第二章誤差及數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理

1、第二章第二章 誤差及分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理誤差及分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理2-1 定量分析中的誤差定量分析中的誤差 定量分析的任務(wù)是準(zhǔn)確定量分析的任務(wù)是準(zhǔn)確測(cè)定試樣中組分的含量。但是，即使是技術(shù)很熟練的分析工作者，用最完善的分析方法和最精密的儀器，對(duì)同一樣品進(jìn)行多次測(cè)定，其結(jié)果也不會(huì)完全一樣。這說(shuō)明客觀上存在著難以避免難以避免的誤差。因此，我們?cè)谶M(jìn)行定量測(cè)量時(shí)，不僅要得到得到被測(cè)組分的含量，而且還應(yīng)對(duì)分析結(jié)果作出評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)，判斷判斷其準(zhǔn)確性（可靠程度），找出找出產(chǎn)生誤差的原因，并采取有效的措施，減少誤差。一、一、 誤差的表示誤差的表示 從理論上說(shuō)，樣品中某一組分的含量必有一從理論上說(shuō)，樣品中某一組分的含量必

2、有一個(gè)客觀存在的真實(shí)數(shù)據(jù)，稱之為個(gè)客觀存在的真實(shí)數(shù)據(jù)，稱之為“”。測(cè)。測(cè)定值定值(x)與真實(shí)值與真實(shí)值()之差稱為誤差之差稱為誤差(絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差)。 誤差的大小反映了測(cè)定值與真實(shí)值之間的符誤差的大小反映了測(cè)定值與真實(shí)值之間的符合程度，也即測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度。合程度，也即測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度。 誤差有正負(fù)誤差有正負(fù), 測(cè)定值測(cè)定值 真實(shí)值真實(shí)值 ,誤差為正誤差為正; 測(cè)定值測(cè)定值 2.5 時(shí)，概率為：時(shí)，概率為：0.5 0.4938 = 0.0062 =0.62%一樣品，標(biāo)準(zhǔn)值為一樣品，標(biāo)準(zhǔn)值為1.75%，測(cè)得，測(cè)得 = 0.10, 求結(jié)果落在求結(jié)果落在1.750.15% 概率；概率；測(cè)量值大于測(cè)

3、量值大于2 %的概率。的概率。86.6%0.62%P a ap + a = 1a 顯著水平顯著水平 P 置信度置信度六、有限次測(cè)定中隨機(jī)誤差的六、有限次測(cè)定中隨機(jī)誤差的t t分布曲線分布曲線在有限次測(cè)定中無(wú)法計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差和總在有限次測(cè)定中無(wú)法計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差和總體平均值，其隨機(jī)誤差并不完全符合正態(tài)分體平均值，其隨機(jī)誤差并不完全符合正態(tài)分布，而是服從于布，而是服從于t分布。分布。 ( (與與u相比，用相比，用s代替代替) nsxsxtxt 分布曲線無(wú)限次測(cè)量，得到無(wú)限次測(cè)量，得到 xu有限次測(cè)量，得到有限次測(cè)量，得到xs snsxsxtxt t 分布曲線分布曲線0.000.100.200.300

4、.40-3-2-10123uyu u 分布分布曲線曲線t分布曲線的特點(diǎn)：分布曲線的特點(diǎn)： (1)（2）t t在不同的自由度在不同的自由度f(wàn)(f=n-1)下，下，t分布曲線具有不同分布曲線具有不同的形狀。的形狀。 f對(duì)對(duì)t分布的影響實(shí)質(zhì)上反映的是測(cè)量次數(shù)分布的影響實(shí)質(zhì)上反映的是測(cè)量次數(shù)n對(duì)對(duì)t分布分布的影響的影響 。 從圖從圖可以看出：可以看出：t分布曲線一般總要比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布曲線一般總要比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線曲線 “ “矮胖矮胖”，這表明有限次測(cè)量的分布要更分散。，這表明有限次測(cè)量的分布要更分散。 與與u的區(qū)別在于用有限次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的區(qū)別在于用有限次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差s代替了代替了總體標(biāo)準(zhǔn)總體

