泄洪修建計劃

1、 數(shù)學建模論文論文題目：泄洪設施修建計劃 姓名： 胡益共 學號： 08053328 專業(yè)： 化工 姓名： 堯志邦 學號： 08053325 專業(yè)： 化工 姓名： 王威 學號： 08053314 專業(yè)： 化工 2010 年 7 月 31 日摘要本文建立了泄洪相關問題的最優(yōu)化模型問題一，首先估算出四條天然河道在2010到2012三年內(nèi)的泄洪量，得出剩下每年排洪溝應承擔的泄洪量，然后根據(jù)約束條件建立0-1規(guī)劃模型，求出的在2010年修建排洪溝2，3,6,8；2011年修建排洪溝5；2012年修建排洪溝9，總費用為萬元問題二，本問題采用prim算法求出圖（各村之間的預修建網(wǎng)絡圖）的最小生成樹,建立最少

2、總長度河道網(wǎng)絡圖，計算求得洪河道最少總長度62,最少費用為萬元。 問題三，假設維修人員在各村的留宿概率是穩(wěn)定的，把問題轉換成一個離散動態(tài)隨機過程，也就是馬氏鏈，利用轉移概率矩陣，計算得到維修人員留宿每個村的穩(wěn)定概率。問題四，從短期和長期兩方面考慮，解決泄洪問題。關鍵字：0-1規(guī)劃，prim算法，馬氏鏈一、問題重述 某個偏遠貧困鄉(xiāng),鄉(xiāng)政府打算解決防汛水利設施建設問題。從兩方面考慮，一是在各村開挖一些排洪溝,以滿足近兩三年的短期防汛需要；二是從長遠考慮，可以通過修建新泄洪河道的辦法把洪水引出到主干河流。經(jīng)測算，修建新泄洪河道的費用為（萬元），其中表示泄洪河道的可泄洪量（萬立方米/小時），表示泄洪河

3、道的長度（公里）。 請你們通過數(shù)學建模方法，解決以下問題：問題1：該鄉(xiāng)的某個村區(qū)域內(nèi)原有四條天然河流，由于泥沙沉積，其泄洪能力逐年減弱。在表1中給出它們在近年來的可泄洪量（萬立方米/小時）粗略統(tǒng)計數(shù)字。水利專家經(jīng)過勘察，在該村區(qū)域內(nèi)規(guī)劃了8條可供開挖排洪溝的路線。由于它們的地質(zhì)構造、長度不同，因而開挖的費用和預計的可泄洪量也不同，詳見表2，而且預計每條排洪溝的可泄洪量還會以平均每年10%左右的速率減少。同時開始修建一段20公里長的新泄洪河道。修建工程從開工到完成需要三年時間，且每年投資修建的費用為萬元的整數(shù)倍。要求完成之后，通過新泄洪河道能夠達到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力。 鄉(xiāng)政府

4、從2010年開始，連續(xù)三年，每年最多可提供60萬元用于該村開挖排洪溝和修建新泄洪河道，為了保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少達到可泄洪量150、160、170、180、190萬立方米/小時的泄洪能力，請作出一個從2010年起三年的開挖排洪溝和修建新泄洪河道計劃，以使整個方案的總開支盡量節(jié)?。ú豢紤]利息的因素在內(nèi)）。表1 現(xiàn)有四條天然河道在近幾年的可泄洪量（萬立方米/小時） 年份編號2001200220032004200520062007200820091號32.231.329.728.627.526.125.323.722.72號21.515.911.88.76.54.83.

5、52.62.03號27.925.823.821.619.517.415.513.311.24號46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 開挖各條排洪溝費用（萬元）和預計當年可泄洪量（萬立方米/小時）編號12345678開挖費用57546553當年泄洪量2536321531282212問題2：該鄉(xiāng)共有10個村,分別標記為，下圖給出了它們大致的相對地理位置，海拔高度總體上呈自西向東逐漸降低的態(tài)勢。 其中村距離主干河流最近，且海拔高度最低。鄉(xiāng)政府打算擬定一個修建在各村之間互通的新泄洪河道網(wǎng)絡計劃，將洪水先通過新泄洪河道引入村后，再經(jīng)村引出到主干河流。要求完成之后，每個村通

6、過新泄洪河道能夠達到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力。表3 各村之間修建新泄洪河道的距離（單位：公里）2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 98 5 9 12 14 12 16 17 229 15 17 8 11 18 14 227 9 11 7 12 12 173 17 10 7 15 188 10 6 15 159 14 8 168 6 1111 1110請你們根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)，為該鄉(xiāng)提供一個各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡的合理方案，使得總費用盡量節(jié)省。（說明：從村A村B的新泄洪河道，一般要求能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）問題3：新泄洪河道網(wǎng)絡鋪

