北京市海淀區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（word版含答案）

1、北京市海淀區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷數(shù) 學(xué)本試卷共9頁，共150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1. 已知集合，則 A.B. C.D. 2. 拋物線的準(zhǔn)線方程為A.B.C. D.3. 復(fù)數(shù)的虛部為A.B.C.D. 4. 在的展開式中，的系數(shù)為A.B.C. D. 5. 已知角的終邊在第三象限，且，則A. B.C.D. 6. 已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和. 則“”是“對(duì)于任意且，”

2、的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為A.B.C. D. 8. 已知圓過點(diǎn)，則圓心到原點(diǎn)距離的最小值為A. B.C.D. 9. 如圖，是兩個(gè)形狀相同的杯子，且杯高度是杯高度的，則杯容積與杯容積之比最接近的是A.B.C.D. 10. 已知函數(shù)，. 若對(duì)于圖象上的任意一點(diǎn)，在的圖象上總存在一點(diǎn)，滿足，且，則實(shí)數(shù) A.B. C.D. 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11. 雙曲線的漸近線方程為_.12. 已知甲盒中有個(gè)白球，個(gè)黑球；乙盒中有個(gè)白球，個(gè)黑球. 現(xiàn)從這個(gè)球中隨機(jī)選取一球，

3、該球是白球的概率是_，若選出的球是白球，則該球選自甲盒的概率是_.13. 已知函數(shù)的值域?yàn)椋膱D象向右平移個(gè)單位后所得的函數(shù)圖象與的圖象重合，寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)的解析式：_.14. 若，且，則_，的最大值為_.15. 如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn). 動(dòng)點(diǎn)沿著棱從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：存在點(diǎn)，使得；的面積越來越??；四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號(hào)是_.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16.（本小題14分）在中，.（）求的大小；（）再從條件、條件、條件這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得存在，求的面積.條件：；條件：；條件：.17.（本小題

4、14分）如圖，已知長方體中，. 為的中點(diǎn)，平面交棱與點(diǎn).（）求證：；（）求二面角的余弦值，并求點(diǎn)到平面的距離.18.（本小題14分）某班組織冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，規(guī)定首輪比賽需要從道備選題中隨機(jī)抽取道題目進(jìn)行作答. 假設(shè)在道備選題中，甲正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，乙能正確完成其中道題且另外道題不能完成.（）求甲至少正確完成其中道題的概率；（）設(shè)隨機(jī)變量表示乙正確完成題目的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（）現(xiàn)規(guī)定至少正確完成其中道題才能進(jìn)入下一輪比賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)進(jìn)行預(yù)測(cè)，誰進(jìn)入下一輪比賽的可能性較大，并說明理由.19.（本小題14分）已知點(diǎn)在橢圓上.（）求橢圓的方程

5、和離心率；（）設(shè)直線（其中）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn). 當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值.20.（本小題15分）函數(shù).（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（）直接寫出的一個(gè)值，使恒成立，并證明.21.（本小題14分）已知行列（）的數(shù)表中，對(duì)任意的，都有.若當(dāng)時(shí)，總有，則稱數(shù)表為典型表，此時(shí)記.（）若數(shù)表，請(qǐng)直接寫出是否是典型表；（）當(dāng)時(shí)，是否存在典型表使得，若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（）求的最小值北京市海淀區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（

6、8）（9）（10）答案CDCACBCBBB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。題號(hào)（11）（12）（13）（14）（15）答案，或或其它三、解答題共6小題，共85分。（16）（本小題共14分）解：（）由,可得 因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以. （）選擇條件. 由（）知為銳角， 又因?yàn)?，所以?所以， 所以. 由正弦定理可得，所以， 所以的面積為. 說明：最后兩步也可以如下計(jì)算：由正弦定理可得，所以， 所以的面積為. （17）（本小題14分）解：（）證法1：因?yàn)殚L方體中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 證法2：因?yàn)殚L方體中，平面平面，平面，所以平面， 因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以. （）因?yàn)?/p>

7、，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示： -5分則， 平面的法向量為， 設(shè)平面的法向量為，則，可得， 令，則，所以， 所以. 又因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以，二面角的余弦值為. 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則. （18）（本小題14分）解：（）法1：設(shè)甲在首輪比賽中正確完成的題數(shù)為，易知， 所以. 法2：. （）由題意得的取值范圍是 ， 所以的分布列為123所以 （） 從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的均值方面分析，兩人水平相當(dāng)；因?yàn)?，所以，從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的方差方面分析,乙的水平更穩(wěn)定；因?yàn)?，所?從至少正確完成2題的概率方面分析，乙通過的可能性更大. （19

