橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題

1、橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法（1） 利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理；（2） 利用數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征進(jìn)而求解；（3） 利用函數(shù)最值得探求方法，將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來(lái)處理，此時(shí)應(yīng)注 意橢圓中x、y的取值范圍；（4） 利用三角替代（換元法）轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)的最值問(wèn)題處理 。一、橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)重合時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)取得最大值a+c （遠(yuǎn)日點(diǎn)）、最小值a-c （近日點(diǎn)）。2 2推導(dǎo)：設(shè)點(diǎn)P（x0,y0）為橢圓 篤再=l（a b 0）上的任意一點(diǎn)，左焦點(diǎn)為RGgO），

2、 a b 2 2 2| PR |f c）2 y0，由篤器=1得y° =b2（1 -篤），將其代入a ba22C| PFi |（xo c）yo并化簡(jiǎn)得|PFi |xo a。所以，當(dāng)點(diǎn)P（x。，y。）為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)acA（a,0）重合時(shí)，|PFihax = a+a = c + a ；當(dāng)點(diǎn)P（x。，y。）為長(zhǎng)軸的左端點(diǎn) A（a,0）重a合時(shí)。|PFj |min =ca） a =a -c。當(dāng)焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)F2（c,0）時(shí)，可類似推出。ax 2.y =1112 2b2-.,消 y 去，得(丄十 4)x2絲 x + b21=0 oyx b2 m mm因?yàn)橹本€y =1x2rx亠b與橢圓 y2 =1有

3、兩個(gè)不同的交點(diǎn)，m2所以厶-2b2m2XMyMX!x221xMm2mbm2 22,b二輕m2 2o將線段AB的中點(diǎn)M (二mSm +22b兀代入直線1y=mx 2，解得b二m222m2。由得m 6或m3.6。3(2)令 V J © 于)，則 lAB1 mx x2)2 4x2 L t2 142 3-2t4 2t22t2-，2t2且O到直線AB的距離為d 2- o設(shè) AOB 的面積為 S(t)，所以 S(t) = 11 AB | d = 1 , - 2(t 1)2 2 <2 2 2當(dāng)且僅當(dāng)t2 *時(shí)，等號(hào)成立。故AOB面積的最大值為亡。2.已知橢圓4x2 + y2 = 1及直線y=

4、 x+ m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程設(shè) A(X1, yj, B(y, y2)，線段 AB 的中點(diǎn) M (Xm , yM)，則為 沁=4mb|4x2 + y2= 1 ,解由|y= x+ m得 5x2 + 2mx + m2 1 = 0,因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)所以= 4m2 20(m2 1)解得一設(shè)直線與橢圓交于 A(xi, yi), B(X2, y2)兩點(diǎn)，由知：5x2 + 2mx + m2 1 = 0,2mX1X2 =1(m2 1),5所以 |AB|=': X1 X2 2 +y1 y2丿2陰-汁1X1 + X22 4X1X

5、2所以當(dāng)m = 0時(shí)，|AB|最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為y = x.反思與感悟解析幾何中的綜合性問(wèn)題很多，而且可與很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問(wèn)題等解決這類問(wèn)題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來(lái)確定參數(shù)的限制條件x2 y2跟蹤訓(xùn)練2如圖，點(diǎn)A是橢圓C：二+二=1(a>b>0)的短軸位于y軸下方的端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Aa2 b2且斜率為1的直線交橢圓于點(diǎn) B,若P在y軸上，且BP/X軸，璉耶=9.(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),求橢圓

6、C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0 , t),求t的取值范圍解直線AB的斜率為1 ,./BAP= 45°, 即厶BAP是等腰直角三角形，|AB|=2|AP|.AB AP = 9,AB|AP|cos 45曇|AP|2cos 45 °9=AP匸 3.卩(0,1),二"匸 1 , |OA匸 2,即 b = 2,且 B(3,1).91B 在橢圓上，二 + 一= 1,得 a2= 12 ,a2 4x2 y2橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 二+ ：= 1.124由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, t)及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, t -3), 3 b,即 b 3 t.顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,

7、t),將它代入橢圓方程得：9 t2t 2""2+2 1,解得 a2 .a2 t 2，3 2ta2>b2>0,-3 - 2t >(3-t)2>°.332t3-2t>1，即3-2t 1 3-2t>°，3所求t的取值范圍是0<t<-.2二、橢圓中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題解決時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、幾何法等方法。解決此類問(wèn)題的方法有兩種 ：（1）進(jìn)行一般計(jì)算、推理求出結(jié)果；（2）通過(guò)檢查特殊位置，探索出 定點(diǎn)”定值”，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算 。2已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值

8、為3,最小值為1。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線I : y二kx m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓 C的右頂點(diǎn)。求證：直線I過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。2 2解：（1）根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程 篤每 “（a b 0）， a b由已知得丿a+c_3,解得丿a c = 1心b22十3，C =1y = kx + m24設(shè) A(X1, yJ,B(X2, y2)，聯(lián)立2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4丄才得(3 +4k2)x2 +8mkx + 4(m2 - 3) = 0，38mk即 3 +4k2 -m2 >0，且*x1 x223 4k2 4(m2 -3)，X1 X23 4k23(m2 一4k2) 又 y1 y (kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 mk(x1 x2) m =一3 + 4k設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為 D 幕以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0)kADkpD=-1，即_' 7 = -1 ， -yi y2xix2- 2(x|'X2)* 4 = 0，% -2X2 -22 2 23(m -4k )4(m -3) 16mk22-2224 = 0,化簡(jiǎn)整理得 7m 16mk 4k = 0，3 4k23 4k