5、標(biāo)準(zhǔn)偏差偏差f時(shí)，時(shí)，s才趨于才趨于t分布曲線才與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線完全吻合，分布曲線才與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線完全吻合，f因此也可以把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布看成是因此也可以把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布看成是t分布的一個(gè)特例。分布的一個(gè)特例。這個(gè)式子表明：真實(shí)值這個(gè)式子表明：真實(shí)值可能存在于可能存在于 這個(gè)區(qū)間之中，此區(qū)間稱為這個(gè)區(qū)間之中，此區(qū)間稱為。決定。決定置信區(qū)間大小的置信區(qū)間大小的t值，對(duì)應(yīng)著一定的置信概值，對(duì)應(yīng)著一定的置信概率，這個(gè)置信概率稱為率，這個(gè)置信概率稱為，也即真值位，也即真值位于該置信區(qū)間內(nèi)的把握。于該置信區(qū)間內(nèi)的把握。 由由P14表表2-2的的t值表可以看出：值表可以看出： t值與置信度及測(cè)定次數(shù)值與置

6、信度及測(cè)定次數(shù)n有關(guān)。有關(guān)。ntsx ntsx nsxsxtx 首先，當(dāng)首先，當(dāng)測(cè)定次數(shù)測(cè)定次數(shù)相同時(shí)，置信度越大，相同時(shí)，置信度越大，t值越大，值越大，則置信區(qū)間就較寬，測(cè)量的精確度下降。反之，則置信區(qū)間就較寬，測(cè)量的精確度下降。反之，置信度越小，置信度越小，t值越小，置信區(qū)間就越窄。此時(shí)盡值越小，置信區(qū)間就越窄。此時(shí)盡管置信區(qū)間的準(zhǔn)確度提高了，但其可靠性卻降低管置信區(qū)間的準(zhǔn)確度提高了，但其可靠性卻降低了（見(jiàn)了（見(jiàn)P15，例例3）。）。 置信區(qū)間的置信區(qū)間的準(zhǔn)確性與可靠性準(zhǔn)確性與可靠性是兩個(gè)相互矛盾、是兩個(gè)相互矛盾、相互制約的因素，為了兼顧這兩個(gè)方面，通常都相互制約的因素，為了兼顧這兩個(gè)方面

7、，通常都將置信度定為將置信度定為90%或或95%。在在相同置信度相同置信度下，下，n越大，置信區(qū)間就越小，平均越大，置信區(qū)間就越小，平均值與真值就越接近，測(cè)定的準(zhǔn)確性就越高。但當(dāng)值與真值就越接近，測(cè)定的準(zhǔn)確性就越高。但當(dāng)n大于大于20后，后，t值的變化不大，再增加測(cè)定次數(shù)對(duì)提值的變化不大，再增加測(cè)定次數(shù)對(duì)提高測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度已經(jīng)沒(méi)有什么意義了。高測(cè)定結(jié)果的準(zhǔn)確度已經(jīng)沒(méi)有什么意義了。例：分析例：分析Fe %，求：（求：（1）置信度為）置信度為95時(shí)平均值的置信區(qū)間時(shí)平均值的置信區(qū)間 =39.16%, s=0.05%, n=5 解：先查表找出相應(yīng)的解：先查表找出相應(yīng)的t t值，查表值，查表 776

8、.2t 06.016.3916.39505.0776.2nstxx（2）如果置信區(qū)間為（如果置信區(qū)間為（39.160.05），問(wèn)至少測(cè)），問(wèn)至少測(cè)定幾次？定幾次？ 由由所以所以 當(dāng)當(dāng) n = 2, , , , t=12.706 n = 3, , , , t=4.303 n = 4, , , , t=3.182 n = 5, , 2.236, t=2.776 n = 6, , 2.449, t=2.571, , 05. 0nts xnst105. 005. 005. 0snt414. 1n732. 1n2nnn1nt所以至少需平行測(cè)定六次，才能使置信區(qū)間為所以至少需平行測(cè)定六次，才能使置信區(qū)間為

