第三章流體動力學(xué)

1、1 第四篇 數(shù)值模擬Part IV Numerical Simulation2 第十二章 傳熱數(shù)值解簡介Chapter 12 Numerical Simulation of Heat Transfer3 12.1 空間區(qū)域離散方法 Space Discretizationn把計(jì)算域劃分成許多互不重疊的子區(qū)域，或稱為網(wǎng)格單元。用有限個點(diǎn)的信息代表各自周圍一定區(qū)域內(nèi)的信息，一般分為有限元法和有限差分法。 經(jīng)劃分網(wǎng)格（剖分）后得到： (1)節(jié)點(diǎn)：需要求解的未知量的幾何位置； (2)控制體積：在該體積上控制方程必須得到滿足； (3)界面：各節(jié)點(diǎn)控制體積之間的分界面。有限元網(wǎng)格(FEM)可較好地描述空間

2、區(qū)域，但計(jì)算復(fù)雜。有限差分法(FDM)計(jì)算簡單，但網(wǎng)格不能精確描述幾何形狀。4 有限元網(wǎng)格 有限差分網(wǎng)格5 有限元網(wǎng)格 有限差分網(wǎng)格6節(jié)點(diǎn)及控制體積的劃分方法：7n網(wǎng)格可以是均勻的，也可以設(shè)不均勻的。 均勻網(wǎng)格 不均勻網(wǎng)格8 12.2 有限差商n定義：把一個連續(xù)函數(shù) f (x) 的增量 f 與自變量增量 x 的比值定 義為有限差商。()( )( )()ff xxf xxxff xf xxxx向前差商：向后差商：9()( -)2 0 ff xxf xxxxfdfxxdxfdfxxdx 中心差商：顯然當(dāng)時，所以當(dāng)較小時，10 其誤差可以用 Taylor 級數(shù)展開獲得:112222222222222

3、22 ( ) 2 1()( ) (1)21()( ) (2)2()()=()2()=f xdfd ff xxf xxxdxdxdfd ff xxf xxxdxdxdff xxf xxOxdxxd ff xxdx將函數(shù)在點(diǎn)周圍展開：將上兩式相減：將上兩式相加：22()2 ( )()f xxf xOxx12n所以向前和向后差分的截?cái)嗾`差是與 x同級的小量O ( x)n中心差分和二級差分的截?cái)嗾`差是與 x2同級的小量O ( x2) 因此當(dāng) x 較小時：22 (1) ( )()() (2) ()( )()dff xf xxOxdxxdff xxf xOxdxx由式，得：由式，得：22222()()2

4、( )ff xxf xxf xd fxxdx13 12.3 一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法Finite Difference Method for One-Dimensional Unsteady Heat Conductionn一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱微分方程（以一無限大平板為例）：例：現(xiàn)以第 i 層為例說明如何由 已知的第幾段時刻的溫度分 布，求解下一時間( n+1 時刻) 的溫度分布。解：首先將空間離散（剖分）成 如圖所示。22TTtx141111112111122 |21 (|) nniiiinniiiinnniiiiiiTTTTxxxTTTTxxxTTTTTTxxxxxnnt在第層中心有：式中 ：

5、 表示在第個的時刻。15n而在第 i 層溫度對時間的一次導(dǎo)數(shù)可表示為：1111211122 1 (1) 2 =2(1 2)2nniinnnnniiiiinnnniiiiTTTTtttnntntTTTTTtxTTttTTxx式中: 表示第時刻, 即在時刻加上時刻。將上述方程代微分方程，得：解得：16n上式可見： 上述的差分方法稱為顯式差分方法。 只有當(dāng) 成立時，方程才能有數(shù)值解。 可見 x 越小， t 越小，計(jì)算時間長。1222 21 2 1 2nniitTTxtxtx 當(dāng)時，越大，越小， 方程不穩(wěn)定。，為限制條件即221tx17n對所有的層列出上述差分方程，則每層有一方程。 有 n 層的平板共

6、有 N 個顯示方程，可解出 N 未知數(shù)。 從初始條件開始，在時間上每次增加 t 段時間，則最終得到所有時間及所有層的溫度 Tin。當(dāng)在計(jì)算 不用當(dāng)前時刻溫度而用新時刻的溫度表示， 則：22Tx111111211111122(2)nnnnniiiiinnnnniiiiiTTTTTtxtTTTTTx18n這個方程不能直接求解，必須同其它方程聯(lián)立，有 N 個節(jié)點(diǎn)就有N 個方程，解出 N 個未知數(shù)，叫作隱式。此時沒有時間步長限制?？捎糜?jì)算機(jī)求解聯(lián)立線性方程組。n對二維、三維情況類似。1920111112211111111111222222 ()22 ()22 ( 1 )0 nnnnnnnnijijij

7、ijijijijijnnnnnnnnijijijijijijijijTTTTTTTTtxyTTTTTTTTtxyttxy顯式：隱式：穩(wěn)定條件：24 10txyx 當(dāng)時，2122第十三章 特殊問題的數(shù)值處理Chapter 13 Some Special Topics2313.1 潛熱處理The treatment of latent heat2425262713.2 邊界條件（Boundary Conditions）n給定速度邊界條件（ Given velocity boundary ） 28n給定壓力邊界條件（ Given pressure boundary ）293013.3 數(shù)值穩(wěn)定性分析

8、Numerical Stability Analysis3113.4 傳熱與流動偶合計(jì)算 Coupling fluid flow and heat transfer32333413.5 計(jì)算機(jī)編程注意事項(xiàng) Suggestions for Computer Programming1.Decide on the scope and limitations of the program ( two or three dimensions, Cartesian or cylindrical coordinates, uniform or non-uniform grids, constant or v

9、ariable density, steady or unsteady problems).2.When a computer program is developed, it must be thoroughly tested. 3.Test separate parts of the program before entire assembly.4.Start the test on simple problems with coarse grids and simple geometry.5.Check the overall conservation of the dependent

10、variable for overall conservation must be perfectly satisfied for any number of grid points for a well-converged solution.356.Check whether the converged solution is independent of the initial guesses and the relaxation factors.7.Interchangethe x and y coordinates to solve the same problem.8.Check the symmetry of the computed solution by using a symmetric problem. 9.Check the correct