全國高職高專高等數(shù)學(xué)1-1

1、荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章1歡迎大家學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程 數(shù)學(xué)的重要性已經(jīng)不言而喻。大量的科學(xué)研究和實(shí)際問題的解決幾乎都要以數(shù)學(xué)為手段和工具，尤其是數(shù)學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，使得數(shù)學(xué)向更廣泛的領(lǐng)域滲透，高等數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、人文科學(xué)中應(yīng)用最廣泛的一門課程。 本課程的目標(biāo)是讓大家較系統(tǒng)地掌握必需的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論、基本知識和常用的計(jì)算方法，形成數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，為后繼課程學(xué)習(xí)和利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章2高等數(shù)學(xué)課程簡介 高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包括一元函數(shù)微積分，空間解析幾何與向量代

2、數(shù)，多元函數(shù)微積分、無窮級數(shù)，常微分方程等五個(gè)部分 。 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的重要區(qū)別在于高等數(shù)學(xué)引入了極限這一工具，通過這一工具使之能夠處理許多初等數(shù)學(xué)無法解決的復(fù)雜的量與量之間的變化關(guān)系。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章3 正確地理解和掌握極限這一高等數(shù)學(xué)中最重要的概念和思想方法是學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)高等數(shù)學(xué)中各種概念和方法的基礎(chǔ)，把握住這一課程的方法論的核心就等于把握住了課程的脈搏。 高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)提示機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章4第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)本章中的概念本章中的概念 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù)

3、研究對象 研究方法 研究橋梁機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章5一、常量與變量、區(qū)間與鄰域二、函數(shù)的概念三、函數(shù)的幾種特性四、反函數(shù)五、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)第一節(jié) 函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章6 數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容是數(shù)量關(guān)系 ， 空間形式。其中數(shù)量又可以分為兩類：常量常量 在某過程中數(shù)值保持不變的量，例如真空中的光速。在某過程中數(shù)值保持不變的量，例如真空中的光速。變量變量 在某過程中數(shù)值發(fā)生變化的量，例如一天中的氣溫。在某過程中數(shù)值發(fā)生變化的量，例如一天中的氣溫。注意注意常量與變量是相對常量與變量是相對“過

4、程過程”而言的而言的. .通常用字母通常用字母a, b, ca, b, c等表示常量等表示常量, ,常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, tx, y, t等表示等表示變變量量. . 也可以用其他字母表示變量與常量，這里采用的記號是數(shù)學(xué)上習(xí)慣的表示方法。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章7 變量在某一過程中有確定的變化范圍。如果變化范圍是連續(xù)的，則可以用區(qū)間來表示。區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). .這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn). .,baRba 且且bxax

5、 稱為稱為開區(qū)間開區(qū)間, ,b)(a,記作bxax 稱為稱為閉區(qū)間閉區(qū)間, ,ba,記作oxaboxab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章8oxaoxb),xaxa ),(bxxb 無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度區(qū)間長度:兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離( (線段的長度線段的長度) )稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度. .bxaxbxax稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, ,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, ,b)a,記作b(a,記作有限區(qū)間有限區(qū)間機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章9鄰域鄰域: :0.且,設(shè)a與是兩個(gè)實(shí)數(shù),點(diǎn)a叫做這鄰域的中

6、心.叫做這鄰域的半徑記作U(a，)xa a a ,稱為點(diǎn)a的鄰域ax數(shù)集x),(aa=|),(axaxaU即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章10去心鄰域去心鄰域: :(a，)記作U0 x a a ,域稱為點(diǎn)a的去心鄰ax數(shù)集x0),(),(aaaa,|),(0axaxaxaU且即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 a。荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章11二、函數(shù)的概念(本質(zhì)上是一種數(shù)量關(guān)系本質(zhì)上是一種數(shù)量關(guān)系)定義：定義： 設(shè) x 和 y 是兩個(gè)變量。D 是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對于每個(gè)數(shù) x D ，變量 y 按照一定法則總有（唯一）確定的數(shù)值和它

7、對應(yīng)，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記作 y = f (x), 數(shù)集 D 叫這個(gè)函數(shù)的定義域，x 叫做自變量， y 叫做因變量。DxxfyyDf, )()(其中D 定義域R)(Df 值域f對應(yīng)法則)(xfy Dx)(Dfy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章12對函數(shù)概念進(jìn)一步的說明：.)(,000處的函數(shù)值為函數(shù)在點(diǎn)稱時(shí)1)當(dāng)xxfDx 2）約定：約定： 定義域是使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.3）兩個(gè)函數(shù)相同：兩個(gè)函數(shù)相同：指兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和對應(yīng)法則 定義域、對應(yīng)法則和值域稱為函數(shù)的三要素，值域由定義域和對應(yīng)法則確定。荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等

8、數(shù)學(xué)電子教案第一章13符號函數(shù)xysgn當(dāng) x 0,1當(dāng) x = 0,0當(dāng) x 0,1xyo11取整函數(shù)xy 當(dāng)Znnxn,1,nxyo134212機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章140, 10, 12)(2xxxxxf例如,12 xy12 xy分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章15三、函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1) 有界性,Dx,0M使,)(Mxf稱 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf稱 )(xf為有界函數(shù).在 I 上有界. M-M

9、yxoy=f(x)X有界yMxX無界無界-Mo0 x荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章16(2) (2) 單調(diào)性單調(diào)性當(dāng),21Ixx21xx 時(shí), )()(21xfxf若稱 )(xf為 I 上的, )()(21xfxf若稱 為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .xy1x2x)(xf荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章17xyoxx,Dx且有,Dx若, )()(xfxf則稱 f (x) 為偶函數(shù);若, )()(xfxf則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明: 若)(xf在 x = 0 有定義 ,則當(dāng). 0)0(f)(xf為奇函數(shù)時(shí),必有例如,2)(xxeexfy 偶函數(shù)xyoxexexych

10、雙曲余弦 xch記機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章18,0,lDx且,Dlx)()(xflxf則稱)(xf為周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2若稱 l 為周期( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為2注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)Cxf)(狄里克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)x 為無理數(shù), 1,0荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章19四、反函數(shù)的反函數(shù)。函數(shù)為自變量的新函數(shù)叫做那么由此確定的以與之對應(yīng)，值都可以找到確定的若值域?yàn)槠涠x域?yàn)槎x：設(shè)有函數(shù))(,),(xfyyDxxMyMDxfy）（)()(1yfxyx或記作習(xí)慣

11、上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章20其反函數(shù)(減)1) yf (x) 單調(diào)遞增存在,)(1xfy(減) .且也單調(diào)遞增 反函數(shù)的性質(zhì): 2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線xy 對稱 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo如右圖 ,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的函數(shù)圖像 ),(,xeyx),0(,lnxxy荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章211)(DDg且則稱Dxxgfy, )(和,),(1Duufy,),(Dxxgu設(shè)有函數(shù)兩個(gè)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為由這兩個(gè)

12、函數(shù)確定的復(fù)合函數(shù) ,u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xu,12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合函數(shù)荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章22兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, 0,uuy可定義復(fù)合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章23(1) 基本初等函數(shù)指以下五類函數(shù)：冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪 函 數(shù): yx (R R是常數(shù)); 指數(shù)函數(shù): ya x(a0且a1); 對數(shù)函數(shù): yloga x (a0且a1),特別當(dāng)ae時(shí), 記為yln x; 三角函數(shù): ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函數(shù): yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)電子教案第一章24 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算