第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、第4章系統(tǒng)的性分析性n系統(tǒng)最為重要的性能指標之一qq 一個系統(tǒng)要能夠?qū)嶋H運行首要條件是它必須，系統(tǒng)只有在的前提下才能探討其他特性。性是自動理論中一個最基本和最重要的問題。q系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個n 一個自動系統(tǒng)。的q 例如,n 電機自動調(diào)速系統(tǒng)中保持電機轉(zhuǎn)速為一定的能力n 火箭飛行中保持航向為一定的能力n 反應(yīng)器保持、溫度為一定的能力等。q 具有性的系統(tǒng)稱為系統(tǒng)。性：n受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞。但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地返回原平衡狀態(tài)；或趨q于另外一個新的平衡態(tài)繼續(xù)工作。性。性是一個動態(tài)屬q 如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不系統(tǒng)。性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后,系統(tǒng)

2、狀態(tài)變量n 系統(tǒng)的或輸出變量的偏差量(被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值)過渡過程的收斂性,用數(shù)學表示就是Dx(t) eLimt 式中，Dx(t)小的規(guī)定量。被調(diào)量偏離其平衡位置的變化量; e為任意n 如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來越大,顯然它不可能是一個系統(tǒng)。理論中,常用的-q 在經(jīng)典性判據(jù)：茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈實用又方便的判別系統(tǒng)判據(jù)等，都給出了既。討論的是線性定性的的有界輸入有界輸出(BIBO)性 多變量， 非線性， 時變特性等主要內(nèi)容n 基本概念n Lyapunov性定理n Lyapunov性理論在線性系統(tǒng)分析中的應(yīng)用設(shè)有一動態(tài)系統(tǒng)X& (t) = f X (t),tX (t

3、) Rn1, f X (t), t Rn1設(shè)在給定的初始條件 t=t0，X（t0）=X0時X (t) = f (t, X 0 , t0 )式（1）有唯一解，用f (t, X 0 , t0 )表示其解X 0 = f (t0 , X 0 , t0 )的狀態(tài)軌跡。平衡狀態(tài)若方程（1）中，Xe使得對所有的 t 都滿足X& (t) = f X e , t = 0Xe則稱的平衡狀態(tài)平衡態(tài)n 從定義可知,平衡態(tài)即指狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的導數(shù)向量為零向量的點(狀態(tài))。q 由于導數(shù)表示的狀態(tài)的變化方向,因此平衡態(tài)即指能夠保平衡態(tài)持平衡、維持現(xiàn)狀不的狀態(tài),。平衡態(tài)平衡狀態(tài)求法：滿足式（3）的解1、線性定x&(t)

4、= Ax(t)Axe (t) = 0若 A 非奇異， xe (t) = 0 ，唯一一個平衡點，坐標原點。若 A 奇異， xe (t) 有多個(無窮多)。2、非線性系統(tǒng)x& =f (xe , t) = 0 ， xe ，可能有多個。= -x1例 5.1 系統(tǒng)x&1中，有三個平衡點x - x322x= 0 ， x= 0 ， x= 00-11e1e2e3 性通常指平衡點附近的性，任意一個平衡狀態(tài)，可以通過坐標變換移到坐標原點。故：研究系統(tǒng)在原點的性性衡量（度量）狀態(tài)空間距離的大小向量 x的長度稱為向量 x 的：，向量 x 與 x 的距離為：2+L x2x2ne；當| x - x |限)2(xx1nen

5、e e ， e 0 。定在某一范圍時，記作x - xex&(t) =f x(t),t有界在 f 作用下， x 偏離 xe 有三種（無窮大）x xe性X& (t) =f X (t),tdn 對于任意給定的正數(shù)，總另一個實數(shù)，X 0Xe初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)為球心，ndS (d )半徑為的閉環(huán)域內(nèi)時即 d , t = t0X 0 - X e（接上頁）若從任意 X 0X (t, X 0 , t0 )出發(fā)，若能使系統(tǒng)方程的解,t X e在的過程中都位于以平衡狀態(tài)為球心、任意規(guī)定的半徑為的閉域內(nèi) e , t t0X (t, X 0 , t0 ) - X e則稱該平衡狀態(tài)是Lyaponov意義下dt0q

