第三章離散傅立葉變換

1、第三章離散傅立葉變換第三章離散傅立葉變換傅立葉變換的幾種可能形式傅立葉變換的幾種可能形式周期序列的傅立葉級數(shù)（）周期序列的傅立葉級數(shù)（）離散傅立葉變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的性質(zhì)離散傅立葉變換的性質(zhì)離散傅立葉變換的應(yīng)用離散傅立葉變換的應(yīng)用離散傅立葉變換的幾種可能形式離散傅立葉變換的幾種可能形式傅立葉變換就是以時(shí)間為自變量的“信號(hào)”與以頻率為自變量的“頻譜”函數(shù)之間的一種變換關(guān)系，當(dāng)自變量“時(shí)間”和“頻率“取連續(xù)值或離散值時(shí)，就形成不同的形式的傅立葉變換對。非周期的連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率非周期的連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅立葉變換傅立葉變換非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)和它的頻譜密度函數(shù)X(j) 構(gòu)成的傅

2、立葉變換對為正變換反變換以連續(xù)時(shí)間矩形脈沖為例：dtejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()(x(t)t(a) 非周期連續(xù)時(shí)間函數(shù) x(t)X(j)(b) 非周期連續(xù)頻譜X(j)周期的連續(xù)時(shí)間、離散頻率周期的連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期為T0的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅立葉級數(shù)展開的系數(shù)為X(jk0)，構(gòu)成的傅立葉變換對為：正變換反變換X(jk0)是以角頻率0為間隔的離散函數(shù)，形成頻域的離散頻譜，0與時(shí)間信號(hào)的周期之間的關(guān)系為。傅立葉級數(shù)展開將連續(xù)時(shí)間周期函數(shù)分解為無窮多個(gè)角頻率為0整數(shù)倍的諧波，k為各次諧波序號(hào)。220000)()(TTtjkdtetxjkXktjkej

3、kXtx0)()(00022TFx(t)T0-T00X(jk0)非周期的離散時(shí)間、連續(xù)頻率非周期的離散時(shí)間、連續(xù)頻率序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換非周期離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換就是序列的傅立葉變換，其變換對為正變換反變換式中是數(shù)字頻率。如果序列x(n)是模擬信號(hào)x(t)經(jīng)過抽樣得到，抽樣時(shí)間間隔為Ts，抽樣頻率為fS，抽樣角頻率為S=2/ Ts ，由于數(shù)字頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為=T ，因此抽樣數(shù)字頻率S=STS，則上面的變換對也可寫成: 正變換反變換nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(nTjnTjenTxeX)()(22)(1)(ssdeeXnTxTjnTjs仍以連

4、續(xù)時(shí)間矩形脈沖為例:結(jié)果表明，時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓，而時(shí)域的非周期性對應(yīng)與頻域的連續(xù)性。tTSx(nT)(a) 離散時(shí)間序列X(ejT)S-S0(b) 序列的頻譜圖 離散時(shí)間序列及其傅立葉變換離散時(shí)間、離散頻率離散時(shí)間、離散頻率離散傅立葉變換離散傅立葉變換假如序列x(n)是模擬信號(hào)x(t)經(jīng)過抽樣得到，抽樣時(shí)間間隔為Ts，則頻率函數(shù)的周期為S=2/ Ts；如果頻率函數(shù)也是離散的，其抽樣間隔為0，則時(shí)間函數(shù)的周期為=2/T。當(dāng)時(shí)間函數(shù)序列一個(gè)周期內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)為N時(shí)，有 上式表明在頻域中頻譜函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)也為N，即離散傅立葉變換的時(shí)間序列和頻率序列的周期都是N，可以得到表示于一

