數(shù)學(xué)必修ⅱ北師大版 第二章橢圓課件

1、1橢橢 圓圓2三年三年1919考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)；掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)；2.2.了解橢圓的實(shí)際背景及橢圓的簡單應(yīng)用；了解橢圓的實(shí)際背景及橢圓的簡單應(yīng)用；3.3.理解數(shù)形結(jié)合的思想理解數(shù)形結(jié)合的思想. .31.1.橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，而直線橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，而直線與橢圓的位置關(guān)系既是高考的重點(diǎn)也是高考的熱點(diǎn)；與橢圓的位置關(guān)系既是高考的重點(diǎn)也是高考的熱點(diǎn)；2.2.直線與橢圓的位置關(guān)系，往往與向量、函數(shù)、不等式等知直線與橢圓的位置關(guān)系，往往與向量、函數(shù)、不等

2、式等知識(shí)交匯命題；識(shí)交匯命題；3.3.選擇、填空題?？疾闄E圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；選擇、填空題常考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；解答題經(jīng)常以兩問的形式出現(xiàn)，第一問考查橢圓的定義、標(biāo)解答題經(jīng)常以兩問的形式出現(xiàn)，第一問考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)，第二問則考查直線與橢圓的位置關(guān)系準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)，第二問則考查直線與橢圓的位置關(guān)系及學(xué)生分析問題、解決問題的能力及學(xué)生分析問題、解決問題的能力. .41.1.橢圓的定義橢圓的定義(1)(1)滿足條件滿足條件在平面內(nèi)在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距離之的距離之_等于常數(shù)等于常數(shù)常數(shù)大于常數(shù)大于_(2)(2)焦點(diǎn)

3、：兩定點(diǎn)焦點(diǎn)：兩定點(diǎn)(3)(3)焦距：兩焦距：兩_間的距離間的距離和和|F|F1 1F F2 2| |焦點(diǎn)焦點(diǎn)5【即時(shí)應(yīng)用即時(shí)應(yīng)用】判斷下列點(diǎn)的軌跡是否為橢圓判斷下列點(diǎn)的軌跡是否為橢圓.(.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填“是是”或或“否否”) )(1)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)平面內(nèi)到點(diǎn)A(0A(0，2)2)，B(0B(0，-2)-2)距離之和等于距離之和等于2 2的點(diǎn)的軌的點(diǎn)的軌跡跡( )( )(2)(2)平面內(nèi)到點(diǎn)平面內(nèi)到點(diǎn)A(0A(0，2)2)，B(0B(0，-2)-2)距離之和等于距離之和等于4 4的點(diǎn)的軌的點(diǎn)的軌跡跡( )( )(3)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)平面內(nèi)到點(diǎn)A(0A(0，2)2)，B(0B(0，

4、-2)-2)距離之和等于距離之和等于6 6的點(diǎn)的軌的點(diǎn)的軌跡跡( )( )6【解析解析】由橢圓的定義可知由橢圓的定義可知:(1):(1)距離之和小于距離之和小于|AB|AB|，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡不存在；的軌跡不存在；(2)(2)距離之和等于距離之和等于|AB|AB|，點(diǎn)的軌跡是以，點(diǎn)的軌跡是以A A、B B為端點(diǎn)的一條線段；為端點(diǎn)的一條線段；(3)(3)符合橢圓定義，點(diǎn)的軌跡是以符合橢圓定義，點(diǎn)的軌跡是以A A、B B為焦點(diǎn)，長軸長為為焦點(diǎn)，長軸長為6 6的橢圓的橢圓. .答案：答案：(1)(1)否否 (2)(2)否否 (3)(3)是是 72.2.根據(jù)圖形寫出相對(duì)應(yīng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

5、根據(jù)圖形寫出相對(duì)應(yīng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程A1xyoB2A2B1F1F2bac對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱中心：原點(diǎn)長軸長軸A1A2的長為的長為2a短軸短軸B1B2的長為的長為2b圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)軸軸22221xyab （ab0）22221yxab （ab0）-a x a-b y b-b x b-a y aA1(-a，0),B1(0，-b) ,A2（a，0）B2（0，b）A1(0，-a),A2（0，a）B1(-b，0),B2（b，0）xyoA2B1B2A1F1F2bca8 0,1cea 222abc 圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)焦距焦距離心