6、若的的選擇與無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致幾何意義：從 S (d ) 出發(fā)的軌跡，在t t0 的任何時刻總S (e ) 。超出性漸近不僅具有Lyaponov意義下的且X (t, X 0 , t0 ) - X e 0limt 則稱平衡狀態(tài)是漸近的dt0當與無關(guān)時,稱為一致漸近漸近大范圍(全局)漸近性d當初始擾動擴展到整個狀態(tài)全局具有漸近性時,稱此平衡狀態(tài)為大范圍漸近的d , X X edt0此時,當與無關(guān)時，稱為大范圍一致漸近n 大范圍漸近態(tài)空間。是漸近，且其漸近范圍是整個狀q 線性系統(tǒng)只要漸近（只有一個），一定是整個狀態(tài)空間的漸近。q 非線性系統(tǒng)，不只一個。不性對于某一 e 0 ，有不管給定的dS

7、(d )多小,在域S (e )內(nèi)總初始狀態(tài)X 0，從X 0出發(fā)的軌跡超出則稱此平衡狀態(tài)為不的 。不 dx0 - xe若當時， 總 個初態(tài) x0 ， 使 e，(t t0 ) ，稱平衡狀態(tài) xe 是不x0 - xe的。標量函數(shù) V(x) 的正定性n 設(shè) V(x) 為以狀態(tài)向量 x 的各分量作為其自變量的標量函數(shù)q V(x) 的定義域為 Sq 如果只有當 X=0 時，V(x)=0X 0時，V(x)0，則稱 V(x) 為正定函數(shù)q如23V(x) =q 若除了 X=0 和某些狀態(tài)使 V(x)=0 以外，S 域內(nèi)的所有其他狀態(tài)都使 V(x)0 ，則稱 V(x) 為半正定的函數(shù)。+ x2)2V23若 V(x

8、) 是正定的函數(shù)，則 -V(x) 就是負定的函數(shù)V(x) = -(2 )n當 V(x) 是狀態(tài) x 的二次型函數(shù)時nm= pij xi x j i=1j=1V (= p jipijP - 對稱矩陣，即取決于 P 的正定性，V(x) 的正定性就 p11p1n p12p13LLLLL pppp2n 212223P = p31p3n p32Mpn 2p33Mpn3MM pn1pnn 二次型定義及其表達式f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2每項次數(shù)都是二次的。矩陣表示：p12 p1n p11 p x1 xp p2n 22122) =Vn p xp pnn n1n2n= xT Px其中

9、： P 為是對稱陣。例21V2221021 2 二次型的，只含有平方項的二次型，如： 2 對稱陣，且秩相同(變化前后)。a x 2 + ax+La2x1 122nn準則P 的各階主子式都是大于若0即pp1112pppp 01112 022011pp2123 3LL則矩陣為正定陣，則det( P ) 0xT PxV(x)=也為正定的例下列二次型函數(shù)的正定性。Vx 21 x 2x1 x 3- 2 x1 10 14- 1 - 1 x解： V=xx1 232 - 2 x 31應(yīng)用準則，有- 2- 1110 1- 214- 1， 10 14 0 ，10 001由于 P 的所有主子行列式0 ，所以，V (

10、 x）是正定的。Lyaponov性定理Lyaponov第一(間接法）n基本思想：通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解系統(tǒng)的性。q（1）對于線性定，只需求出系統(tǒng)特征方程的根。即可作出系統(tǒng)性的（2）對于非線性不很嚴重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來系統(tǒng)的性。n 定理x =Ax 漸近線性連續(xù)定的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負實部。Lyaponov第二函數(shù)V(x)，根據(jù)V(x)性質(zhì)q 構(gòu)造一個系統(tǒng)性對任何系統(tǒng)都適用。Lyaponov第二n 基本思想Lyaponov第二n 基本思想電感儲能：W = 1 Li(t)2= 1 Lx 21122電容能量：W= 1 Cu

