多元函數(shù)求極值(拉格朗日乘數(shù)法)

1、第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)目的：了解多元函數(shù)極值的定義，熟練掌握多元函數(shù)無條件極值存在的判定方法、求極值方法，并能夠解決實(shí)際問題。熟練使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)內(nèi)容：一、 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果都適合不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值。如果都適合不等式 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。例1 函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極小值。因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于(0，0)的點(diǎn)，函數(shù)值都為正，而在點(diǎn)（0，0）

2、處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)（0，0，0）是開口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)。1 / 8例 函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極大值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處函數(shù)值為零，而對(duì)于點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于（0，0）的點(diǎn)，函數(shù)值都為負(fù)，點(diǎn)（0，0，0）是位于平面下方的錐面的頂點(diǎn)。例函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處既不取得極大值也不取得極小值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)。 定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 證 不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值。依極大值的定義，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都適合不等式

3、特殊地，在該鄰域內(nèi)取，而的點(diǎn)，也應(yīng)適合不等式 這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因此必有 類似地可證 從幾何上看，這時(shí)如果曲面在點(diǎn)處有切平面，則切平面成為平行于坐標(biāo)面的平面。 仿照一元函數(shù)，凡是能使同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，從定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。但是函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如，點(diǎn)（0，0）是函數(shù)的駐點(diǎn)，但是函數(shù)在該點(diǎn)并無極值。 怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢 ？下面的定理回答了這個(gè)問題。定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令則在處是否取得極值的條件如下：(1)時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；(2)時(shí)沒有極值；(3)時(shí)

4、可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。這個(gè)定理現(xiàn)在不證。利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：第一步 解方程組 求得一切實(shí)數(shù)解，即可以得到一切駐點(diǎn)。第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值，和。第三步 定出的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定是否是極值、是極大值還是極小值。例1 求函數(shù)的極值。解 先解方程組 求得駐點(diǎn)為（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,0) 處，又，所以函數(shù)在處有極小值；在點(diǎn)(1,2) 處，所以(1,2)不是極值；在點(diǎn)(-3,0) 處，所以(-3,0)不是極值；在點(diǎn)(-3,2) 處，又所以函數(shù)在(-3,2)處

5、有極大值(-3,2)=31。例2 某廠要用鐵板作成一個(gè)體積為2m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱。問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省。解 設(shè)水箱的長(zhǎng)為，寬為，則其高應(yīng)為，此水箱所用材料的面積 ，即 （，）可見材料面積是和的二元函數(shù)，這就是目標(biāo)函數(shù)，下面求使這函數(shù)取得最小值的點(diǎn)。令 ， 解這方程組，得： ，從這個(gè)例子還可看出，在體積一定的長(zhǎng)方體中，以立方體的表面積為最小。二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù) 其中為某一常數(shù)求其對(duì)與的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程(2)聯(lián)立 （1）由這方程組解出，及，則其中，就是函數(shù)在附加條件下的可能極

6、值點(diǎn)的坐標(biāo)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。例如，要求函數(shù) 在附加條件 ， (2)下的極值，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中，均為常數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與(2)中的兩個(gè)方程聯(lián)立起來求解，這樣得出的就是函數(shù)在附加條件(2)下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定。例3 求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積。解 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為， 則問題就是在條件 （3）下，求函數(shù) 的最大值。構(gòu)成輔助函數(shù) 求其對(duì)x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到 （4）再與(10)聯(lián)立求解。因、都不等于零，所以由(11)可得 ，由以上兩式解得 將此代入式(10)，便得 =這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。也就是說，表面積為的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為的正方體的體積為最大，最大體積。小結(jié)：本節(jié)以一元函數(shù)極值為基礎(chǔ)，研究多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值問題。在介紹多元函數(shù)極值的定義后，介紹了二元極值的性質(zhì)以及利用偏導(dǎo)數(shù)求極值的步驟