9、（39.160.05）2-2 分析結(jié)果的數(shù)據(jù)處理分析結(jié)果的數(shù)據(jù)處理 在一組平行測(cè)定值中在一組平行測(cè)定值中常常出現(xiàn)某一、兩個(gè)測(cè)定常常出現(xiàn)某一、兩個(gè)測(cè)定值比其余測(cè)定值明顯地偏大或偏小，我們稱之為可值比其余測(cè)定值明顯地偏大或偏小，我們稱之為可疑值（離群值）。比如四次平行測(cè)定值為疑值（離群值）。比如四次平行測(cè)定值為0.1010，0.1012，0.1014和和0.1024，其中，其中0.1024與其他三個(gè)數(shù)與其他三個(gè)數(shù)據(jù)相差較遠(yuǎn)，究竟應(yīng)該舍去還是保留據(jù)相差較遠(yuǎn)，究竟應(yīng)該舍去還是保留?由于可疑值由于可疑值的取舍對(duì)結(jié)果的平均值影響較大的取舍對(duì)結(jié)果的平均值影響較大, 所以對(duì)可疑數(shù)值所以對(duì)可疑數(shù)值的取舍必須十分

10、慎重，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)較少時(shí)，可疑數(shù)的取舍必須十分慎重，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)較少時(shí)，可疑數(shù)據(jù)的取舍對(duì)結(jié)果影響更大，不能為了單純追求實(shí)驗(yàn)據(jù)的取舍對(duì)結(jié)果影響更大，不能為了單純追求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精密度高，而隨便舍棄可疑數(shù)值。必須用統(tǒng)結(jié)果的精密度高，而隨便舍棄可疑數(shù)值。必須用統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)可疑數(shù)據(jù)先進(jìn)行判斷，以決定是否應(yīng)該計(jì)的方法對(duì)可疑數(shù)據(jù)先進(jìn)行判斷，以決定是否應(yīng)該舍去。舍去。一、可疑測(cè)定值的取舍一、可疑測(cè)定值的取舍 常用的方常用的方法有法有格魯布斯（格魯布斯（Grubbs）檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法(G檢檢驗(yàn)法驗(yàn)法)、 Q值檢驗(yàn)法等。值檢驗(yàn)法等。1 1、格魯布斯檢驗(yàn)法格魯布斯檢驗(yàn)法(G檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法)G檢驗(yàn)法適用于測(cè)定次數(shù)為檢驗(yàn)法適用于

11、測(cè)定次數(shù)為3-20次。具體步驟如下：次。具體步驟如下： (1)、設(shè)有、設(shè)有n個(gè)測(cè)定值，其遞增順序?yàn)椋簜€(gè)測(cè)定值，其遞增順序?yàn)椋簄xxxx., 3, 2, 1其中其中 1x或或nx可能是可疑數(shù)值?？赡苁强梢蓴?shù)值。(4)、若若x1 1為可疑值時(shí)，統(tǒng)計(jì)量為可疑值時(shí)，統(tǒng)計(jì)量G算式為：算式為： sxxG計(jì)11x 為可疑值）為可疑值） （若若nx為可疑值時(shí)，統(tǒng)計(jì)量為可疑值時(shí)，統(tǒng)計(jì)量G算式為：算式為：sxxGn計(jì)（ 為可疑值）為可疑值） nx (2)、求出可疑值與平均值之差求出可疑值與平均值之差 (3)、求出標(biāo)準(zhǔn)偏差求出標(biāo)準(zhǔn)偏差s 查查G值表，值表，P17，表，表2-3，根據(jù)測(cè)量次數(shù)，根據(jù)測(cè)量次數(shù)n和測(cè)定置信

