高等流體力學(xué)第三章

1、第第 三三 章章 特殊方程特殊方程3.1 開尓文定理開尓文定理 fpuutu)(GfGpuutu)(jjkjkjxGxpxuutu1歐拉方程歐拉方程理想流體,設(shè)質(zhì)量力有勢(shì)且為單值函數(shù),代入歐拉方程得3.1 開尓文定理開尓文定理 ( )C tu dr ( )( )( )()C tC tC tDDDuDdrDuu drdrudru duDtDtDtDtDtudDtrDdDtrdD)()(),(truu2( )( )()02C tC tuu dud( )( )iiC tC tDuDDudrdxDtDtDt沿物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)沿物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)設(shè)由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉物質(zhì)線C

2、(t),其位置和形狀隨流動(dòng)而變化.上式推導(dǎo)中用到,因?yàn)?為單值函數(shù)，沿一條確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)等于該周線上沿一條確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)周線的速度環(huán)量的隨體導(dǎo)數(shù)等于該周線上的加速度的環(huán)量的加速度的環(huán)量以上結(jié)論是純運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì)的,因此對(duì)任何流體都成立3.1 開尓文定理開尓文定理)(p()()()()()()()drdxidyjdzkijkxyzdxdydzdxyzdrd( )( )pdpdpdpdrdrpppdpdrrpdp 正壓流體正壓流體設(shè)流體的密度僅是壓強(qiáng)的函數(shù)場(chǎng)論公式 式中d表示對(duì)空間的全微分因?yàn)閞是任選的，所以對(duì)正壓流體流場(chǎng)中任一點(diǎn)有 3.1 開尓文定理開尓文

3、定理( )C tDDudrDtDtDupGDt ( )C tDpGdrDt pdp ( )( )0C tC tDdpdpGdrdGDt ( )A tndA ( )0A tDndADt開尓文定理開尓文定理設(shè)理想流體,質(zhì)量力有勢(shì)且為單值函數(shù),設(shè)正壓流體設(shè)在封閉的物質(zhì)線C(t) 上張一曲面A(t),則由STOKES 定理,對(duì)于正壓對(duì)于正壓, ,體積力單值有勢(shì)的理想流體流動(dòng)體積力單值有勢(shì)的理想流體流動(dòng), ,沿任意封閉的物質(zhì)周線上的速度環(huán)沿任意封閉的物質(zhì)周線上的速度環(huán)量和通過任一物質(zhì)面的渦通量在運(yùn)動(dòng)過程中守恒量和通過任一物質(zhì)面的渦通量在運(yùn)動(dòng)過程中守恒.3.1 開尓文定理開尓文定理開爾文定理成立的三個(gè)條件

4、：正壓正壓 , 理想理想 , 質(zhì)量力有勢(shì)質(zhì)量力有勢(shì)；放松其中任一條件,開爾文定理不成立。粘性，斜壓粘性，斜壓 與與 外力無勢(shì)外力無勢(shì)是引起速度環(huán)量和渦通量發(fā)生變化的三大因素. 討論討論13.1 開尓文定理開尓文定理渦量場(chǎng)的散度為0, , 由此得出在每一瞬時(shí)通過同一渦管中任意截面的渦通量處處相等, 即渦管強(qiáng)度在空間上守恒, 以上結(jié)論對(duì)任意流體都是正確的。當(dāng)滿足開爾文定理成立條件時(shí), 渦管強(qiáng)度不但具有空間上的守恒性, 而且具有時(shí)間上的守恒性。( )( )C tA tu drndA( )( )0C tA tDDu drndADtDt0討論討論2取C(t)是渦管橫截面上并圍繞渦管一周的封閉物質(zhì)周線,則

5、在某一瞬時(shí) ，式中A(t)是渦管截面,根據(jù)開爾文定理，渦管在隨流體運(yùn)動(dòng)過程中通過其任一橫截面的渦通量渦管在隨流體運(yùn)動(dòng)過程中通過其任一橫截面的渦通量, 即渦管強(qiáng)度即渦管強(qiáng)度, 不隨時(shí)不隨時(shí)間改變間改變. 在運(yùn)動(dòng)過程中, 渦管會(huì)發(fā)生變形：當(dāng)渦管被拉伸時(shí), 渦量增大, 渦管被壓縮時(shí), 渦量減小, 以保持通過橫截面的總的渦通量不變。3.1 開尓文定理開尓文定理渦旋不生不滅渦旋不生不滅 若流體理想若流體理想,正壓正壓,且外力有勢(shì)且外力有勢(shì),如果初如果初始時(shí)刻在某部分流體內(nèi)無旋始時(shí)刻在某部分流體內(nèi)無旋,則以前或以后任一時(shí)刻則以前或以后任一時(shí)刻這部分流體皆無旋這部分流體皆無旋;反之反之,若初始時(shí)刻該部分流體