5、個(gè)周期內(nèi)的常用的離散傅立葉變換對為正變換反變換00ssTTN102)()(NnnkNjenxkX102)(1)(NknkNjekXNnx(a) 周期離散時(shí)間序列tx(n)TST02T0-T0-2T000S-SX(k)(b) 周期離散時(shí)間序列的頻譜圖 周期離散時(shí)間序列及其傅立葉變換周期序列的離散傅立葉級數(shù)（周期序列的離散傅立葉級數(shù)（DFSDFS）周期序列周期序列一個(gè)周期為N的周期序列，對于所有n滿足式中N為正整數(shù)。定義n=0到N-1的周期區(qū)間為的主值區(qū)間主值區(qū)間，而主值區(qū)間內(nèi)的N個(gè)樣本值組成的有限長序列稱為的主值序列主值序列，即這一過程稱為取主值序列。)(nx為整數(shù)kkNnxnx),()()(n

6、x)(nx對于一個(gè)有限長序列如將其以N為周期進(jìn)行周期性延拓，則可得由于周期序列不是絕對可和的，無論z取任何值，其z變換都是不收斂的，即因此周期序列不能用z變換法或傅立葉變換來進(jìn)行討論。為其它值nNnnxnx010)()(rNNnxnxrNnxnx)mod()()()(| | )(|nnznx離散傅立葉級數(shù)離散傅立葉級數(shù)令，則DFS變換對可寫成正變換 反變換 離散傅立葉級數(shù)表明是以N為周期的周期序列，其基波成分為，k次諧波成分為，為DFS的k次諧波分量的復(fù)系數(shù)。由于的周期性，當(dāng)已知0N-1次諧波成分后，根據(jù)周期性就可以確定其余的諧波分量，因此，無論時(shí)域或頻域中都只有N個(gè)序列值是獨(dú)立的。NjNeW

7、2nkNNnknNjNnWnxenxnxDFSkX10210)()()()(10102)(1)(1)()(NknkNNkknNjWkXNekXNkXIDFSnx)(kXnNje2nkNje2)(kX)(kX離散傅立葉級數(shù)的性質(zhì)離散傅立葉級數(shù)的性質(zhì)假定和是周期皆為N的兩個(gè)離散周期序列，它們的DFS為、線性、線性式中為任意常數(shù)，可見由兩個(gè)離散周期序列和線性組合成一個(gè)新的周期序列的DFS也是周期為N的離散周期序列。 )(1nx)(2nx)()(11nxDFSkX)()(22nxDFSkX)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFSba,)(1nx)(2nx)()(21nxbnxa、移位特性

8、、移位特性時(shí)域移位 頻域移位 如果N,那么證明： lm,)()(kXWmnxDFSmkN)()(lnnxWlkXIDFSN)(mod),()(NmmkXWmnxDFSkmN)(mod),()(NllnxWlkXIDFSnlN)()()()()(1010lnlkXWnxWnxWnxWDFSnklNNnnkNNnnlNN)()()()()(10110kXWWixWWWixWmnxmnxDFSmkNikNNimkNmkNikNmNminkNNn、時(shí)域卷積特性、時(shí)域卷積特性兩個(gè)周期都為N的周期序列和，它們卷積的結(jié)果也是周期為N的周期序列，即 m的取值由0（N-1），因此稱為周期卷積。)(1nx)(2n

9、x1021)()()(Nmmnxmxny05n000000555555mmmmmm111234圖圖 兩個(gè)周期序列兩個(gè)周期序列(N=6)的周期卷積過程的周期卷積過程)( ny)5(2mx)2(2mx)1(2mx)(2mx)(2mx)(1mx周期卷積與DFS的關(guān)系如下：設(shè) 若 則有 這就是時(shí)域卷積定理。這就是時(shí)域卷積定理。)()(11nxDFSkX)()(22nxDFSkX)()(nyDFSkY1021)()()(Nmmnxmxny)()()(21kXkXkY證明：)()()()()()( )()()()()(21101211010)(2110102110kXkXWmxWmxWWmnxmxWmnx