6、率離心率a a、b b、c c的關(guān)系的關(guān)系122F Fc xyoB2A1A2B1F1F2bacxyoA2B1B2A1F1F2bca9【即時(shí)應(yīng)用即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)思考：橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系思考：橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系? ?提示：提示：因?yàn)殡x心率因?yàn)殡x心率 所以，離心率越接近所以，離心率越接近于于1 1，b b就越接近于就越接近于0 0，即短軸的長接近于，即短軸的長接近于0 0，橢圓就越扁；離心，橢圓就越扁；離心率越接近于率越接近于0 0，a a、b b就越接近，即橢圓的長、短軸長越接近相就越接近，即橢圓的長、短軸長越接近相等，橢圓就越接近于圓，但

7、永遠(yuǎn)不會(huì)為圓等，橢圓就越接近于圓，但永遠(yuǎn)不會(huì)為圓. .222ca -bbe= 1-()aaa，10(2)(2)已知橢圓已知橢圓 的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在y y軸上，若橢圓的離心率為軸上，若橢圓的離心率為則則m m的值為的值為_._.【解析解析】 的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在y y軸上，所以軸上，所以a a2 2=m,=m,b b2 2=2=2，離心率為，離心率為 又離心率為又離心率為 所以解得所以解得 m= .m= .答案：答案：22xy+=12m12，22xy+=12m22ca -bm-2e=aam，12，m-21=2m，838311(3)(3)已知橢圓的短軸長為已知橢圓的短軸長為6 6，離心率為，離心率為 ，

8、則橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到，則橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長軸端點(diǎn)的距離為長軸端點(diǎn)的距離為_._.【解析解析】因?yàn)闄E圓的短軸長為因?yàn)闄E圓的短軸長為6 6，所以，所以b=3 b=3 又因?yàn)殡x心率為又因?yàn)殡x心率為 ，所以，所以 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍 a2 2=b=b2 2+c+c2 2 解組成的方程組得：解組成的方程組得：a=5,c=4.a=5,c=4.所以，焦點(diǎn)到長軸端點(diǎn)的距離為：所以，焦點(diǎn)到長軸端點(diǎn)的距離為：a+c=9a+c=9或或a-c=1.a-c=1.答案：答案：9 9或或1 14545c4=a512 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】1.1.橢圓定義的應(yīng)用橢圓定義的應(yīng)用利用橢圓的定義解題

9、時(shí)，一方面要注意常數(shù)利用橢圓的定義解題時(shí)，一方面要注意常數(shù)2a|F2a|F1 1F F2 2| |這一條這一條件；另一方面要注意由橢圓上任意一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所組成的件；另一方面要注意由橢圓上任意一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所組成的“焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形”中的數(shù)量關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系. .132.2.橢圓焦點(diǎn)不確定時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法橢圓焦點(diǎn)不確定時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法當(dāng)已知橢圓的焦點(diǎn)不明確而又無法確定時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為當(dāng)已知橢圓的焦點(diǎn)不明確而又無法確定時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 (m0,n0,mn)(m0,n0,mn)，這樣可避免討論和復(fù)雜的計(jì)算；也，這樣可避免討論和復(fù)雜的計(jì)算；也可設(shè)為可設(shè)為AxAx2 2+By+By2

10、2=1(A0,B0,AB)=1(A0,B0,AB)這種形式這種形式, ,在解題時(shí)更簡便在解題時(shí)更簡便. . 22xy+=1mn14【例例1 1】(1)(2012(1)(2012合肥模擬合肥模擬)P)P為橢圓為橢圓 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，F(xiàn) F1 1、F F2 2為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F F1 1PFPF2 2=60=60，則，則 =( )=( )(A)3 (B) (C)2 (D)2(A)3 (B) (C)2 (D)2(2)(2)已知已知ABCABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B B、C C在橢圓在橢圓 上，頂點(diǎn)上，頂點(diǎn)A A是橢圓的是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外