6、有旋若初始時(shí)刻該部分流體有旋,則以前或以后的任何時(shí)刻這部分流體皆為有旋則以前或以后的任何時(shí)刻這部分流體皆為有旋。討論討論3(1) 均勻來流定常不脫體繞流； (2)物體從靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動(dòng)。滿足理想，正壓，質(zhì)量力有勢(shì)：第1種情況下, 流體質(zhì)點(diǎn)來自無窮遠(yuǎn)處，無窮遠(yuǎn)處無旋, 所以整個(gè)流場(chǎng)無旋；第2種情況下, 初始時(shí)刻, 靜止?fàn)顟B(tài)的流體無旋, 所以任何時(shí)刻流體無旋。理想不可壓縮流體在重力場(chǎng)作用下的流動(dòng)3.2 伯努利方程伯努利方程 1.1.沿流線或渦線成立的伯努利方程沿流線或渦線成立的伯努利方程 設(shè)理想流體理想流體， ()uuupft )()2()(uuuuuu()()2uu upuuft 以上方程稱蘭姆

7、方程蘭姆方程。 設(shè)外力有勢(shì)，外力有勢(shì)， ；正壓流體；正壓流體， ；定常流動(dòng)定常流動(dòng)， Gf)(dpp0tu()()2uu upuuft ()()2u udpuuG 12dpu uGu 上式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘 ，u2220 0 222dpudpudlGdGdpuGC上式稱伯努利方程，或伯努利積分。C 稱伯努利常數(shù)，C 沿同一條流線或渦線為常數(shù)。當(dāng)無窮遠(yuǎn)均勻來流繞流物體時(shí)，C對(duì)每一根流線都相同，此時(shí)伯努利方程三項(xiàng)和在全流場(chǎng)為常數(shù)。dldl平行于 或2 勢(shì)流伯努力方程勢(shì)流伯努力方程 設(shè)理想流體，正壓，外力有勢(shì)，可推得，2udpu uGut 再設(shè)勢(shì)流, 0u)()(tttu02dpGt ( )2dpGf t

8、t 上式稱勢(shì)流伯努利方程，也稱柯西拉格朗日積分。f (t) 是時(shí)間的函數(shù)，在同一瞬時(shí)，在全流場(chǎng)它是同一個(gè)常數(shù)。2dpGC 上式中C在全流場(chǎng)為常數(shù),且不隨時(shí)間變化。請(qǐng)注意伯努利積分中的C只是沿同一條流線或渦線為常數(shù)如果流動(dòng)是定常的，則3從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程 DupGDt 設(shè)理想流體、外力有勢(shì)，由歐拉方程DuuupuGDt 考慮到G是外力場(chǎng)勢(shì)能，它只是空間位置的函數(shù)，不隨時(shí)間改變，DtDGGu()2D u uDGupDtDt 對(duì)理想流體且無熱傳導(dǎo)時(shí)以焓表示的能量方程可寫為， DhDpDtDt()2Du uDpDGhupDtDtDt 1()2Du uphGDt

9、t 上兩式相加,從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程從能量方程出發(fā)推導(dǎo)的伯努利方程 設(shè)定常流定常流， ()02Du uhGDt 上式表示一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在它的運(yùn)動(dòng)軌跡的所有點(diǎn)上總能量保持不變，CGuuh2CGuupe2在定常流條件下，流場(chǎng)跡線和流線合二為一，因此，上式也可認(rèn)為總能量沿同一條流線保持不變，在滿足理想流體，無熱傳導(dǎo)，外力有勢(shì)，定常流條件在滿足理想流體，無熱傳導(dǎo)，外力有勢(shì)，定常流條件下，單位質(zhì)量流體的總能量沿同一條流線保持不變。下，單位質(zhì)量流體的總能量沿同一條流線保持不變。當(dāng)流體內(nèi)部處處無粘性無熱傳導(dǎo)時(shí)，可認(rèn)為流動(dòng)是等熵的，所以上述定理也可敘述為當(dāng)流動(dòng)為等熵，當(dāng)流動(dòng)為等熵，定常且外力有勢(shì)時(shí)，總

10、能量沿流線不變定常且外力有勢(shì)時(shí)，總能量沿流線不變。1pphe1()021pu uG 伯努利方程的特殊形式伯努利方程的特殊形式完全氣體，可壓縮等熵流完全氣體，可壓縮等熵流伯努利方程可化為1ppppVchc TRTRcppcc不可壓縮流體不可壓縮流體0DtDdqpddqde)1(0dq0deGkggfgzG 1()2pu ugzC 熱力學(xué)第一定律 ,無熱傳導(dǎo)條件下 ,即流體質(zhì)點(diǎn)內(nèi)能不變。設(shè)外力只有重力，當(dāng)Z軸垂直向上時(shí)于是伯努利方程的特殊形式伯努利方程的特殊形式3.3 3.3 克羅柯方程克羅柯方程 熱力學(xué)關(guān)系式熱力學(xué)關(guān)系式熱力學(xué)第一定理, )1()1(pdTdspddqdepeh)1()(pdTd