10、mxWnynyDFSkYNmmNmmkmNmkNNmNnmkNkmnNNnnkNNmNnnkN 、頻域卷積特性、頻域卷積特性 對于時(shí)域周期序列的乘積，同樣對應(yīng)于頻域的周期卷積。若 則)()()(21nxnxny1021)()(1)()(NllkXlXNnyDFSkY離散傅立葉變換離散傅立葉變換由于長度為N的有限長序列可以看作是周期是N的周期序列的一個(gè)周期，因此利用DFS計(jì)算周期序列的一個(gè)周期，就可以得到有限長序列的離散傅立葉變換設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，可以把它看作是周期為N的周期序列的一個(gè)主周期，而將看作是x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到，即同理)(nx)(nx)()(010)()

11、(nRnxnNnnxnxN為其它值NkXkX)()()()()(kRkXkXN離散傅立葉變換的正變換反變換101010,)()()()()()()()(NnnkNNNnnkNNNNNkWnxkRWnxkRnxDFSkRkXkX101010,)(1)()(1)()()()()(NnnkNNNnnkNNNNNnWkXNnRWkXNnRkXIDFSnRnxnx離散傅立葉變換的性質(zhì)離散傅立葉變換的性質(zhì)假定和都是N點(diǎn)的有限長序列，有、線性、線性 若兩個(gè)有限長序列和的線性組合為，則有 式中為任意常數(shù)。說明：（1）若和的長度均為N，則的長度為N；（2）若和的長度不等，的長度為N1，的長度為N2，則的長度為N

12、=maxN1，N2，離散傅立葉變換的長度必須按N來計(jì)算。)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX)(1nx)(2nx)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFTba,)(1nx)(2nx)(2nx)(2nx)(3nx)(3nx)(1nx)(1nx)(1nx)(2nx)()()(213nbxnaxnx、序列的圓周移位、序列的圓周移位有限長序列x(n)的圓周移位是以它的長度N為周期，將其延拓成周期序列 ，并將周期序列進(jìn)行移位，然后取主值區(qū)間（n=0到N-1）上的序列值。因而一個(gè)有限長序列的右圓周移位定義為)(nx)()()()(nRmnxnRmnxNNNx(n)x(n)Nx(

13、n-2)Nx(n-2)NRN(n)nnnn0000N-1N-1N-1N-1圖3.6 序列的周期移位(N=6)（）時(shí)域移位定理證明：由周期序列的時(shí)域移位性質(zhì)由于有限長序列的DFT就是周期序列DFS在頻域中的主值序列，有（）頻域移位定理若則上式稱為頻率移位定理頻率移位定理，也稱為調(diào)制定理調(diào)制定理，此定理說明時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。)()()()(kXWnRmnxDFTmnxDFTmkNNN)()(kXWmnxDFSmkN)()()()()(kRkXWkRmnxDFSmnxDFTNmkNN)()(nxDFTkX)()()(nxWnRlkXIDFTnlNNN、共軛對稱性、共軛對稱性任一序列

14、都可以表示成共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和。周期序列的共軛對稱分量和共軛反對稱分量都是周期性的，周期仍為N，取出它們的主值序列就得到了有限長序列的相應(yīng)的分量，分別稱為圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量，公式推導(dǎo)如下：設(shè)有限長序列x(n)的長度為N，以N為周期的周期延拓序列為)(nxo)(nxe)(nxep)(nxopNnxnx)()(則有同樣可以證明則有限長序列的圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量定義為由于滿足，有)()(21)()(21)(NNenNxnxnxnxnx)()(21)()(21)(NNonNxnxnxnxnx)()(nxnxee)()(nxnxoo)()()(21)()(

15、)(nRnNxnxnRnxnxNNNNeep)()()(21)()()(nRnNxnxnRnxnxNNNNoop)()()(nxnxnxoe)()()()()()()()(nxnxnRnxnxnRnxnxopepNoeNDFTDFT的一系列的對稱性質(zhì)：的一系列的對稱性質(zhì)：（）式中x*(n)是x(n)的共軛復(fù)序列。（）（）復(fù)序列實(shí)部的DFT等于序列DFT的圓周共軛對稱部分，即（）復(fù)序列虛部乘j的DFT等于序列DFT的圓周共軛反對稱部分，即（）若x(n)是實(shí)序列，則X(k)只有圓周共軛對稱部分，即滿足（）若x(n)是純虛數(shù)序列，則X(k)只有圓周共軛反對稱部分，即滿足)()()(*kNXkXnxD