11、一個(gè)焦點(diǎn)在BCBC邊上，則邊上，則ABCABC的周長的周長為為_._.(3)(3)已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P P到兩焦點(diǎn)的距到兩焦點(diǎn)的距離分別為離分別為5 5、3 3，過，過P P且與長軸垂直的直線恰好過橢圓的一個(gè)焦且與長軸垂直的直線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程點(diǎn)，求橢圓的方程. .22xy+=14312PFPF 3322x+y =1315【解題指南解題指南】(1)(1)已知向量已知向量 的夾角為的夾角為6060，選擇公式，選擇公式 = cosF= cosF1 1PFPF2 2計(jì)算計(jì)算 從而把問題轉(zhuǎn)化從而把問題轉(zhuǎn)化為求為求 的值，然后

12、利用橢圓的定義及余弦定理可解；的值，然后利用橢圓的定義及余弦定理可解；(2)(2)注意注意A A為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且BCBC邊過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，因邊過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，因此，可借助于橢圓的定義求此，可借助于橢圓的定義求ABCABC的周長的周長. .(3)(3)可先設(shè)橢圓的方程為可先設(shè)橢圓的方程為 或或 (ab0)(ab0)，再根，再根據(jù)題設(shè)條件求出相應(yīng)的參數(shù)值即可據(jù)題設(shè)條件求出相應(yīng)的參數(shù)值即可. .12PF,PF 12PFPF 12|PF|PF | 12PFPF , 12|PF|PF | 2222xy+=1ab2222yx+=1ab16【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選

13、D.D.由題意得由題意得a=2,b= , a=2,b= , =2c=2. =2c=2.在在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理得中，由余弦定理得即即(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)锳 A為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且BCBC邊過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，邊過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)該焦點(diǎn)為設(shè)該焦點(diǎn)為F F，所以由橢圓的定義得：，所以由橢圓的定義得：322c= a -b =1，12|PF|+|PF |=2a=4. 1 2|FF |22211 2122|FF | =|PF| +|PF | -2|PF |PF |cos60 212124=(|PF|+|PF |) -3|PF|PF | 121212|PF|PF

14、 |=4PFPF =|PF|PF |cos60 =2.， 17|BA|+|BF|= |CA|+|CF|= |BA|+|BF|= |CA|+|CF|= 因此，因此，ABCABC的周長為的周長為 答案：答案： (3)(3)設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為 或或 (ab0)(ab0)，因?yàn)?，因?yàn)镻 P到兩焦到兩焦點(diǎn)的距離分別為點(diǎn)的距離分別為5 5、3 3，所以，所以2a=5+3=82a=5+3=8，即，即a=4a=4，又因?yàn)檫^，又因?yàn)檫^P P且與且與長軸垂直的直線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以長軸垂直的直線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以(2c)(2c)2 2=5=52 2-3-32 2= =1616，所以，所以c

15、c2 2=4=4，因此因此b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=12=12，所以橢圓方程為：，所以橢圓方程為：2 3,2 3,4 3.4 32222xy+=1ab2222yx+=1ab2222xyyx+=1+=1.16121612或18【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】本例本例(3)(3)將條件將條件“過過P P且與長軸垂直的直線恰好且與長軸垂直的直線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)”改為改為“點(diǎn)點(diǎn)P P和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形角三角形”, ,結(jié)果如何？結(jié)果如何？19【解析解析】當(dāng)其中一個(gè)焦點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，與例題條件相同，當(dāng)其中一個(gè)焦點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，與例題條件相同，所

16、以，橢圓方程為所以，橢圓方程為 ；當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)P P時(shí)，則有時(shí)，則有(2c)(2c)2 2=5=52 2+3+32 2=34=34，所以所以c c2 2= = ，又因?yàn)椋忠驗(yàn)閍=4a=4，所以，所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2= = ，所以橢圓方程為：所以橢圓方程為： ；綜上可知：所求橢圓方程為：綜上可知：所求橢圓方程為： 或或 . .2222xyyx+=1+=116121612或1721522222x2yy2x+=1+=116151615或2222xyyx+=1+=116121612或2222x2yy2x+=1+=116151615或20【反思反思感悟感悟】1.