11、 (t)2 = 1 Cx22c222總能量：W = W + W= 1 (Lx 2 + Cx2 )12122逐漸 0，系統(tǒng)是逐漸 ，系統(tǒng)是不的如果能量隨時間推移。的Lyaponovn 基本思想第二12W = W1 + W2=(Lx+ Cx2 )221 RLC電路1 RL- x x&Ldi(t)L 11= + Ri(t) + u= u(t) x& xc1Cdt 2 2 0C duc (t) = i(t)dt x1 (0) 0 x(0)2= dw = Cx11 xW&+ Lx x& = Cx2 ( C x1 ) = -Rx 2x&221 121dt對于更的系統(tǒng)，如何得到能量函數(shù)？Lyaponovn

12、基本思想第二構(gòu)建滿足下列3個條件的虛擬能量函數(shù)V(x)：（1） V(x)為任意標量函數(shù)，x狀態(tài)變量（2） V(x)為正定函數(shù)（3） V(x)對時間的一階導數(shù)為負定通過V(x)和dV(x)/dt 的系統(tǒng)的性。Lyaponov第二X&設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為= f ( X ,t)式中f ( 0 , t ) = 0( t t 0 )連續(xù)的一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V（X），且滿足若（1）正定；V ( X ,t)V& ( X ,t)（2）負定；則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近的。Lyaponov 第二V ( X , t) 若時，有X則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近的。(1) 物理意義：V (x) 代表的能量，V& (

13、x使能量變化的速度，V& (x) 0 ，能量 。(2) 幾何意義：設(shè)V，取V c L, 越逼近圓2+2C，c2212心，半徑c 越小，代表能量越小。V& (x) t 0 )式中若連續(xù)的一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V（X），且滿足（1）V ( X ,t)正定；（2）V& ( X ,t)半負定；V& (f (t, X 0 ,t0 ),t)X 0 0t0（3）對任意和任意在t t0時不恒等于零。則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近的。 XV ( X ,t) 若時，有則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近的。說明：(1) V& (x, t) 0 ，則V (x, t) c ，能量保持不變，不趨向原點，不是漸近，是。(2) V

14、& (x, t) 只是在某個時刻暫0，其他的為負，能量衰減終止。n 例1設(shè)系統(tǒng)方程= x-2 )x&122= -x -2 )x&212試確定其平衡狀態(tài)的性解：取22VV& ( X ) = 2x1則2將系統(tǒng)方程代入上式得V&4 )2V& ( X ) 0;當x1,x2不同0時，所以系統(tǒng)在平衡點（0，0）是漸近 xV ( x, t) 由于時，所以系統(tǒng)在平衡點（0，0）是大范圍漸近的.例2設(shè)系統(tǒng)方程= x2x&12試確定其平衡狀態(tài)的性解：原點（0，0）的唯一平衡狀態(tài)，選取V ( X ,t) = x2 + x212V& ( X ,t) = 2x1 x&1 + 222V& ( X ,t) = 0V& (

15、X ,t) = 0x = 0, x= 0當時12x1 0, x2 = 0當時V& ( X ,t)所以 近半負定，不恒為0，系統(tǒng)在原點是漸的。 V ( X ,t) X因為時所以系統(tǒng)在大范圍內(nèi)漸近V ( X ,t) = 1 (x +2 另：若取122V& ( X ,t) = -(x2 + x2 ) t 0 )式中若足：連續(xù)的一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V（X），且滿（1） V ( X ,t)正定；V& ( X ,t)（2）半負定。則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在Lyaponov定義下是的，但并不一定漸近定的等幅振蕩狀態(tài)上 。系統(tǒng)可以保持在一個穩(wěn)例3 系統(tǒng)方程為= Kx1= -x1x&1x&2K0,試確平衡狀態(tài)的

16、性。解：顯然，原點為平衡狀態(tài)。選取V ( X , t) = x 2 + Kx 2 ,K 012V& ( X , t) = 2= 2Kx1 x2 - 2Kx1 x2= 02 x&2由上式可見，V&(X,t)在任意X值上可保持為零，則系統(tǒng)在Lyaponov 意義下是，但不是漸近的。定理4X&= f ( X ,t)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為f ( 0 , t ) = 0( t t 0 )式中連續(xù)的一階偏導數(shù)的標量函數(shù) V（X），且滿若足：V ( X ,t)V& ( X ,t)（1）在此點的某一鄰域內(nèi)是正定的；（2）在同樣的鄰域內(nèi)是正定的。則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不的。例系統(tǒng)試確x2x2在平衡狀態(tài)的性。=