16、FT)()(kXnxDFT)()(21)()(Re*kNXkXkXnxDFTep)()(21)()(Im*kNXkXkXnxjDFTop)()(*kNXkX)()(*kNXkX（）例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是實(shí)數(shù)序列，試求X1(k)和X2(k)解：先利用這兩個(gè)實(shí)數(shù)序列構(gòu)成復(fù)序列，有 又故同樣故 因此可以用一次DFT計(jì)算出Y1(k)，然后用上面的公式計(jì)算出X1(k)和X2(k)。)(Re)(kXnxDFTep)(Im)(kXjnxDFTop)()()(21njxnxny)()()()()()(2121kjXkXnxjDFTnxDFTkYnyDFT)(Re)(1nynx)()(21)()(Re

17、)(*1kNYkYkYnyDFTkXep)(Im)(2nynx)()(21)(1)(*2kNYkYjkYjkXop例：試?yán)肈FT的對稱特性求和的DFT。解：設(shè)因?yàn)樗詎0cosn0sinnjenjnnx000sincos)(kNjNjNnkNjNkNNjnkNnjWeeWeWeWekXnxDFT000001111)()(10)(Recos0nxn kNkNkNkNkNjNjkNjNjepWWNWWNWeeWeekNXkXkXnxDFTnDFT20000*0cos21) 1cos(coscos1211112)()()()(Recos0000而因?yàn)樗?(Imsin0nxn kNkNkNkNkN

18、jNjkNjNjopWWNWNWjWeeWeejkNXkXkXjnxDFTnDFT20000*0cos21) 1sin(sinsin211112)()()(1)(Imsin0000、帕斯瓦爾（、帕斯瓦爾（ParsevalParseval）定理）定理證明：若y(n)=x(n),則即1010*)()(1)()(NnNkkYkXNnynx10*1010*10*1010*)()(1)()(1)(1 )()()(NkNkNnnkNNnNknkNNnkYkXNWnxkYNWkYNnxnynx10*10*)()(1)()(NkNnkXkXNnxnx102102| )(|1| )(|NkNnkXNnx、圓周卷

19、積、圓周卷積（）時(shí)域圓周卷積（）時(shí)域圓周卷積 設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的有限長序列，有若則此卷積過程與周期卷積和的過程是一致的，只不過這里要取結(jié)果的主值序列。公式中的只在0mN-1范圍內(nèi)取值，因而是圓周移位，因此這個(gè)卷積和稱為圓周卷積圓周卷積和。和。 )()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX)()()(21kXkXkY)()()()()()()()(11022101nRmnxmxnRmnxmxkYIDFTnyNNNmNNNmNmnx)(200nn112x1(n)(a)(b)x2(n)0n121。)1 (2mx)(2mx0n1。0n12。)(2mx 0n12。)(1mx)2(

20、2mx012。ny(n)=x1n)x2n) 4圖 兩個(gè)有限長序列的圓周卷積和線性卷積0n34y(n)=x1(n)x2(n)0n340n4y(n)=x1(n)x2(n)y(n)=x1(n)*x2(n)n134y(n)=x1(n)x2(n)0312（）頻域圓周卷積（）頻域圓周卷積利用時(shí)域與頻域的對稱性，得到頻域圓周卷積定理若則（）圓周相關(guān)定理（）圓周相關(guān)定理若則)()()(21nxnxny)()()(1)()()(1)()(11022101kRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl)()()(*kYkXkRxy)()()()()()()()(*10*10mRmnxnymRmny