12、和測(cè)定置信度度P查得相應(yīng)的查得相應(yīng)的G p,n， 計(jì)GnpG,2、Q值檢驗(yàn)法值檢驗(yàn)法Q檢驗(yàn)法適用于測(cè)定次數(shù)為檢驗(yàn)法適用于測(cè)定次數(shù)為3-10次。具體步驟如下：次。具體步驟如下：1. 將測(cè)得的數(shù)據(jù)由小到大排列為：將測(cè)得的數(shù)據(jù)由小到大排列為： nxxxx.,3,2,1其中其中 , 1x或或 為可疑數(shù)值為可疑數(shù)值; ; nx2. 求出最大與最小數(shù)據(jù)之差（極差）求出最大與最小數(shù)據(jù)之差（極差） 1xnx;3. 求出可疑數(shù)據(jù)與其最鄰近數(shù)據(jù)之差求出可疑數(shù)據(jù)與其最鄰近數(shù)據(jù)之差 1nxnx或或: :12xx 4.求出舍棄商求出舍棄商Q計(jì)計(jì) ( (11xxxxnnn計(jì)Qnx可疑可疑) ) ( ( 可疑可疑) ) 1

13、12xxxxQn計(jì)1x5. 查查Q值表，值表，p18,表表2-4，可得相應(yīng)，可得相應(yīng)n值和置信度下的值和置信度下的Q表表值值,。如果出。如果出現(xiàn)現(xiàn)Q計(jì)計(jì)=Q表表，最好再補(bǔ)測(cè)一、二次，再用，最好再補(bǔ)測(cè)一、二次，再用Q檢驗(yàn)法決定檢驗(yàn)法決定取舍。取舍。 此外如果需對(duì)一個(gè)以上可疑值決定取舍時(shí)，首先檢此外如果需對(duì)一個(gè)以上可疑值決定取舍時(shí)，首先檢驗(yàn)最小值，然后再檢驗(yàn)最大值。驗(yàn)最小值，然后再檢驗(yàn)最大值。 例題：用例題：用Na2CO3標(biāo)定標(biāo)定HCl溶液的濃度，測(cè)定六次溶液的濃度，測(cè)定六次(n=6)，結(jié)果如下：結(jié)果如下： 0.5050， 0.5042，0.5086，0.5063，0.5051，0.5064mol

14、/L問(wèn)：?jiǎn)枺?用用Q檢驗(yàn)法判斷檢驗(yàn)法判斷0.5086 是否應(yīng)舍去？是否應(yīng)舍去？ 解：解： (1) 按由小到大排列：按由小到大排列： 0.5042，0.5050，0.5051，0.5063，0.5064，0.5086 （2）xn - xn-1 = 0.5086 - 0.5064=0.0022 (3) xn x1 = 0.5086 - 0.5042=0.0044 (4) 50. 00044. 00022. 05042. 05086. 05064. 05086. 011xxxxnnn計(jì)Q(5)查查Q值表，當(dāng)置信度值表，當(dāng)置信度P=90, n=6時(shí)，時(shí)，Q表表0.56 Q計(jì)計(jì)Q表，表，所以該值應(yīng)該保留

15、所以該值應(yīng)該保留 Q檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)定了一定的置信度（通常為檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)定了一定的置信度（通常為90）因）因此判斷的確定性較高。缺點(diǎn)是：數(shù)據(jù)的離散性（此判斷的確定性較高。缺點(diǎn)是：數(shù)據(jù)的離散性（xn x1）越越大，大，Q計(jì)計(jì)反而越小，可疑數(shù)據(jù)越不能舍去。反而越小，可疑數(shù)據(jù)越不能舍去。 例：測(cè)定氯化物中氯的百分含量，共測(cè)定了例：測(cè)定氯化物中氯的百分含量，共測(cè)定了8 8次，次，所得結(jié)果分別為：所得結(jié)果分別為：59.83，60.04，60.45，59.88，60.33，60.24，60.28，59.77，試用試用Grubbs檢測(cè)法對(duì)上述數(shù)據(jù)作出判斷（置信度檢測(cè)法對(duì)上述數(shù)據(jù)作出判斷（置信度取取95）

