川師 概率論第一章習題解答

1、習題一詳細解答1、某工人加工了三個零件，設事件為 “加工的第個零件是合格品”（），試用表示下列事件：（1）只有第一個零件是合格品；（2）只有一個零件是合格品；（3）至少有一個零件是合格品；（4）最多有一個零件是合格品。解：（1）（2）（3）（4）2、一名射手連續(xù)向某個目標射擊三次，設表示“該射手第次射擊時擊中目標”（）。試用文字敘述下列事件：；解：=表示前兩次均未擊中目標；表示三次射擊中至少有一次擊中目標；表示第三次擊中但第二次未擊中；表示后兩次中至少有一次未擊中目標；表示三次射擊中至少有兩次擊中目標。3、設和是同一試驗的兩個隨機事件，求證：證明： 由概率的性質和事件的運算律，可得：4、已知,

2、（1）當互斥時，;（2）當時，求；（3）當時，求.5、已知,求,. 解 由，得 .6、設有事件,已知，,求中至少有一個發(fā)生的概率.解 由，得，因此，. .7、袋中有均勻的5個紅球和3個黃球，從中任取兩個球，求摸出的兩個球都是紅球的概率。解：設“摸出的兩個球都是紅球”，則8、將一枚均勻的色子拋擲兩次，求兩次出現的點數之和等于8的概率。解：設A=“兩次出現的點數之和等于8”，9、將個人等可能地分配到間房的每一間中去，試求下列事件的概率：（1）某指定的間房中各有一人；（2）恰有間房各有一人解：因為把每一個人分配到間房去都有種分法，所以樣本空間中含有個基本事件。（1） 設=“某指定的間房中各有一人”，

3、則有種分法。所以；（2）設=“恰有間房各有一人”，則需要先從間房中選出間房，再把它們分配給個人，所以有種分法。所以10、一副撲克牌52張（沒有大小王），從中任意抽取13張，求至少有1張“J”的概率？ 解：設“任意抽取的13張中至少有1張是J”，樣本空間中樣本總數為。直接計算很 麻煩，所以由對立事件來計算，則=“任意抽取的13張中沒有1張是J”.而中的樣本 點數是。故 11、在一個池中有3條魚甲、乙、丙，這三條魚競爭捕食。設甲或乙競爭到食物的機會是， 甲或丙競爭到食物的機會是，且一次競爭的食物只能被一條魚享用。求哪條魚是最優(yōu)的捕食 者？ 解：設分別表示魚甲、乙、丙競爭到食物的事件。由題意得： 因

4、此， 又由題意知， 由上面三個式子解得：. 所以丙魚是最優(yōu)的捕食者。 12、將C,C,E,L,I,N,S等7個字母隨機排成一排，求恰好排成英文單詞SCIENCE的概率？ 解：設“排成英文單詞SCIENCE”。 由于兩個E可以交換，兩個C可以交換，所以事件A的概率為： 13、設有任意兩數和滿足，求的概率。解：試驗的樣本空間為區(qū)域，為一個正方形，面積為1，設所求事件為，則，的面積為所以14、設某地區(qū)在歷史上從某次特大洪水發(fā)生后30年內發(fā)生特大洪水的概率為80%，在40年內發(fā)生特大洪水的概率為85%。現該地區(qū)已30年無特大洪水，問未來10年內該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是多少？解：設“該地區(qū)從某次特大洪

5、水發(fā)生后30年內無特大洪水”。設“該地區(qū)從某次特大洪水發(fā)生后40年內無特大洪水”,則所求概率為.又,由條件概率的計算公式和性質，得：15、設是隨機事件，互不相容，求解：由互不相容，則又，得 由條件概率的定義得： 16、一批燈泡共100只，次品率為10%。不放回地抽取3次，每次一只，求第三次才取到合格品的概率。解：記=第i次取得合格品（）所求概率為17、兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現廢品的概率是，第二臺出現廢品的概率是，加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率？解：設事件表示“取出的零件是第i臺車床加工的零件”（），事件表示“取

6、出的零件是合格品”，則 由全概率公式，得：18、根據美國的一份資料報道，在美國患肺癌的概率為。在普通人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為，求不吸煙者患肺癌的概率為多少？解：以記“患肺癌”，以記“吸煙”。由已知得,，故所求概率為,由全概率公式，有19、一個工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一種螺釘，每個車間生產量分別占總產量的25%、35%、40%，每個車間中二等品分別占50%、40%、20%。今全廠的該種產品中隨機抽取一個，發(fā)現是二等品，它恰是由甲、乙、丙車間生產的概率分別是多少？解：記=抽到產品是甲車間生產的， =抽到產品是乙車間生產的， =抽到產品是丙車間生產的，以記“抽到螺釘為二等品

7、”，。由題意知：由貝葉斯公式，得隨機抽取一個螺釘發(fā)現是二等品，它恰是由甲、乙、丙車間生產的概率分別為：20、設有4張同樣的卡片，1張涂上紅色，1張涂上黃色，1張涂上綠色，1張涂上紅、黃、綠三種顏色。現在從這4張卡片中任取一張，用分別表示事件“取出的卡片上涂有紅色”，“ 取出的卡片上涂有黃色”，“ 取出的卡片上涂有綠色”。試判斷三個事件相互獨立嗎？解：由已知得：所以有，故三個事件是兩兩獨立的。但是，所以三個事件不是相互獨立的。21、假定每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.004，混合100個人的血清，求此混合血清含肝炎病毒的概率。解：記=第個人的血清中含病毒，。由經驗可以判定間是相互獨立的，題

8、目需求，因間顯然不是兩兩相斥的，用加法公式計算就很麻煩，我們可以用對偶原理，將事件的并的運算轉化為事件的交的運算，從而改用乘法公式。即=1（10.004）=0.33。22、設在獨立重復試驗中每次試驗成功的概率是，問需要進行多少次試驗，才能使至少成功一次的概率不小于？解：設需要進行次獨立重復試驗，則在次試驗至少成功一次的概率為由題意得不等式：解得：所以 23、一射手對同一目標進行四次射擊，若至少命中一次的概率為，求該射手的命中率？ 解：設該射手的命中率為，由貝努里概型的計算公式，得： 24、設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件，已知兩件中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率？ 解：設“已知兩件中