21、nxkRIDFTmrNNnNNNnxyxy（）用圓周卷積求線性卷積（）用圓周卷積求線性卷積 如果信號(hào)x(n)和單位抽樣響應(yīng)h(n)都是有限長序列，那么是否能用圓周卷積的運(yùn)算來代替線性卷積運(yùn)算呢？下面就這個(gè)問題加以討論：設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長序列，x2(n)是N2點(diǎn)的有限長序列。 x1(n) 和x2(n)的線性卷積： x1(m)的非零區(qū)間為0mN1-1， x2(n-m)的非零區(qū)間為0n-mN1-1，將兩個(gè)不等式相加，得到 0nN1+N2-2102121)()()()()(Nmmlmnxmxmnxmxny x1(n) 和x2(n)的圓周卷積：假設(shè)x1(n) 和x2(n)進(jìn)行L圓周卷積,Lma

22、x(N1,N2)，再討論L等于何值時(shí)，圓周卷積才能代表線性卷積。將兩個(gè)序列都補(bǔ)零為長度為L點(diǎn)的序列，即則1010()(1111LnNNnnxnx1010()(2222LnNNnnxnx)()()()(1021nRmnxmxnyLLmL將任一序列（這里采用x2(n)）變成L點(diǎn)周期延拓序列，即因此L L點(diǎn)的圓周卷積點(diǎn)的圓周卷積y(ny(n) )是線性卷積是線性卷積y yl l(n(n) )以以L L為周期的為周期的周期延拓序列的主值序列周期延拓序列的主值序列 結(jié)論：若若LNLN1 1+N+N2 2-1-1，則，則L L點(diǎn)圓周卷積能代表線性卷積。點(diǎn)圓周卷積能代表線性卷積。 rNrLnxnxnx)()

23、()(222)( )()( )()()( )()()()()()(210121011021nRrLnynRmrLnxmxnRmrLnxmxnRmnxmxnyLrlLrLmLrLmLLmL圖 兩個(gè)有限長序列的圓周卷積和線性卷積000nnn11234x1(n)y(n)=x1(n) x2(n)0n340n4y(n)=x1(n) x2(n)y(n)=x1(n)*x2(n)n134y(n)=x1(n) x2(n)0312(a)(b)(c)(d)(e)(f)x2(n)3443110012101111000111100011111001111100111110014432301210111100111110

24、1111101111101444412101111111111111111x(n)h(nh(n)=)=x(n)h(nh(n)=)=x(n)h(nh(n)=)=x(n)h(n)=134431000012101111000011110000111100001111100011111000111110001例：序列例：序列x(nx(n)=)=(n)+2(n-2)+(n)+2(n-2)+(n-3)(n-3)（1 1）求）求x(nx(n) )的的4 4點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT。（2 2）若）若y(n)=x(n)y(n)=x(n)x(nx(n),),求求y(ny(n) )和和4 4點(diǎn)的點(diǎn)的Y(kY(k) )。（3

25、 3）若）若h(nh(n)= (n)+(n-1)+2)= (n)+(n-1)+2(n-3)(n-3)， 求求y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(nh(n),),解解（1 1） (2)(2)30342421)()(nkknkNWWWnxkX)3(2)2(5) 1(4)(5)(2545)1(442412121)(34244246445444645444342434243424nnnnnyWWWWWWWWWWWWWWWWWkYkkkkkkkkkkkkkkkkk，因?yàn)椋? 3）已知）已知h(nh(n)=1,1,0,2,x(n)=1,0,2,1)=1,1,0,2,x(n)=1,0,2,1 因此利用矩

26、陣運(yùn)算，得到：因此利用矩陣運(yùn)算，得到： y(ny(n)=2)=2(n)+5(n-1)+4(n-2)+5(n)+5(n-1)+4(n-2)+5(n-3)(n-3) 或或y(ny(n)=2,5,4,5)=2,5,4,5545212011102211002111021利用利用DFTDFT計(jì)算模擬信號(hào)的計(jì)算模擬信號(hào)的 傅立葉變換傅立葉變換( (級數(shù)級數(shù)) )對對對連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅立葉對連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅立葉 變換的變換的DFTDFT逼近逼近 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)x(tx(t) )的傅立葉變換對為的傅立葉變換對為用用DFTDFT方法計(jì)算這一變換對方法計(jì)算這一變換對: :dtet