17、1.在解決橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，在解決橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，經(jīng)常聯(lián)想到橢圓的定義，即利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之經(jīng)常聯(lián)想到橢圓的定義，即利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和等于和等于2a2a求解，涉及到橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形時(shí)，求解，涉及到橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形時(shí)，還常用余弦定理求解還常用余弦定理求解. .2.2.在求橢圓方程時(shí)，若已知橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，可在求橢圓方程時(shí)，若已知橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，可先求出橢圓長軸長，再想法求短軸長，從而得出方程；若已先求出橢圓長軸長，再想法求短軸長，從而得出方程；若已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法知點(diǎn)的

18、坐標(biāo)，可先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法求解；求解；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定時(shí)，應(yīng)考慮焦點(diǎn)在當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定時(shí)，應(yīng)考慮焦點(diǎn)在x x軸、在軸、在y y軸兩種情軸兩種情形，無論哪種情形，始終有形，無論哪種情形，始終有ab0.ab0.21【變式備選變式備選】已知已知F F1 1、F F2 2是橢圓是橢圓C C： (a(ab b0)0)的兩個(gè)的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦點(diǎn)，P P為橢圓為橢圓C C上的一點(diǎn)，且上的一點(diǎn)，且 若若PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為9 9，則則b=_.b=_.【解析解析】設(shè)設(shè)|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2, ,則則 2r2r1 1r

19、 r2 2=(r=(r1 1+r+r2 2) )2 2-(r-(r2 21 1+r+r2 22 2)=4a)=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, , b=3. b=3.答案：答案：3 32222xy+=1ab12PFPF . 1222212r +r =2a,r +r =4c212PF F1 21S=rr =b =9,222橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】1.1.橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x x、y y的范圍，離心率的范圍等，在求與的范圍，離心率的范圍等，在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、

20、最小值時(shí)，經(jīng)常用橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到這些不等關(guān)系到這些不等關(guān)系. .232.2.利用橢圓幾何性質(zhì)應(yīng)注意的問題利用橢圓幾何性質(zhì)應(yīng)注意的問題求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. .3.3.求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于求橢圓的離心率時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a a、b b、c c的

21、等式的等式( (或不等式或不等式) )，利用，利用a a2 2=b=b2 2+c+c2 2消去消去b b，即可求得離心率或，即可求得離心率或離心率的范圍離心率的范圍. .【提醒提醒】橢圓離心率的范圍橢圓離心率的范圍:0e1. :0eb0)(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為分別為F F1 1、F F2 2，點(diǎn)，點(diǎn)P P在橢圓上，且在橢圓上，且 ，tanPFtanPF1 1F F2 2=2,=2,則則該橢圓的離心率等于該橢圓的離心率等于_._.【解題指南解題指南】由由 得得F F1 1PFPF2 2為直角三角形，再由為直角三角形，再由tanPFtanPF1 1F F2 2=2=2得出兩直角邊的比

22、為得出兩直角邊的比為2 2，而斜邊長為，而斜邊長為2c2c，由勾股，由勾股定理及橢圓的定義即可求出離心率定理及橢圓的定義即可求出離心率. .2222xy+=1ab12PFPF =0 12PFPF =0 25【規(guī)范解答規(guī)范解答】因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以PFPF1 1PFPF2 2，得，得F F1 1PFPF2 2為直為直角三角形，又因?yàn)榻侨切?，又因?yàn)閠anPFtanPF1 1F F2 2=2=2，所以可設(shè)，所以可設(shè)|PF|PF1 1|=m|=m，則，則|PF|PF2 2|=2m|=2m，2a=3m2a=3m，2c= m2c= m，所以離心率所以離心率答案：答案：12PFPF =0 c2c5m5e