7、設完成后，打算安排一位維護人員，每天可以從一個村到與之直接有新泄洪河道連接的相鄰村進行設施維護工作，并在到達的村留宿，次日再隨機地選擇一個與該村直接有新泄洪河道連接的相鄰村進行維護工作。試分析長此以往，他在各村留宿的概率分布是否穩(wěn)定？問題4：你們是否能夠為該鄉(xiāng)提出一個更加合理的解決泄洪的辦法？二、模型的合理假設1、修建的新泄洪河道在三年內(nèi)維持可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力；2、每條排洪溝的可泄洪量以平均每年10%左右的速率減少；3、從村A村B的新泄洪河道，能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量；4、維修人員在各村的留宿概率是穩(wěn)定的；5、假設疏通和維護天然河流的費用少于修建河道的費用。三、

8、符號說明:第年第條排洪溝開挖情況，當時表示該排洪溝開挖,當時表示該排洪溝不開挖;:開挖第條排洪溝的費用（萬元）;:第年所需要的費用（萬元）；：開挖第條排洪溝當年的泄洪量（萬立方米/小時）；：第年用于修建新泄洪河道的費用（萬元）；：第年四條天然河道的總泄洪量（萬立方米/小時）；：泄洪河道的可泄洪量（萬立方米/小時）；：泄洪河道的長度（公里）；：三年用于修建新泄洪河道的總費用（萬元）；：從2010年起三年的開挖排洪溝和修建新泄洪河道的總開支（萬元）。: 各村的代號； ：表示維修人員在第村留宿的概率 ；：表示維修人員從第村轉移到鄰近第村的遷移概率 三、問題分析問題一，首先根據(jù)四條天然河道在近幾年的可

9、泄洪量，運用擬合的方法估算出四條天然河道從2010至2014年五年間的可泄洪量，對于剩余的泄洪量在2010到2012這三年內(nèi)完全由修建的排洪溝承擔，2013到2014年分別由排洪溝和泄洪道共同承擔，從而保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少達到可泄洪量150、160、170、180、190萬立方米/小時的泄洪能力在2010到2012這三年內(nèi)，至于如何開挖排洪溝，則根據(jù)排洪溝應承擔的泄洪量和開挖排洪溝的最少開支原則，建立0-1規(guī)劃模型求得最優(yōu)解，決定開挖哪條排洪溝。問題二，要使費用最少，必須使得修建新泄洪河道網(wǎng)絡總長度最少，可以繪出各村之間的河道網(wǎng)絡圖，用prim算法求出圖的最小生

10、成樹，河道總長度最少，總開支最少。問題三，假設維修人員在各村的留宿概率是穩(wěn)定的，這樣問題是一個離散動態(tài)隨機過程，也就是馬氏鏈，利用轉移概率矩陣，計算穩(wěn)定狀態(tài)下留宿每個村的概率。問題四，解決泄洪問題，從短期和長期兩方面考慮，短期計劃中，很大程度上考慮使用天然河道進行泄洪，無疑是使得開支最少的方案，這樣可以結合疏通天然河道和修建排洪溝和河道的方案解決泄洪問題。四、模型的建立與求解4.1問題一模型的建立與求解運用擬合的方法估算出四條天然河道從2010至2014年這五年間的可泄洪量年份編號201020112012201320141號21.420.21917.816.62號1.0 0.0 0.0 0.0

11、 0.0 3號9.1 7.0 5.0 2.9 0.8 4號11.8 4.5 0.0 0.0 0.0 天然河流泄洪量43.4 31.8 24.0 20.7 17.4 由上表得4條天然河道2010到2014年的總泄洪量目標函數(shù)是總開支，它包含三年開挖排洪溝的費用，和三年修建新泄洪河道的總費用。即 其中， 目標函數(shù)為：min 約束條件為：s t 每年鄉(xiāng)政府提供的資金限制： 每年該村排洪量的限制： 每條排洪溝開挖限制： 根據(jù)程序運行結果得出下表 年份編號201020112012201320141號21.420.219.017.816.62號1.00.00.00.00.03號9.17.05.02.90.