8、）（本小題14分）解：（）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓：上，所以將點(diǎn)代入橢圓方程，可得，所以. 所以橢圓的方程為. 因?yàn)椋詸E圓的離心率為. （）由可得 . 恒成立，設(shè)，則，. 直線AE的方程為， 令，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為， 同理可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為， 所以 . 因?yàn)榈拿娣e，所以，即， 化簡得，解得或.所以的值為0或2. （20）（本小題15分）解：（）因?yàn)椋?所以且， 所以， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. （）當(dāng)，時(shí),因?yàn)? 所以在上單調(diào)遞增， 所以在上的最小值為. （）取，以下證明恒成立. 令，即證恒成立.（1）當(dāng)時(shí)，有, ，所以， 所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立. （2）當(dāng)時(shí)，令.因?yàn)? ，所以， 所

9、以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立. 所以在上單調(diào)遞增， 所以在上恒成立. 綜上，恒成立，所以恒成立. （21）（本小題14分）解：（）B不是典型表，C是典型表； （）方法1. 不可能等于17. 以下用反證法進(jìn)行證明.證明：假設(shè)，那么典型表中有19個(gè)0，在六行中至少有一行0的個(gè)數(shù)不少于4，不妨設(shè)此行為第一行，且不妨設(shè). 此時(shí)前四列中，每一列的其余位置中都至少有4個(gè)1，所以前四列中至少有16個(gè)1，所以與中至多有一個(gè)1，即與中至少有一個(gè)為0，不妨設(shè)，則第五列的其余位置中至少又有5個(gè)1，所以前五列中已經(jīng)有不少于21個(gè)1了，與矛盾！所以假設(shè)不成立. 所以不可能等于17. （）方法2.不可能等于17，以下證

10、明.證明：因?yàn)楫?dāng)?shù)湫捅碇?的個(gè)數(shù)不超過18時(shí)，那么1的個(gè)數(shù)不少于18，所以；以下只需證明當(dāng)?shù)湫捅碇?的個(gè)數(shù)大于18時(shí)，也有成立.當(dāng)?shù)湫捅碇?的個(gè)數(shù)大于18時(shí)，在六行中至少有一行0的個(gè)數(shù)不少于4，不妨設(shè)此行為第一行. （1）若第一行0的個(gè)數(shù)為6，則，不合題意；（2）若第一行0的個(gè)數(shù)為5，不妨設(shè)，此時(shí)前5列中，每一列的其余位置都只能是1，所以.（3）若第一行0的個(gè)數(shù)為4，不妨設(shè)，此時(shí)前4列中，每一列的其余位置中都至少有4個(gè)是1，所以.綜上，. 所以不可能等于17. （）方法1在水平方向的n行和豎直方向的n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的1的個(gè)數(shù)最少，不妨設(shè)第一行中的1最少，并設(shè)其個(gè)數(shù)為，其中

11、. 且不妨設(shè)第一行中前k個(gè)為1，后個(gè)為0.對(duì)于第一行中為1的這k列中，因?yàn)槊恳涣卸贾辽儆衚個(gè)1，所以共有個(gè)1；對(duì)于第一行中為0的列中，每一列中都至少有個(gè)1，所以. 以下記，（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立.而且可以取到. 例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，其它位置為0，此時(shí).（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立. 而且可以取到. 例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，其它位置為0，此時(shí).綜上，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，的最小值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，的最小值為. （）方法2（整體分析，算兩次）設(shè)典型表A 的第i列有個(gè)0，（），A 的第j列有個(gè)0，（），則典型表A 中0的總個(gè)數(shù)為.由定義可得 ，所以，所以.又因?yàn)椋?，所以，所以，所以.（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可以取到. 例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，其它位置為0，此時(shí).（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，而且可以取到.例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，其它位置為0，此時(shí).綜上，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，的最小值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，的最小值為.（）方法3在水平方向的n行和豎直方向的n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的的個(gè)數(shù)最少，不妨設(shè)第一行中的1最少，并設(shè)其個(gè)數(shù)為，其中. 且不妨設(shè)第一行中前k個(gè)為1，后個(gè)為0.（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若，則；若，對(duì)于第一行中為1的這k列中，因?yàn)槊恳涣卸贾辽儆衚個(gè)1，所以共有 個(gè)1；對(duì)于第一行中為0的列中，每一