16、 解：將數(shù)據(jù)按遞增順序排列為：解：將數(shù)據(jù)按遞增順序排列為：59.77，59.83，59.88，60.04，60.24，60.28，60.33，60.45（）（） 求出其平均值求出其平均值 和標(biāo)準(zhǔn)偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差s為：為： ，s=0.26 x%10.60 x根據(jù)根據(jù)Grubbs檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 27. 126. 077.5910.6011sxxG35. 126. 010.6045.6088sxxG查查G值表，當(dāng)值表，當(dāng)n8和置信度為和置信度為95時(shí)，時(shí)， ，故，故59.77和和60.45均應(yīng)保留。均應(yīng)保留。因此，上述因此，上述8個(gè)數(shù)據(jù)的平均值仍為個(gè)數(shù)據(jù)的平均值仍為60.10 , ,所以所以該氯化物中氯

17、的真實(shí)含量為：該氯化物中氯的真實(shí)含量為：)(03. 28195. 0GGG，%22. 010.6036. 2826. 010.60,95. 0）（）（ftnsx)%22. 010.60(% Cl二、平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較（檢查方法的準(zhǔn)確度或方法二、平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較（檢查方法的準(zhǔn)確度或方法是否可行，顯著性檢驗(yàn)，是否可行，顯著性檢驗(yàn)，t檢驗(yàn)檢驗(yàn) ） 在分析工作中為了檢查某一分析方法是否存在較大的系在分析工作中為了檢查某一分析方法是否存在較大的系統(tǒng)誤差統(tǒng)誤差, ,可用標(biāo)準(zhǔn)樣品作可用標(biāo)準(zhǔn)樣品作n n次測(cè)定次測(cè)定, ,然后利用上述檢驗(yàn)法然后利用上述檢驗(yàn)法, ,檢檢測(cè)測(cè)定結(jié)果的平均值測(cè)測(cè)定結(jié)果的平均值

18、x與標(biāo)準(zhǔn)值與標(biāo)準(zhǔn)值 之間是否存在顯著性差異，之間是否存在顯著性差異，從而判定某一分析方法是否可靠。從而判定某一分析方法是否可靠。作作t t檢驗(yàn)時(shí)，先將標(biāo)準(zhǔn)值檢驗(yàn)時(shí)，先將標(biāo)準(zhǔn)值 與平均值與平均值 x代入下式，計(jì)算代入下式，計(jì)算t值：值： snxt計(jì)根據(jù)所要求的置信度根據(jù)所要求的置信度P（通常取通常取95）和測(cè)量次數(shù)）和測(cè)量次數(shù) n,由由t值表值表查出相應(yīng)的查出相應(yīng)的t表值。表值。 x 表示該方法沒(méi)有系統(tǒng)誤差存在表示該方法沒(méi)有系統(tǒng)誤差存在, ,所得結(jié)果可靠。所得結(jié)果可靠。 x 表示該方法有系統(tǒng)誤差存在表示該方法有系統(tǒng)誤差存在, ,所得結(jié)果不可靠。所得結(jié)果不可靠。例題例題:采用一種新的方法分析標(biāo)準(zhǔn)鋼

19、樣中的鉻含量采用一種新的方法分析標(biāo)準(zhǔn)鋼樣中的鉻含量 %17. 15次測(cè)定結(jié)果為次測(cè)定結(jié)果為1.12,1.15,1.13,1.16和和1.14%,問(wèn)這種新方法問(wèn)這種新方法是否可靠是否可靠? 解解: : x=1.14, =1.14, s = 0.016，n = 5,故故 19. 45016. 017. 114. 1計(jì)t查表：查表：P=0.95, n=5時(shí)，時(shí)，t表表=2.78由于由于 表計(jì)tt，因此認(rèn)為，因此認(rèn)為 x和和 之間存在顯著差異之間存在顯著差異, ,此種此種新方法不可靠。新方法不可靠。2-3 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則一、有效數(shù)字一、有效數(shù)字 在分析測(cè)定工作中，不僅要注意在