23、=.a2a3m353526【反思反思感悟感悟】1.1.求橢圓的離心率的值的問題，關(guān)鍵是依據(jù)求橢圓的離心率的值的問題，關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件尋找關(guān)于題設(shè)條件尋找關(guān)于a a、b b、c c的一個(gè)等式，或解方程求出離心的一個(gè)等式，或解方程求出離心率，或直接求出離心率；率，或直接求出離心率；2.2.在解方程求橢圓離心率的值時(shí)，要注意橢圓離心率自身的在解方程求橢圓離心率的值時(shí)，要注意橢圓離心率自身的范圍，有增根要舍去范圍，有增根要舍去. . 27【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】定義：離心率定義：離心率 的橢圓為的橢圓為“黃金橢圓黃金橢圓”，已知已知E E： (ab0)(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c0

24、)F(c,0)(c0)，則，則E E為為“黃金橢圓黃金橢圓”是是“a a、b b、c c成等比數(shù)列成等比數(shù)列”的的( )( )(A)(A)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(B)(B)充分且必要條件充分且必要條件(C)(C)充分不必要條件充分不必要條件(D)(D)必要不充分條件必要不充分條件 5-1e=22222xy+=1ab28【解析解析】選選B.B.若若E E為黃金橢圓，則為黃金橢圓，則所以所以a,b,ca,b,c成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .若若a a、b b、c c成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，則b b2 2=ac=ac a a2 2-c-c2 2=ac=ace e2 2+e-1=0+e

25、-1=0，又，又0e1,0eb0)(ab0)的左頂點(diǎn)，的左頂點(diǎn)，B B，C C在橢圓在橢圓E E上，若四邊形上，若四邊形OABCOABC為為平行四邊形，且平行四邊形，且OABOAB3030，則橢圓，則橢圓E E的離心率等于的離心率等于_._.2222xy+=1ab30【解析解析】依題設(shè)知：點(diǎn)依題設(shè)知：點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( )( )，又因?yàn)辄c(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)C C在橢圓在橢圓E E上，所以有上，所以有 解得解得a a2 2=9b=9b2 2，因此，因此，a a2 2=9(a=9(a2 2-c-c2 2) )，即，即所以橢圓所以橢圓E E的離心率等于的離心率等于 答案：答案： a3a,262222

26、a3a+=14a36b，22c8=a9，2 2.32 2331直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】1.1.直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟首先：聯(lián)立直線方程與橢圓方程；首先：聯(lián)立直線方程與橢圓方程；其次：消元得出關(guān)于其次：消元得出關(guān)于x(x(或或y)y)的一元二次方程；的一元二次方程；得出結(jié)論：當(dāng)?shù)贸鼋Y(jié)論：當(dāng)0 0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)=0=0時(shí)，直線時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)與橢圓相切；當(dāng)0 0時(shí)，直線與橢圓相離時(shí)，直線與橢圓相離. .322.2.直線被橢圓截得的弦長公式直線被橢圓截得的弦長公式設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線與

27、橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(xA(x1 1,y,y1 1) )、B(xB(x2 2，y y2 2),),則則 (k(k為直線斜率為直線斜率).).221212|AB|= (1+k )(x +x ) -4x x 2121221= (1+)(y +y ) -4y y k333.3.直線與橢圓相交時(shí)的常見問題的處理方法直線與橢圓相交時(shí)的常見問題的處理方法涉及問題涉及問題處理方法處理方法弦弦 長長根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式 中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)點(diǎn)差法點(diǎn)差法34【提醒提醒】利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不

28、要忽略判別式的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式. . 35【例例3 3】(2011(2011北京高考北京高考) )已知橢圓已知橢圓G: (ab0)G: (ab0)的離心的離心率為率為 ，右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為( ,0)( ,0)，斜率為，斜率為1 1的直線的直線l與橢圓與橢圓G G交于交于A,BA,B兩點(diǎn)，以兩點(diǎn)，以ABAB為底邊作等腰為底邊作等腰PABPAB，頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為P(-3,2).P(-3,2).(1)(1)求橢圓求橢圓G G的方程；的方程；(2)(2)求求PABPAB的面積的面積. .【解題指南解題指南】(1)(1)利用利用a,b,ca,b,c的關(guān)系及離心率求出的關(guān)系及離心率求出a,ba,

