中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽競賽大綱81265

1、中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽競賽大綱(2009年首屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽)為了進一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，更好地實現(xiàn)“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的目標(biāo)，特制訂本大綱。 一、競賽的性質(zhì)和參賽對象 “中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的目的是：激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。 “中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的參賽對象為大學(xué)本科二年級及二年級以上的在校大學(xué)生。 二、競賽的內(nèi)容 “中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”分為數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽題和非數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽題。 （一）中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽

2、（數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)內(nèi)容，即，數(shù)學(xué)分析占50%，高等代數(shù)占35%，解析幾何占15%，具體內(nèi)容如下：、數(shù)學(xué)分析部分 一、集合與函數(shù) 1. 實數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理. 2. 上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復(fù)蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推廣. 3. 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì). 二、極限與連續(xù)1. 數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一

3、性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)）. 2. 數(shù)列收斂的條件（Cauchy準(zhǔn)則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關(guān)系），極限及其應(yīng)用. 3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂 性），歸結(jié)原則和Cauchy收斂準(zhǔn)則，兩個重要極限及其應(yīng)用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數(shù) 重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系. 4. 函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù) 性

4、）. 三、一元函數(shù)微分學(xué) 1.導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導(dǎo)的關(guān)系、一階微分形式不變性. 2.微分學(xué)基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項與Lagrange 余項). 3.一元微分學(xué)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應(yīng)用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達(dá) （L'Hospital）法則、近似計算. 四、多元函數(shù)微分學(xué) 1. 偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分

5、形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù) 與順序無關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式. 2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換. 3.幾何應(yīng)用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）. 4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法. 五、一元函數(shù)積分學(xué) 1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數(shù)積分：型，型. 2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數(shù)類. 3. 定積分的性質(zhì)（關(guān)于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性

6、、定積分第一中值定理）、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中 值定理. 4.無限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準(zhǔn)則、絕對收斂與條件收斂、非負(fù)時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、 Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法. 5. 微元法、幾何應(yīng)用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積），其他應(yīng)用. 六、多元函數(shù)積分學(xué)1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標(biāo)變換、一般坐標(biāo)變換）. 2.三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)變換）. 3.重積分的應(yīng)用（體積

7、、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等）. 4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性， 運算順序的可交換性. 5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算. 6.第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 7.曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系. 七、無窮級數(shù) 1. 數(shù)項級數(shù) 級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Cauchy準(zhǔn)則，收斂的必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì)；正項級數(shù)收 斂的充分必要條件，比較原則、比

8、式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數(shù)的Leibniz判別法；一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性、Abel 判別法、Dirichlet判別法. 2. 函數(shù)項級數(shù) 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、Cauchy準(zhǔn)則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù) 項級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用. 3.冪級數(shù) 冪級數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項可積性、可微性及其應(yīng)用，冪級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的冪級數(shù)展 開、Taylor級數(shù)、Maclaurin級數(shù).4.Fourier級數(shù) 三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2

9、及2周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開、 Bessel不等式、Riemann-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級數(shù)的收斂性定理. 、高等代數(shù)部分一、 多項式 1. 數(shù)域與一元多項式的概念 2. 多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法3. 互素、不可約多項式、重因式與重根. 4. 多項式函數(shù)、余數(shù)定理、多項式的根及性質(zhì). 5. 代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解. 6. 本原多項式、Gauss引理、有理系數(shù)多項式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根. 7. 多元多項式及對稱多項式、韋達(dá)(Vieta)定理. 二、 行列式 1. n級行列式

10、的定義. 2. n級行列式的性質(zhì). 3. 行列式的計算. 4. 行列式按一行（列）展開. 5. 拉普拉斯(Laplace)展開定理. 6. 克拉默(Cramer)法則. 三、 線性方程組 1. 高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解. 2. n維向量的運算與向量組. 3. 向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)、兩個向量組的等價. 4. 向量組的極大無關(guān)組、向量組的秩. 5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系. 6. 線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu). 7. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)四、矩陣 1. 矩陣的概念、矩陣的運算(加法、數(shù)乘

11、、乘法、轉(zhuǎn)置等運算)及其運算律. 2. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系. 3. 矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件. 4. 分塊矩陣及其運算與性質(zhì).5. 初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形. 6. 分塊初等矩陣、分塊初等變換. 五、 雙線性函數(shù)與二次型 1. 雙線性函數(shù)、對偶空間 2. 二次型及其矩陣表示. 3. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法、初等變換法、正交變換法. 4. 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理. 5. 正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣 六、 線性空間1. 線性空間的定義與簡單性質(zhì). 2. 維數(shù)，基與坐標(biāo). 3. 基變換與坐

12、標(biāo)變換. 4. 線性子空間. 5. 子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和. 七、 線性變換 1. 線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣. 2. 特征值與特征向量、可對角化的線性變換. 3. 相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓-凱萊定理. 4. 線性變換的值域與核、不變子空間.八、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 1.矩陣. 2. 行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件. 3. 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 九、 歐氏空間 1. 內(nèi)積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣. 2. 標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣、施密特(Schmidt)正交化方法. 3. 歐氏空間的同構(gòu). 4. 正交變換、子空間的正交補. 5. 對稱變換

13、、實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形. 6. 主軸定理、用正交變換化實二次型或?qū)崒ΨQ矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形. 7. 酉空間. 、解析幾何部分 一、向量與坐標(biāo) 1. 向量的定義、表示、向量的線性運算、向量的分解、幾何運算. 2. 坐標(biāo)系的概念、向量與點的坐標(biāo)及向量的代數(shù)運算. 3. 向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角. 4. 向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運算性質(zhì)、計算方法及應(yīng)用. 5. 應(yīng)用向量求解一些幾何、三角問題. 二、軌跡與方程 1.曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程(向量式與坐標(biāo)式之間的互化)及其關(guān)系. 2.空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關(guān)系. 3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應(yīng)用向量建立簡單曲面、曲線的方程. 4.球面的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程. 三、平面與空間直線 1.平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關(guān)字母的意義. 2.從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當(dāng)方法建立平面、直線方程. 3.根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系. 4. 根據(jù)平面和直線的方程及點的坐標(biāo)判定有關(guān)點、平面、直線之間的位置關(guān)系、計算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程. 四、二次曲面 1.柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 2.橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程和主要性質(zhì)，