20、實(shí)驗(yàn)中減少誤差，力在分析測(cè)定工作中，不僅要注意在實(shí)驗(yàn)中減少誤差，力求準(zhǔn)確，還應(yīng)正確記錄和計(jì)算實(shí)驗(yàn)結(jié)果。也就是說(shuō)表示實(shí)求準(zhǔn)確，還應(yīng)正確記錄和計(jì)算實(shí)驗(yàn)結(jié)果。也就是說(shuō)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值即要表示數(shù)量的大小，同時(shí)也要反映出測(cè)量驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值即要表示數(shù)量的大小，同時(shí)也要反映出測(cè)量的準(zhǔn)確程度。例如，用一般的分析天平稱得某物體的質(zhì)量的準(zhǔn)確程度。例如，用一般的分析天平稱得某物體的質(zhì)量為為0.5180 g, 這一數(shù)值中，這一數(shù)值中，0.518是準(zhǔn)確的，最后一位數(shù)值是準(zhǔn)確的，最后一位數(shù)值“0”是估讀的，可能有上下一個(gè)單位的誤差，即其實(shí)際質(zhì)量是是估讀的，可能有上下一個(gè)單位的誤差，即其實(shí)際質(zhì)量是0.51800.0001g

21、范圍內(nèi)的某一數(shù)值。此時(shí)稱量的絕對(duì)誤差范圍內(nèi)的某一數(shù)值。此時(shí)稱量的絕對(duì)誤差為為0.0001g，相對(duì)誤差相對(duì)誤差為為 %02. 0%1005180. 00001. 0若將上述稱量結(jié)果寫(xiě)成若將上述稱量結(jié)果寫(xiě)成0.518g，則該物體的實(shí)際質(zhì)量將則該物體的實(shí)際質(zhì)量將為為0.5180.001g范圍內(nèi)的某一數(shù)值，即絕對(duì)誤差為范圍內(nèi)的某一數(shù)值，即絕對(duì)誤差為0.001g，而相對(duì)誤差則為而相對(duì)誤差則為0.2。可見(jiàn)記錄時(shí)多寫(xiě)一。可見(jiàn)記錄時(shí)多寫(xiě)一位或少寫(xiě)一位位或少寫(xiě)一位“0”數(shù)字，從數(shù)學(xué)角度看關(guān)系不大，但是數(shù)字，從數(shù)學(xué)角度看關(guān)系不大，但是所所 反映的測(cè)量精確度無(wú)形中被擴(kuò)大或縮小了反映的測(cè)量精確度無(wú)形中被擴(kuò)大或縮小了1

22、0倍。在分倍。在分析測(cè)定工作中，通常用有效數(shù)字來(lái)體現(xiàn)測(cè)定值的大小析測(cè)定工作中，通常用有效數(shù)字來(lái)體現(xiàn)測(cè)定值的大小及精度。及精度。記錄記錄數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果時(shí)，所保留的有效數(shù)字只有最后一數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果時(shí)，所保留的有效數(shù)字只有最后一位是可疑的數(shù)字。例如位是可疑的數(shù)字。例如:用感量為百分之一克的臺(tái)秤用感量為百分之一克的臺(tái)秤稱物體的重量稱物體的重量,由于儀器本身能準(zhǔn)確稱到由于儀器本身能準(zhǔn)確稱到0.01g,所所以物體的重量如果是以物體的重量如果是10.4g，就應(yīng)寫(xiě)成就應(yīng)寫(xiě)成10.40g，不能不能寫(xiě)成寫(xiě)成10.4。如果用萬(wàn)分之一的分析天平稱，由于其。如果用萬(wàn)分之一的分析天平稱，由于其可稱量準(zhǔn)至可稱量準(zhǔn)至0.00

23、01g，所以上述重量應(yīng)寫(xiě)為所以上述重量應(yīng)寫(xiě)為10.4000g。 從前面的例子中可以看出：有效數(shù)字的位數(shù)直接與測(cè)從前面的例子中可以看出：有效數(shù)字的位數(shù)直接與測(cè)定的相對(duì)誤差有關(guān)。因此，記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，決不要定的相對(duì)誤差有關(guān)。因此，記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，決不要因?yàn)樽詈笠晃坏臄?shù)字是零而隨便舍去。因?yàn)樽詈笠晃坏臄?shù)字是零而隨便舍去。 數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)中的“0”要作具體分析，要作具體分析，但要注意進(jìn)行單位換算時(shí)，數(shù)字后但要注意進(jìn)行單位換算時(shí)，數(shù)字后面用來(lái)定位的零不是有效數(shù)字，這時(shí)最好采用指數(shù)面用來(lái)定位的零不是有效數(shù)字，這時(shí)最好采用指數(shù)形式表示，否則，容易引起有效數(shù)字位數(shù)的誤解。形式表示，否則，容易引起有效數(shù)字位數(shù)的誤