27、xjXtj)()(dejXtxtj)(21)(、采樣：對x(tx(t) )以T為間隔進(jìn)行采樣，即 由于 因此得到、截?cái)啵簩⑿蛄衳(nT)=x(n)截?cái)喑砂蠳個(gè)抽樣點(diǎn)的有限長序列，因此有由于時(shí)域抽樣，抽樣頻率為fS=1/T，頻域產(chǎn)生以fS為周期的周期延拓，若頻域?yàn)閹扌盘?hào)，則有可能不產(chǎn)生頻域混迭，而成為連續(xù)周期頻譜。、頻域抽樣：在頻域的一個(gè)周期中取N個(gè)樣點(diǎn)，每個(gè)樣點(diǎn)間隔為F0， fSF0。頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時(shí)域就得到原來已經(jīng)截?cái)嗟碾x散時(shí)間序列的周期延拓，時(shí)域周期為F0。因此有 )()(| )(nxnTxtxnTtnTdtTdtnTt,nnTjTenTxjX)()(sdej

28、XnTxnTj0)(21)(10)()(NnnTjenTxTjX10000,NkddkNTfNFTs001002 FNTTfFfTsss222200000得到一些參量關(guān)系：)()()(| )()(10210000nxDFTTenxTenTxTjXjkXNnnkNjNnnTjk因此得到：)(1)(1)(1)()(2)(01020102001020100000jkXIDFTTejkXNfejkXNNFejkXFejkXnTxNknkNjsNknkNjNknkNjNknTjk2 2對連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的對連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的 傅立葉級數(shù)的傅立葉級數(shù)的DFSDFS逼近逼近ktjkTtjkejkXtxdte

29、txTjkX000)()()(1)(00000010) 1(TNnTdtTnTTndt連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)x(t)的傅立葉級數(shù)對為：T0為連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的周期.1010200)(1)()(0NnNnnkNjnTjkenxNenTxTTjkX1、時(shí)域抽樣x(n)=x(nT)=x(t)|t=nT設(shè)一個(gè)周期內(nèi)的樣點(diǎn)數(shù)為1020100)(1)()(0NknkNjNknTjkejkXNNejkXnTx)(| )()()(1)(00jkXIDFSNtxnTxnxDFSNjkXnTt因此得到用DFS(DFT)來逼近連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅立葉級數(shù)對的公式:、將頻域離散序列截?cái)?，截?cái)嚅L度等于一個(gè)周期（時(shí)域抽樣造成的頻

30、域周期延拓的一個(gè)周期），有3 3利用利用DFTDFT對非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅對非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅立葉變換對逼近的全過程圖解立葉變換對逼近的全過程圖解4 4利用利用DFTDFT計(jì)算模擬信號(hào)時(shí)計(jì)算模擬信號(hào)時(shí) 可能出現(xiàn)的問題可能出現(xiàn)的問題、頻域的混迭失真及參數(shù)的選擇、頻域的混迭失真及參數(shù)的選擇、截?cái)嘈?yīng)、截?cái)嘈?yīng)、柵欄效應(yīng)、柵欄效應(yīng)）根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)采樣頻率）根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)采樣頻率f fS S大于信號(hào)的最高頻率大于信號(hào)的最高頻率f fh h兩倍時(shí)，才能避免頻域混迭。即兩倍時(shí)，才能避免頻域混迭。即f fS S2 f2 fh h。也就是抽樣間隔為。也就是抽樣間隔為T T滿足滿足=1/f=1/f

31、S S 1/2f 1/2fh h。實(shí)際信號(hào)的持續(xù)時(shí)間都是有限的，從理論上來說，其頻譜寬度實(shí)際信號(hào)的持續(xù)時(shí)間都是有限的，從理論上來說，其頻譜寬度是無限的，在工程上總是對信號(hào)先進(jìn)行低通濾波是無限的，在工程上總是對信號(hào)先進(jìn)行低通濾波預(yù)濾波或預(yù)濾波或抗混迭濾波，限制高于的頻率分量出現(xiàn)?？够斓鼮V波，限制高于的頻率分量出現(xiàn)。）DFTDFT得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為F F0 0，即頻率分辨力即頻率分辨力,T,T0 0=1/ F=1/ F0 0為最短信號(hào)記錄長度。為了對全部信為最短信號(hào)記錄長度。為了對全部信號(hào)進(jìn)行采樣，必須使抽樣點(diǎn)數(shù)號(hào)進(jìn)行采樣，必須使抽