29、b，代入標(biāo)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程；準(zhǔn)方程；(2)(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，整體代入而不求，整體代入. .2222xy+=1ab632 236【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)由已知得由已知得解得解得 又又b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=4=4，所以橢圓，所以橢圓G G的方程為的方程為(2)(2)設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為y=x+my=x+m，由由得，得，4x4x2 2+6mx+3m+6mx+3m2 2-12=0 -12=0 設(shè)設(shè)A,BA,B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(x(x1 1,y,y1 1),(x),

30、(x2 2,y,y2 2)()(不妨令不妨令x x1 1xb0)(ab0)的焦距為的焦距為 離心率離心率為為(1)(1)求橢圓方程；求橢圓方程；(2)(2)設(shè)過橢圓頂點(diǎn)設(shè)過橢圓頂點(diǎn)B(0,b)B(0,b)，斜率為，斜率為k k的直線交橢圓于另一點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)D D，交交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)E E，且，且|BD|BD|、|BE|BE|、|DE|DE|成等比數(shù)列，求成等比數(shù)列，求k k2 2的值的值. .2222xy+=1ab2 3，3.240【解析解析】(1)(1)由已知由已知解得解得a=2a=2，c= c= ，所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=1=1，橢圓的方程為橢圓的方

31、程為(2)(2)由由(1)(1)得過得過B B點(diǎn)的直線為點(diǎn)的直線為y=kx+1y=kx+1，由由 得得(4k(4k2 2+1)x+1)x2 2+8kx=0+8kx=0，所以所以依題意依題意k0k0，kkc32c=2 3=,a2，322x+y =1.422x+y =14y=kx+12DD228k1-4kx =-y =1+4k1+4k，1.241因?yàn)橐驗(yàn)閨BD|BD|、|BE|BE|、|DE|DE|成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，所以，所以，|BE|BE|2 2=|BD|=|BD|DE|DE|所以所以b b2 2=(1-y=(1-yD D)|y)|yD D| |，即，即(1-y(1-yD D)|y)|yD

32、 D|=1|=1，當(dāng)當(dāng)y yD D00時(shí)，時(shí)，y y2 2D D-y-yD D+1=0+1=0，無解，無解， 當(dāng)當(dāng)y yD D00k0，求證：，求證：PAPB.PAPB.【解題指南解題指南】(1)(1)利用利用MNMN的中點(diǎn)在的中點(diǎn)在PAPA上即可求解；上即可求解；(2)(2)先求點(diǎn)先求點(diǎn)P P的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，再求出ABAB的方程，就能求出距離的方程，就能求出距離d;(3)d;(3)證明斜率之積為證明斜率之積為-1-1即可即可. .44【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)由題意知，由題意知，a=2,b= a=2,b= 故故M(-2,0),N(0, ).M(-2,0),N(0, ).所以線段所

33、以線段MNMN的中點(diǎn)的坐標(biāo)為的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由于直線，由于直線PAPA平分線段平分線段MNMN，故直線故直線PAPA過線段過線段MNMN的中點(diǎn)，又直線的中點(diǎn)，又直線PAPA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 3 3分分(2)(2)直線直線PAPA的方程為的方程為y=2xy=2x，代入橢圓方程得，代入橢圓方程得 解得解得x=x= ，因此，因此P( , ),A(- ,- ),P( , ),A(- ,- ),于是于是C( ,0),C( ,0),直線直線ACAC的斜率為的斜率為2(-1,-)22-22k=.-1222x4x+=142，23432323432340+3=122+33，2，245所以直線所