17、0= 0x1 + x2 = 0由 x& = 0 ， 得 x1e解：(1)- x + x x= 0122e(2)則：V&選V22 0+ 2 x2 x&22&1x ）= 2 x+ 2 x 022212滿足定理 4.4，該系統(tǒng)為不系統(tǒng)。Lyapunov性理論在線性系統(tǒng)分析中的應(yīng)用n 線性連續(xù)定性分析n 線性定常離散系統(tǒng)的性分析線性連續(xù)定性分析設(shè)定常線性系統(tǒng)X&V (正定的實對稱矩陣= AX選取P-兩邊求導V&(X ) = X& T PX + X TPX& = XT AT PX + XT PAX= X T ( AT P + PA)Q = AT P + PA式中矩陣 Q狀態(tài)是否要是否負。可用半負定,才能

18、確準則在平衡的正定性。Q方便起見，常常令 Q=- I，求P，再性P陣是否正定，判的定理5Xe = 0線性定近（1）的平衡狀態(tài)在大范圍內(nèi)漸的充要條件是給定一個正定的實對稱矩陣Q，一個正定的實對稱矩陣P。使得AT P + PA = -Qq上述定理給出了一個判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近性的簡,該便函數(shù),不需尋找李不需求解系統(tǒng)矩陣A的特征值,只需解一個矩陣代數(shù)方程即可,計算簡便。該矩陣方程又稱為Lyaponov矩陣代數(shù)方程。n 線性定常連續(xù)系統(tǒng)性分析應(yīng)用定理判穩(wěn)步驟(1)確的平衡狀態(tài) xe ，通常 xe= 0 。(2)設(shè)V (x) = xT Px ，取Q = I 。(3)(4)由 AT P + PA =

19、-I ，求出 P 。(Sylvester)判據(jù)，判定由P 是否正定。若 P 0 ，系統(tǒng)漸近，且V (x) = xT Px ，的一個函數(shù)。例1A = 01 -1-1設(shè)V (其中P = p11p12 pp22 21n 令 Q=Iq 則由（5）-1 p11AT P + PA = 0p12 01 pp12+111-1 p p-1-1pp2122 22 21= -Q = -10 0-1n 即得- 2 p12 = -1 p- p- p= 0111222- 2 p22 = -12 p12 31 P = 22 11 2因為= 3 02p11p11p21p12p22= 3 - 1 024P正定所以系統(tǒng)例設(shè)的方程

20、為：&3 x1 x01= x& -2-2 x 2 2 A 為非奇異，原點是一個唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的性。解：設(shè)V (x) = xT Px ，V& (x) = xT (-Q)x ，取Q = I ，則AT P + PA = -I0-2 p11-2 = -1p12 00 pp1211+-2 p p 33-2 0-1pp 2122 2122 -2 p21-2 p22-3 p11 - 2 p-10 2 p+2121=3 p- 2 p-2 p 0-1- 2 p3 p- 2 p3 p22 22 1121122221對稱 p21 = p12 ，-4 p123 p11 - 2 p12 - 2 p-10

21、22=3 p- 2 p- 2 p 0-16 p- 4 p1112221222 pp，1221-p1212將矩陣方程展開221111- 4 p 16 p51222p22 8 71 4 P 陣為， P = p11p1212=15 pp 4 8 2122 根據(jù)準則：71458p1121p1222 7= 35 - 11214 0 ，= 0p11pp129616所以， P 是正定的，即：系統(tǒng)是大范圍漸近1的。x + 5 x由此得：V (x) = xT21228例 3設(shè)的方程為：&1 x1 x-11= x& -3 x 2 2 2 A 為非奇異，原點是一個唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的性。線性定常離散系統(tǒng)的性分析線性定常離散系統(tǒng)的齊次方程為X (k + 1) = GX (k)選二次型V ( X (k ) = X T