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1、常微第六章測(cè)驗(yàn)試卷(1)姓名 班級(jí) 學(xué)號(hào) 得分 一、填空題(30分)1、 若向量函數(shù)在域上(),則方程組的解存在且唯一。2、 如果方程組的零解穩(wěn)定,且存在這樣的,使當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足初始條件的解均有()時(shí),則稱(chēng)為漸進(jìn)穩(wěn)定。3、 ()稱(chēng)為相平面。4、 ()稱(chēng)為駐定方程組。5、 滿(mǎn)足()的點(diǎn),稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)。6、 當(dāng)方程組的特征方程有兩個(gè)同號(hào)相異的特征根時(shí),則當(dāng)()時(shí),零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的,對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為()。當(dāng)()時(shí),零解是不穩(wěn)定的,對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為()。7、 當(dāng)方程組的特征方程的特征根為純虛根時(shí),則其結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為(),在這種情況下零解是()。二、求解題: 求方程組的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性(20分)1、2
2、、三、求出方程組的奇點(diǎn),并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)(20分)四、用形如的李雅普諾夫函數(shù),確定下列方程組的穩(wěn)定性(30分)1、2、3、常微第六章測(cè)驗(yàn)試卷(1)參考答案一、 填空題1、 連續(xù)且關(guān)于滿(mǎn)足利普希茲條件2、3、 如果把時(shí)間當(dāng)作參數(shù),僅考慮為坐標(biāo)的歐氏空間4、5、6、 ; 穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)7、 中心;非漸進(jìn)穩(wěn)定的二、 求解題: 求方程組的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性1、 解:求奇點(diǎn):得 故奇點(diǎn)為由得, 得到兩個(gè)同號(hào)相異負(fù)實(shí)跟根,所以奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn),零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。2、 解:求奇點(diǎn):得 故奇點(diǎn)為現(xiàn)將原方程組作的替換得故由得 得 這樣就得到兩個(gè)異號(hào)實(shí)根,所以奇點(diǎn)為鞍點(diǎn),零解是不穩(wěn)定的。三、求出方程組的奇點(diǎn),并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)1、 解:求奇點(diǎn): 得, 當(dāng)奇點(diǎn)為時(shí)所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程的由得 所以奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn),零解是不穩(wěn)定的。 當(dāng)奇點(diǎn)為時(shí)先作變換 方程變?yōu)椋核鶎?duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程的由得 所以奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn),零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的 當(dāng)奇點(diǎn)為時(shí) 先作變換 方程變?yōu)椋?由得 所以奇點(diǎn)為鞍點(diǎn),零解是不穩(wěn)定的四、用形如的李雅普諾夫函數(shù),確定下列方程組的穩(wěn)定性。 1、解: 取 則 為定正的 為定負(fù)的 所以零解穩(wěn)定 2、取
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