34、以直線ABAB的方程為的方程為 5 5分分因此因此 7 7分分(3)(3)方法一：將直線方法一：將直線PAPA的方程的方程y=kxy=kx代入代入 ，解得解得x=x= 記記= = 8 8分分則則P(,k),A(-,-k)P(,k),A(-,-k)，于是，于是C(,0)C(,0)，故直線，故直線ABAB的斜率的斜率為為 ，直線，直線ABAB的方程為的方程為y= (x-)y= (x-)，代入橢圓方程得，代入橢圓方程得(2+k(2+k2 2)x)x2 2-2k-2k2 2x-x-2 2(3k(3k2 2+2)=0+2)=0，解得，解得 或或x=-x=-， 1010分分2x-y-=03，2 4 2|

35、- |2 23 3 3d=.3222xy+=142221+2k，221+2k，0+ kk=+2 k222(3k +2)x=2+k，46因此因此 于是直線于是直線PBPB的斜率為的斜率為因此因此k k1 1k=-1k=-1，所以，所以PAPB. PAPB. 1212分分方法二：設(shè)方法二：設(shè)P(xP(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2),),則則x x1 10,x0,x2 20,x0,x1 1xx2 2，A(-xA(-x1 1,-y,-y1 1),C(x),C(x1 1,0).,0).8 8分分設(shè)直線設(shè)直線PBPB，ABAB的斜率分別為的斜率分別為k k1 1,k,k2

36、 2. .因?yàn)橐驗(yàn)镃 C在直線在直線ABAB上，所以上，所以2322(3k +2)kB(,)2+k2+k，32122k- k12+kk =-(3k +2)k-2+k，47 從而從而 1010分分因此因此k k1 1k=-1k=-1，所以，所以PAPB.PAPB.1212分分1121110-(-y )ykk =x -(-x )2x2，21211122121y -yy -(-y )k k+1=2k k +1=2+1x -xx -(-x )2222222122112222222121212y -2y(x +2y )-(x +2y )4-4=+1=0 x -xx -xx -x，48【閱卷人點(diǎn)撥閱卷人點(diǎn)

37、撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：以得到以下失分警示和備考建議： 失失分分警警示示 解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分: :(1)(1)解答第二問時(shí)，找不到解答第二問時(shí)，找不到ABAB的直線方程，其錯(cuò)誤原因的直線方程，其錯(cuò)誤原因是只看到了點(diǎn)是只看到了點(diǎn)A A，而忽視了點(diǎn)，而忽視了點(diǎn)C C在直線在直線ABAB上這一條件；上這一條件；(2)(2)計(jì)算直線計(jì)算直線PAPA、PBPB的斜率之積時(shí)，運(yùn)算上出現(xiàn)錯(cuò)誤的斜率之積時(shí)，運(yùn)算上出現(xiàn)錯(cuò)誤. . 49備備考考建建議議 解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意以下

38、幾點(diǎn)：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；線、橢圓的條件；(2)(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓方程聯(lián)立得出一元二次方程強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓方程聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題率、三角形的面積等問題. . 501.(20111.(2011新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷) )橢圓橢圓 的離心率為的離心率為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】選選D

39、.D.直接求直接求 故選故選D.D.131 23322c2 22e=a42，22xy1168512.(20122.(2012榆林模擬榆林模擬) )已知橢圓已知橢圓C C： (ab0)(ab0)的離心率的離心率為為 , ,短軸長為短軸長為2 2，過右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F F且斜率為且斜率為k(k0)k(k0)的直線與橢圓的直線與橢圓C C相交于相交于A A、B B兩點(diǎn)兩點(diǎn). .若若 則則k=( )k=( )(A)1 (B) (C) (D)2(A)1 (B) (C) (D)2232222xy+=1ab32AF=3FB ，52【解析解析】選選B.B.方法一：橫坐標(biāo)法方法一：橫坐標(biāo)法由題意得由題意得 b=1,a=2,c= ,F( ,0)b=1,a=2,c= ,F( ,0)，C: ,C: ,直線方程為直線方程為y=k(x- ),y=k(x- ),令令A(yù)(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，由由 得得(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2-8