32、樣點(diǎn)數(shù)N N滿足條件滿足條件00FfTTNs例例: :有一頻譜分析用的有一頻譜分析用的FFTFFT處理器處理器, ,其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2 2的整數(shù)冪的整數(shù)冪, ,假假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施, ,已知給定的條件為已知給定的條件為: :頻率分辨率頻率分辨率10Hz,10Hz,信號(hào)最高頻率信號(hào)最高頻率4kHz.4kHz.試確定以下參量：試確定以下參量：最小記錄長度最小記錄長度；抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔（最小抽樣抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔（最小抽樣頻率）；頻率）；在一個(gè)記錄中最少點(diǎn)數(shù)在一個(gè)記錄中最少點(diǎn)數(shù)解：解： 最小記錄長度最小記錄長度 抽樣點(diǎn)間的最大

33、時(shí)間間隔抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔 sFT1 . 0101100sfTh3310125. 0104212180010242280010104221030mhNFfN取在實(shí)際中遇到的序列在實(shí)際中遇到的序列x(nx(n) )，其長度往往是很長，甚至是，其長度往往是很長，甚至是無限長的，用無限長的，用DFTDFT對其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將它截?cái)酁殚L度對其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將它截?cái)酁殚L度為為N N的有限長序列，即的有限長序列，即根據(jù)頻率卷積定理，有根據(jù)頻率卷積定理，有式中，式中，其中部分稱為主瓣。其中部分稱為主瓣。假設(shè)，則假設(shè)，則)()()(nRnxnyNdeReXeHeXeYjNjjjj)()(21)(*

34、)(21)()()2/sin()2/sin()()(21NenRFTeRNjNjNN2|)4()(nconnxljlleX)24()24()(|RN(e ej j)|X(e ej j)|Y(e ej j)|2/N-2/N/4-/40(a) RN(e ej j) )的幅頻曲線的幅頻曲線(b) X(e ej j) )的幅頻曲線的幅頻曲線(c) Y(e ej j)的幅頻曲線的幅頻曲線序列截?cái)嗪蟮念l譜與原序列頻譜有著明顯的序列截?cái)嗪蟮念l譜與原序列頻譜有著明顯的差別，這種差別對譜分析帶來兩方面的影響：差別，這種差別對譜分析帶來兩方面的影響：1 1）頻譜泄露）頻譜泄露原序列原序列x(nx(n) )的頻譜是

35、離散譜線，經(jīng)截?cái)嗪笫姑扛V線都的頻譜是離散譜線，經(jīng)截?cái)嗪笫姑扛V線都帶上一個(gè)辛格譜，就好象使譜線向兩邊延伸，通常將這種因帶上一個(gè)辛格譜，就好象使譜線向兩邊延伸，通常將這種因時(shí)域上的截?cái)鄬?dǎo)致頻譜展寬稱之為時(shí)域上的截?cái)鄬?dǎo)致頻譜展寬稱之為“泄露泄露”，顯然泄露使頻，顯然泄露使頻譜變得模糊，分辨率降低。譜變得模糊，分辨率降低。2 2）譜間干擾）譜間干擾因截?cái)嗍乖谥髯V線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間因截?cái)嗍乖谥髯V線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，稱之為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴(yán)重時(shí)的干擾，稱之為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴(yán)重時(shí)強(qiáng)信號(hào)的旁瓣可能湮滅弱信號(hào)的主譜線，或者將強(qiáng)信號(hào)譜的強(qiáng)信號(hào)的旁瓣可能湮滅弱信號(hào)的主譜線，或者將強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一信號(hào)的