24、解。例如：質(zhì)量為例如：質(zhì)量為25.0g若換算為毫克，寫(xiě)成若換算為毫克，寫(xiě)成25000mg，容易誤解為五位有效數(shù)字，若寫(xiě)成容易誤解為五位有效數(shù)字，若寫(xiě)成2.50104 mg就就比較準(zhǔn)確的反映有效數(shù)字的位數(shù)比較準(zhǔn)確的反映有效數(shù)字的位數(shù)。 （1）分析化學(xué)中常遇到的分析化學(xué)中常遇到的其整數(shù)部分只其整數(shù)部分只說(shuō)明該數(shù)的方次。例如：說(shuō)明該數(shù)的方次。例如：H+=2.110-13，pH=12.68，其有效數(shù)字為兩位，而不是四位。其有效數(shù)字為兩位，而不是四位。 （2）如如8.37雖三位但可雖三位但可看做四位有效數(shù)字。看做四位有效數(shù)字。 （3）（例如：求百分（例如：求百分含量、濃度、硬度等）含量、濃度、硬度等）

25、（4） 0.2098 0.21 要注意的幾點(diǎn)：要注意的幾點(diǎn)： 二二 、有效數(shù)字的修約和運(yùn)算規(guī)則、有效數(shù)字的修約和運(yùn)算規(guī)則1 1、有效數(shù)字的修約規(guī)則、有效數(shù)字的修約規(guī)則 數(shù)字修約規(guī)則和實(shí)例數(shù)字修約規(guī)則和實(shí)例 修約規(guī)則修約規(guī)則 修約前修約前 修約后（小數(shù)點(diǎn)后保留一位）修約后（小數(shù)點(diǎn)后保留一位） 四要舍四要舍 12.3 32 12.3六要入六要入 25.4 42 25.5五后有數(shù)要進(jìn)位五后有數(shù)要進(jìn)位 2.0 21 2.1五后無(wú)數(shù)看前方五后無(wú)數(shù)看前方 前為奇數(shù)就進(jìn)位前為奇數(shù)就進(jìn)位 0.5 00 0.6前為偶數(shù)全舍光前為偶數(shù)全舍光 0.6 00 0.6 2.0 00 2.0（0視為偶數(shù)）視為偶數(shù)） 2.

26、5 546 2.5不論舍去多少位不論舍去多少位都要一次修停當(dāng)都要一次修停當(dāng)（不要（不要 6 . 255. 2546. 25455. 2）2 2、運(yùn)算規(guī)則、運(yùn)算規(guī)則( (一一) )加減法運(yùn)算加減法運(yùn)算 有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)以參加運(yùn)算的各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)以參加運(yùn)算的各數(shù)據(jù)中例如：例如：0.0121 + 25.64+ 1.05782 （0.0001 0.01 0.00001） 0.01 + 25.64 + 1.06 26.71( (二二) )乘除法運(yùn)算乘除法運(yùn)算 應(yīng)以參加運(yùn)算的各數(shù)據(jù)中應(yīng)以參加運(yùn)算的各數(shù)據(jù)中例如：例如：0.0325 5.103 60.06139.8 （0.3 0.02 0.02 0.07 ） 0.0325 5.10 60.1 140 0.0713 小小 結(jié)結(jié) 誤差有正負(fù)誤差有正負(fù) 誤差誤差 或或 TxE xE%100%TEEr相對(duì)誤差相對(duì)誤差偏差偏差 xxdii相對(duì)偏差相對(duì)偏差 100%xddir平均偏差平均偏差 dndi1 相對(duì)平均偏差相對(duì)平均偏差 %100%xddr標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 1-n-i）（xxsnxi2)(n相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差 （變異系數(shù)（變異系數(shù)CV）s sr rx