12、84號11.84.50.00.00.0天然河流泄洪量43.431.824.020.717.4修建排洪溝2,3,6,851,4不修建不修建修建排洪溝費用206900本年修建洪溝泄泄洪量108314000原排洪溝泄洪量0.097.2115.4139.8125.9修建新河道泄洪量000100100實際可泄洪量151.4160.0179.4260.6243.3要求可泄洪量150.0160.0170.0180.0190.04.2 問題二:模型的建立與求解各村之間的預修建網(wǎng)絡圖設置兩個集合和,其中用于存放的最小生成樹中的頂點，集合存放的最小生成樹中的邊。令集合的初值為（假設構造最小生成樹時，從頂點出發(fā)），

13、集合的初值為。從自東向西，依次經(jīng)過，所有，的邊中，選取具有最小權值的邊，將頂點加入集合中，將邊加入集合中，如此不斷重復，直到時，最小生成樹構造完畢，這時集合中包含了最小生成樹的所有邊。運用手工求解得到如下圖計算的泄洪河道最少總長度62,最少費用為萬元4.3 問題三：模型的建立與求解假設維修人員在各村的留宿概率是穩(wěn)定的，則應該有： 維修人員在各村留宿的概率之和為1，則應該有：運用LINGO軟件求解得： 村留宿概率G(1)0.1100000G(2)0.5500000E-01G(3)0.1100000G(4)0.1100000G(5)0.1100000G(6)0.5666667E-01G(7)0.1

14、133333G(8)0.1666667G(9)0.1133333G(10)0.5500000E-014.4 問題四：本問題需要從短期與長期兩個角度考慮1、短期計劃：1） 疏通天然河道2） 開挖排洪溝3） 加固原有水壩與河道2、長期計劃：1） 改造 修建截污管道2） 修建蓄水水庫，水壩及攔水閘3） 對河道兩邊進行綠化，防止水土流失堵塞河道4） 鄉(xiāng)政府加強環(huán)境保護措施，加強全鄉(xiāng)綠化短期計劃中疏通天然河流尤為重要原因如下預測四條天然河道在1998-2000年的可泄洪量預測結果如下年份編號19981999200020012002200320041號36.0334.7933.5532.3131.0729

15、.8328.592號33.629.3525.120.8516.612.358.13號34.232.130.027.925.823.721.64號83.974.264.454.744.935.225.4天然河流泄洪量187.727170.397153.067135.737118.407101.07783.747因為數(shù)據(jù)較少，所以只預測1998到2000年三年內(nèi)天然河道的泄洪量，從表中可以看出如果天然河道疏通后能夠達到1999年的狀況，其泄洪量完全可以可泄洪量150萬立方米/小時的泄洪能力，在短期計劃內(nèi)可以按疏通河道、修建排洪溝、修建河道從主到次的順序方案，解決泄洪問題。 五、模型評價1）本問題一

16、中采用0-1規(guī)劃方法運用MATLAB軟件進行求解。這樣使得模型的計算結果更加準確。2）本問題二構采用的prim模型算法較簡單，得到了符合要求的結果。3）本問題四中預測1998-2000年天然河流泄洪量由于數(shù)據(jù)較少，缺乏相關經(jīng)驗，不能確定預測結果與實際情況的差距。4）模型改進在實際情況可以根據(jù)天然河道和排洪溝的位置以及各村之間的地質(zhì)條件，建立模型，擬定一個修建在各村之間由新泄洪河道和排洪溝、天然河道互通的網(wǎng)絡計劃，解決泄洪問題。參考文獻1趙靜 但琦等編著.數(shù)學建模與數(shù)學實驗.:高等教育出版社,2000. 117；2赫孝良，戴永紅等編著，數(shù)學建模競賽：賽題簡析與論文點評，西安：西安交通大學出版社，

17、2002.6。附錄AMatlab程序問題一:%2010年修建排洪溝f=5 7 5 4 6 5 5 3;A=5 7 5 4 6 5 5 3;-25 -36 -32 -15 -31 -28 -22 -12;b=60;-103.9;x f=bintprog(f,A,b)%2011年修建排洪溝f=5 0 0 4 6 0 5 0;A=5 0 0 4 6 0 5 0;-25 0 0 -15 -31 0 -22 0;b=60;-31;x f=bintprog(f,A,b)%2012年修建排洪溝f=5 0 0 4 0 0 5 0;A=5 0 0 4 0 0 5 0;-25 0 0 -15 0 0 -22 0;

18、b=60;-30.62;x f=bintprog(f,A,b)問題三:MODEL:TITLE 各村的預測留宿概率;SETS:PROD/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10/:P;LINK(PROD, PROD):T;ENDSETSDATA: ! 轉移概率矩陣;T = 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.33 0 0.34 0 0 0.33 0 0 0 0 0 0.5 0.