11、spddhdhTdsdphsTp克羅柯方程克羅柯方程對(duì)理想流體有蘭姆方程成立，fpuuutu)2(設(shè)定常流動(dòng)，且忽略質(zhì)量力的作用， )2(uupu以熱力學(xué)量 s 和 h 來置換蘭姆方程中的 p 和， 0hsTu克羅柯方程反映了定常流中總能和熵的變化與渦量之間的相容關(guān)系。請(qǐng)注意克羅柯方程成立的條件：理想流體，定常流動(dòng)，質(zhì)量力作用可略去不計(jì)理想流體，定常流動(dòng)，質(zhì)量力作用可略去不計(jì)。20uuhh式中 ,為滯止焓。hsTp均能流動(dòng)均能流動(dòng)在理想流體、絕熱定常流動(dòng)條件下，忽略質(zhì)量力作用時(shí)，由伯努利方程知滯止焓沿流線不變，0.hconst（沿流線）在無窮遠(yuǎn)均勻來流條件下，及其他一些條件下，滯止焓沿每一條流

12、線相同，滯止焓在流場(chǎng)中處處為常數(shù)，是為均能流動(dòng)?？肆_柯方程簡(jiǎn)化為 uTs 可以看出：1）無旋流動(dòng)必是均熵的，即在流場(chǎng) s = 常數(shù)；2）非均熵流動(dòng)必是有旋流動(dòng)；3) 均熵流動(dòng)不一定是無旋的,此時(shí)可能 0, 0, /uu CGuuh2u對(duì)于平面流動(dòng)和軸對(duì)稱流動(dòng)， ，此時(shí) 垂直于流線，由 ， 也應(yīng)垂直于流線。 可寫成標(biāo)量形式，uu uTs s uTs 0)(dndsTU式中，U， 分別是速度和渦量的模，n 表示垂直于流線的法向坐標(biāo)。此時(shí)如= 0 ，則 ,s為常數(shù)；如s 為常數(shù)，則 ,于是 = 0 。即如流動(dòng)無旋，則必是均熵的；如流動(dòng)均熵，則必是無旋的。如流動(dòng)無旋，則必是均熵的；如流動(dòng)均熵，則必是無

13、旋的。0dnds0dnds克羅柯方程把流場(chǎng)的渦量和流體的熵聯(lián)系起來，它在空氣動(dòng)力學(xué)中占有重要地位。飛行器在靜止空氣中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體飛行速度小于某個(gè)臨界流速時(shí)，整個(gè)流場(chǎng)中物理量是連續(xù)分布的。而當(dāng)物體飛行速度超過臨界速度后，流場(chǎng)中就可能出現(xiàn)間斷面，通過這些間斷面物理量有突躍變化。對(duì)于亞臨界流動(dòng)的情況，如果流體是理想的，流場(chǎng)是正壓的且質(zhì)量力有勢(shì)，則根據(jù)開爾文定理，在物體運(yùn)動(dòng)過程中，周圍流場(chǎng)始終是無旋的。因?yàn)樵谖矬w開始運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻流場(chǎng)是靜止的，從而是無旋的。在超臨界流動(dòng)情況下，流場(chǎng)中出現(xiàn)了間斷面。在間斷面上，開爾文定理不再適用，而克羅柯定理卻可以回答流場(chǎng)是否有旋的問題。物體在原靜止空氣中作超音速運(yùn)動(dòng)時(shí)

14、，頭部激波前的流場(chǎng)是是均勻的，而在該區(qū)域h0為常數(shù).在絕熱運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，完全氣體質(zhì)點(diǎn)通過間斷面時(shí)，h0保持不變。根據(jù)伯努利方程在間斷面后的每一條流線上，h0仍將保持不變。因此在整個(gè)流場(chǎng)中，h0等于同一常數(shù) ,h0 = 0 ,為均能流動(dòng)。在絕熱運(yùn)動(dòng)假設(shè)下，完全氣體質(zhì)點(diǎn)通過激波時(shí)，熵s有突躍，且此突躍量與激波面與來流的夾角有關(guān)。由此可知，在曲面激波的后面，流場(chǎng)不再是均熵的,從而流動(dòng)必是有旋的。但激波強(qiáng)度不大時(shí)，則激波后的流場(chǎng)中的渦量也是不大的。3.4 3.4 渦量方程渦量方程uuuuu)2()(21()() 2upu uuut 2()()()() 2uu upuut 渦量方程渦量方程設(shè) = const.，= const.，并考慮到恒等式則N-S方程可寫為對(duì)上式兩邊取旋