘估計；參數估計理論發(fā)展：極大似然估計、極大驗后估計、最有無偏估計、貝葉參數估計理論發(fā)展：極大似然估計、極大驗后估計、最有無偏估計、貝葉斯估計、斯估計、P-范估計、信息擴展估計